决胜2016中考数学压轴题全揭秘专题:动态几何之动点形成的等腰三角形存在性问题(压轴题).doc
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一、选择题
1.(2013福建龙岩4分)如图,在平面环球雅思中小学辅导班系xOy中,A(0,2),B(0,6),动点C在直线y=x上.若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形,则点C的个数是【】
A.2B.3C.4D.5
二、填空题
1.(2013年四川凉山5分)如图,在平面环球雅思中小学辅导班系中,矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为(10,0),(0,4),点D是OA的中点,点P在BC上运动,当是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标为▲。
,
2.(2012辽宁丹东3分)如图,边长为6的正方形ABCD内部有一点P,BP=4,∠PBC=60°,点Q为正方形边上一动点,且△PBQ是等腰三角形,则符合条件的Q点有▲个.
【答案】5。
【考点】动点问题,正方形的性质,等腰三角形的判定,勾股定理,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,线段中垂线的性质,等边三角形的判定。
【分析】如图,符合条件的Q点有5个。
3.(2012青海西宁2分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AC=12,BD=16,E为AD的中点,点P在x轴上移动.小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标为(-5,0)和(5,0).请你写出其余所有符合这个条件的P点的坐标▲.
∴OK=。
∵∠PFO=∠EKO=90°,∠POF=∠EOK,∴△POF∽△EOK。
∴OP:
OE=OF:
OK,即OP:
5=:
4,解得:
OP=。
∴P点学科网坐标为(,0)。
∴其余所有符合这个条件的P点坐标为:
(8,0),(,0)。
三、解答题
1.(2014年甘肃兰州12分)如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A(﹣1,0),C(0,2).
(1)求抛物线的表达式;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?
如果存在,直接写出P点的坐标;如果不存在,请说明理由;
(3)点E时线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形CDBF的面积最大?
求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标.
【答案】解:
(1)∵抛物线经过A(﹣1,0),C(0,2),
∴,解得:
.
∴抛物线的解析式为:
.
(2)存在.
∵,
∴抛物线的对称轴是x=.∴OD=.
∵C(0,2),∴OC=2.在Rt△OCD中,由勾股定理,得CD=.
若△CDP是以CD为腰的等腰三角形,则CP1=CP2=CP3=CD.
如答图1,作CH⊥x轴于H,
∴HP1=HD=2,∴DP1=4.
∴P1(,4),P2(,),P3(,﹣).
(3)当y=0时,,解得x1=﹣1,x2=4,∴B(4,0).
设直线BC的解析式为y=kx+b,则,解得:
,
∴直线BC的解析式为:
.
如答图2,过点C作CM⊥EF于M,
设E(a,),F(a,),
∴EF=﹣()=(0≤x≤4).
∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF
=BD•OC+EF•CM+EF•BN,
=
=(0≤x≤4).
∴当a=2时,S四边形CDBF的面积最大=,此时E(2,1).
【考点】1.二次函数综合题;2.单动点问题;3.待定系数法的应用;4.曲线上点的坐标与言辞的关系;5.二次函数的性质;6.勾股定理;7.等腰三角形的性质;8.由实际问题列函数关系式;9.分类思想、转换思想和数形结合思想的应用.
【分析】
(1)由待定系数法建立二元一次方程组求出求出m、n的值即可.
(2)由
(1)的解析式求出顶点坐标,再由勾股定理求出CD的值,再以点C为圆心,CD为半径作弧交对称轴于P1,以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴学科网于点P2,P3,作CE垂直于对称轴与点E,由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论.(3)先求出BC的解析式,设出E点的坐标为(a,),就可以表示出F的坐标,由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF求出S与a的关系式,由二次函数的性质就可以求出结论.
2.(2014年贵州遵义14分)如图,二次函数的图象与x轴交于A(3,0),B(﹣1,0),与y轴交于点C.若点P,Q同时从A点出发,都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB,AC边运动,其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动.
(1)求该二次函数的解析式及点C的坐标;
(2)当点P运动到B点时,点Q停止运动,这时,在x轴上是否存在点E,使得以A,E,Q为顶点的三角形为等腰三角形?
若存在,请求出E点坐标;若不存在,请说明理由.
(3)当P,Q运动到t秒时,△APQ沿PQ翻折,点A恰好落在抛物线上D点处,请判定此时四边形APDQ的形状,并求出D点坐标.
【答案】解:
(1)∵二次函数的图象与x轴交于A(3,0),B(﹣1,0),
∴,解得.∴该二次函数的解析式为.
令x=0,得y=,∴C(0,).
(2)存在.
如答图1,过点Q作QH⊥OA于H,此时QH∥OC,
∵A(3,0),B(﹣1,0),C(0,﹣4),O(0,0),
∴AB=4,OA=3,OC=4,
∴AC=,AQ=4.
∵QH∥OC,∴△AHQ∽△AOC.[来源:
Z&xx&k.Com]
∴,即.
∴.
①如答图2,作AQ的垂直平分线,交AO于E,此时AE=EQ,即△AEQ为等腰三角形,
设AE=x,则EQ=x,HE=AH﹣AE=,
∴在Rt△EHQ中,,
解得,∴OA﹣AE=∴E(,0).
②如答图3,以Q为圆心,AQ长半径画圆,交x轴于E,此时QE=QA=4,
∵ED=AH=,∴AE=,∴OA﹣AE=3﹣=,∴E(,0).
③当AE=AQ=4时,∵OA﹣AE=3﹣4=﹣1,∴E(﹣1,0).
综上所述,存在满足条件的点E,点E的坐标为(,0)或(,0)或(﹣1,0).
(3)四边形APDQ为菱形,D点坐标为.理由如下:
如答图4,D点关于PQ与A点学科网对称,过点Q作,FQ⊥AP于F,
∵AP=AQ=t,AP=DP,AQ=DQ,∴AP=AQ=QD=DP,∴四边形AQDP为菱形.
∵FQ∥OC,∴△AFQ∽△AOC.∴,即.
∴AF=,FQ=,∴Q.
∵DQ=AP=t,∴D.∵D在二次函数上,
∴,解得t=或t=0(与A重合,舍去).∴D.
【考点】1.二次函数综合题;2.双动点和折叠问题;3.等腰三角形存在性问题;4.曲线上点的坐标与方程的关系;5.勾股定理;6.相似三角形的减少性质;7.分类思想和方程思想的应用.
【分析】
(1)将A,B点坐标代入函数中,求得b、c,进而可求解析式及C坐标.
(2)等腰三角形有三种情况,AE=EQ,AQ=EQ,AE=AQ.借助垂直平分线,画圆易得E大致位置,设边长为x,表示其他边后利用勾股定理易得E坐标.(3)注意到P,Q运动速度相同,则△APQ运动时都为等腰三角形,又由A、D对称,则AP=DP,AQ=DQ,易得四边形四边都相等,即菱形.利用菱形对边平行且相等等性质可用t表示D点坐标,又D在E函数上,所以代入即可求t,进而D可表示.
3.(2014年湖北江汉油田、潜江、天门、仙桃12分)已知抛物线经过A(﹣2,0),B(0,2),C(,0)三点,一动点P从原点出发以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动,连接BP,过点A作直线BP的垂线交y轴于点Q.设点P的运动时间为t秒.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当BQ=AP时,求t的值;
(3)随着点P的运动,抛物线上是否存在一点M,使△MPQ为等边三角形?
若存在,请直接写t的值及相应点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】解:
(1)∵抛物线经过A(﹣2,0),C(,0),
∴设抛物线的解析式为.
∵抛物线经过B(0,2),∴,解得.
∴抛物线的解析式为即.
(2)∵AQ⊥PB,BO⊥AP,∴∠AOQ=∠BOP=90°,∠PAQ=∠PBO,
∵AO=BO=2,∴△AOQ≌△BOP(ASA),∴OQ=OP=t.
①如答图1,当t≤2时,点Q在点B下方,此时BQ=2﹣t,AP=2+t.
∵BQ=AP,∴2﹣t=(2+t),解得t=.
②如答图2,当t>2时,点Q在点B上方,此时BQ=t﹣2,AP=2+t.
∵BQ=AP,∴t﹣2=(2+t),解得t=6.
综上所述,t=或6时,BQ=AP.
(3)存在,当t=时,抛物线上存在点M(1,1);
当t=时,抛物线上存在点M(﹣3,﹣3).
【考点】1.二次函数综合题;2.单动点问题;3.待定系数法的应用;4.曲线上点的坐标与方程的关系;5.全等三角形的判定和性质;6.等腰直角三角形的判定和性质;7.等边三角形的性质;8.勾股定理;9.分类思想和方程思想的应用.
【分析】
(1)因为抛物线经过A(﹣2,0),C(,0),所以可设交点式,应用待定系数即得a、b、c的值即得解析式.
(2)BQ=AP,要考虑P在OC上及P在OC的延长线上两种情况,有此易得BQ,AP关于t的表示,代入BQ=AP可求t值.
(3)考虑等边三角形,我们通常只需明确一边的情况,进而即可描述出整个三角形.考虑△MPQ,发现PQ为一有规律的线段,易得OPQ为等腰直角三角形,但仅因此无法确定PQ运动至何种情形时△MPQ为等边三角形.若退一步考虑等腰,发现,MO应为PQ的垂直平分线,即使△MPQ为等边三角形的M点必属于PQ的垂直平分线与学科网抛物线的交点,但要明确这些交点仅仅满足△MPQ为等腰三角形,不一定为等边三角形.确定是否为等边,我们可以直接由等边性质列出关于t的方程,考虑t的存在性:
∵AQ⊥BP,∴∠QAO+∠BPO=90°.
∵∠QAO+∠AQO=90°,∴∠AQO=∠BPO.
在△AOQ和△BOP中,∵∠AQO=∠BPO,∠AOQ=∠BOP=90°,AO=BO,
∴△AOQ≌△BOP(AAS).∴OP=OQ.∴△OPQ为等腰直角三角形.
∵△MPQ为等边三角形,则M点必在PQ的垂直平分线上,
∵直线y=x垂直平分PQ,∴M在y=x上.
设M(x,y),则,解得或,
∴M点可能为(1,1)或(﹣3,﹣3).
①如答图3,当M的坐标为(1,1)时,作MD⊥x轴于D,
则有PD=|1﹣t|,MP2=1+|1﹣t|2=t2﹣2t+2,PQ2=2t2,
∵△MPQ为等边三角形,∴MP=PQ.
∴t2+2t﹣2=0.
∴t=,t=(负值舍去).
②如答图4,当M的坐标为(﹣3,﹣3)时,作ME⊥x轴于E,
则有PE=3+t,ME=3,[来源:
学,科,网Z,X,X,K]
∴MP2=32+(3+t)2=t2+6t+18,PQ2=2t2.
∵△MPQ为等边三角形,∴MP=PQ.
∴t2﹣6t﹣18=0.
∴t=,t=(负值舍去).
综上所述,当t=时,抛物线上存在点M(1,1),或当t=时,抛物线上存在点M(﹣3,﹣3),使得△MPQ为等边三角形.
4.(2014年湖南张家界12分)如图,在平面环球雅思中小学辅导班系中,O为坐标原点,抛物线过过O、B、C三点,B、C坐标分别为(10,0)和(,),以OB为直径的⊙A经过C点,直线l垂直于x轴于点B.
(1)求直线BC的解析;
(2)求抛物线解析式及顶点坐标;
(3)点M是⊙A上一动点(不同于O,B),过点M作⊙A的切线,交y轴于点E,交直线l于点F,设线段ME长为m,MF长为n,请猜想的值,并证明你的结论;
(4)点P从O出发,以每秒1个单位速度向点B作直线运动,点Q同时从B出发,以相同速度向点C作直线运动,
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