数学史Word文档格式.docx
- 文档编号:16870721
- 上传时间:2022-11-26
- 格式:DOCX
- 页数:5
- 大小:22.95KB
数学史Word文档格式.docx
《数学史Word文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数学史Word文档格式.docx(5页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
在建立泛函分析抽象理论的过程中,法国数学家弗雷歇(M.Frechet,1878——1973)在他1906年完成的博士论文中作出了第一个具有重要意义的贡献,他用抽线的形式表达了函数空间。
指出:
空间每一个点都是函数,函数的极限可以看作是空间中点列的极限,并引入了一类L空间。
数学大师希尔伯特(DavidHilbert,1862——1943)在研究积分方程时,曾经将一个函数看成是由它相应的标准正交函数系的傅立叶系数确定的。
1907年,德国数学家施密特(E.Schimidt,1876——1959)发展了希尔伯特的这一思想,将其抽象为一般的L空间,这通常称为希尔伯特空间。
施密特还据此并导出了正交系的概念。
3年后,匈牙利数学家里斯(F.Riesz,1880——1956)则进一步由积分方程导出了L空间,开始研究抽象算子理论,并引入了范数的概念。
对泛函分析的发展作出显著贡献的有波兰科学派,这个学派成立于20世纪20年代,以泛函分析为自己的主要研究方向,领军人物是巴拿赫(Banach,1892——1945)和史坦豪斯(Steinhaus,1887——1972)。
巴拿赫的一个重要贡献是于1922年用三组公理建立了完备的赋范向量空间,后人称之为“巴拿赫空间”。
由于巴拿赫的范数不再用内积来定义,因而巴拿赫空间比希尔伯特空间更为一般,它包括L空间的对偶空间,并与史坦豪斯合作,得到了泛函分析中的一致有界定理,即“巴拿赫-史坦豪斯定理”。
他1932年出版的名著《线性算子理论》,提出了关于函数空间上线性算子的一系列重要定理,成为泛函分析达到成熟阶段的标志。
因此,巴拿赫被人们称为“泛函分析之父”。
在泛函分析的发展中最卓越的成就应该是冯.诺依曼(vonNeumann,john,1903——1957)关于希尔伯特空间上对称算子的研究。
冯诺依曼于1903年出生于匈牙利的布达佩斯。
他是一个数学神童,11岁时已显示出数学天赋。
12岁的诺依曼就对集合论、泛函分析等深奥的数学领域了如指掌。
青年时期,冯诺依曼师从著名数学家希尔伯特,从此,他更是如鱼得水,在数学的海洋中畅游。
在获得数学博士学位后,他移居美国,成为普林斯顿大学的第一批终身教授,那时,他还不到30岁。
冯诺依曼不仅仅是一个数学天才,在其他领域也大有建树。
他精通七国语言,在化学方面也有相当的造诣,曾获苏黎世高等技术学院化学系大学学位。
更为难得的是,他并不仅仅局限于纯数学上的研究,而是把数学应用到其他学科中去。
他对经典力学、量子力学和流体力学的数学基础进行过深入的研究,并获得重大成果,这些都说明诺依曼具备了坚实的数理基础,和广博的知识,为他后来从事计算机逻辑设计提供了坚强的后盾。
冯诺伊曼在他分别发表于1929年和1930年的两篇论文中,应用公理化方法深入的研究了希尔伯特空间中的算子,建立了埃尔米特算子和酉算子之间的联系,随后,他又把有关结论推广到无界算子,并发现了这种算子的谱理论,而这一理论恰好是适用于量子力学的数学工具。
另外,法国数学家施瓦茨(L.Schwartz)、前苏联数学家索伯列夫(C.JI.Cooojieb)和盖尔范德(H.M.R)对广义函数即函数空间上连续线性泛函(又称“分布”)作出了巨大贡献。
泛函分析的出现,不仅推动了分析学的发展,是的该领域的面貌发生了巨大的变化,而且,它的观点和方法还广泛的渗透到其他的科学和工程技术领域。
12.2抽象代数的确立
19世纪初,由于伽罗瓦等人的工作,代数学研究的对象已经突破了传统数(包括符号表示的数)的范畴,到了19世纪末,德国数学家戴德金、韦伯(We-ber,1842-19713)和尔伯特等人通过对许多分散出现的具体对象抽象出它们的共同特征,进行统一的公理化处理,使得群、环、域、模以及代数等相关概念进一步深化,并逐渐将其应用于代数学的各个领域,一个新的数学分支——抽象代数初现端倪,而这一分支的主要奠基人是德国女数学家诺特(E.Noether,1882-1935)。
诺特出生于德国大学城—爱尔朗根的一个犹太人家庭,父亲马克思·
诺特(M.Noether,18844-1921)是一位颇有名气的数学家,一直在爱尔朗根学当教授。
诺特12岁时在爱尔朗根高级女子学校读高中,她对那些专门为女孩子开设的宗教、钢琴、舞蹈等课程毫无兴趣,只对语言学习还感兴趣,后来又对数学产生了浓厚的兴趣。
中学毕业后,她来到父亲任教的的爱尔朗根大学旁听数学。
以后又到哥丁根大学,直接听到希尔伯特、克莱因、闵科夫斯基等著名数学家讲课。
1907年,她通过了博士考试,其博士论文题目是“三元双二次型的不变量完全系”。
1915年,哥丁根大学的克莱因、希尔伯特邀请诺特去哥丁根。
因为他们当时正热衷于相对论研究,而诺特在不变式理论方面的工作正是他们的研究所需的。
希尔伯特很想帮她在哥丁根大学取得授课资格,但是当时哥丁根大学哲学系中的语言学教授、历史学教授却极力反对,其理由就因诺特是女人,希尔伯特在校务会议上不无气愤地说:
“先生们,我不明白为什么候选人的性别是阻碍她取得讲师资格的理由,我们这里毕竟是大学而不是俗池。
”也许正因为这般话,更激怒了他的对手们,诺特仍然没有获准通过。
然而,她还是在哥丁根大学的讲台上向学生讲了课,不过是在希尔伯特的名义之下,一直到第一次世界大战结束后的1919年,诺特才当上了讲师,1922年至1933年,她取得“编外副教授”职位,这是一个没有工资的头衔,只因她担当了代数课的讲授,才从学生所缴学费中支付给她一小笔薪金,在这种艰难的情况下,诺特在希尔伯特、克莱因的相对论研究的思想影响下,于1918年发表了两篇重要论文,一篇是把黎曼几何和广义相对论中常用的微积分不变式问题化为代数不变式问题,一篇是把对称性、不变性与物理学中的守恒定律联系起来,大道理现在被物理学家称为“诺特定理”的原理,这一原理成为相对论和基本粒子物理学的基础。
1920年以后,诺特开始走上自己独立创建“抽象代数学”的道路。
在这一年,她引入了“左模”、“右模”的概念。
过来一年,她发表论文《整环的理想论》,在公理化的基础上建立了一般的理想论,成为交换代数发展的里程碑,她从不同理论的相似现象出发,把不同的对象加以抽象化、公理化,提炼出最简洁、最一般的概念,如同态、理想、算子环等,然后用统一的方法加以处理,得出一般性的理论,用她的这种理论可以处理各个不同领域的特殊性问题。
诺特的这套理论完成于1926年,从此代数学研究对象从研究代数方程跟的计算与分布,进入导演就数字、文字和更一般元素的代数运算规律和各种代数结构,完成了古典代数到抽象代数的本质的转变。
1928年在意大利波隆那举行的国际数学家大会上,诺特应邀作了一个30分钟的分组报告。
1932年在苏黎世举行的国际数学家大会上,诺特作了一小时的全会报告。
她的报告得到许多数学家的赞扬,赢得了极高的国际声誉。
一些年迈的数学家亲眼看到他们用旧式计算方法不能解决的问题,被诺特用抽象代数方法漂亮而简捷地解决了,不得不心悦诚服。
同年,由于她在数学方面的卓越成就,诺特和阿丁共同获得了“阿克曼特布纳奖”。
1933年1月,希特勒上台后疯狂迫害犹太人。
同年4月26日,哥丁根大学6位犹太人教授被勒令离开大学,其中之一就是诺特。
经著名数学家韦尔介绍和帮助,1933年9月,诺特才得以移居美国,在美国布林马尔女子学院任教,并在普林斯顿高等研究院兼职,一直到1935年因癌症与世长辞。
诺特一生发表的学术论文只有40多篇,蛋挞对抽象代数学发展所产生的巨大影响,并不完全出自她的论文,更重要的还是出自她与同事、学生的接触、交往、合作与讲课。
她的讲课技巧并不高明,即匆忙又不连贯。
但是,她常详细叙述自己尚未最终定型的新想法,其中充满了深刻的哲理,也充满了不同凡响的创造激情。
在哥丁根大学教学期间,许多学者慕名而来,其中包括荷兰数学家范德瓦尔登、奥地利数学家阿廷和前苏联数学家亚历山大罗夫等,他们追随诺特进行抽象代数研究,取得了丰硕的成果,形成了追名的哥丁根抽象代数学派,又称诺特学派。
范德瓦尔登后来出版了二卷本的《近世代数学》,总结了该学派和其他数学家的成果,运用彻透的公理化形式对抽象代数进行了阐述,这部经典之作在很长时间内成为数学家们关注的热点。
在诺特之后,抽象代数学仍然得到不断发展。
20世纪30年代后期,格的理论得到确立;
40年代中叶,作为线性代数推广的模论得到进一步发展并产生了深刻的影响,泛代数、同调代数等新领域也逐步建立与发展起来。
特别是法国布尔巴基学派的工作,他们认为数学就是“数学节构的仓库”,提出了更一般的数学结构观点,除了代数结构外,明确了另外两类结构——拓扑结构和序结构,以这三种母结构为基础,通过它们的交叉、结合产生出各种层次的新结构,导致了对数学中更一般的抽象结构的研究,在他们工作的影响下,麦克莱恩和艾伦伯格(S.Eilenberg)提出了所谓“范畴”,已成为在数学中起统一作用的概念之一。
12.3拓扑学的起源和发展
拓扑学是研究几何图形连续性质即在连续变形下保持不变性质的一门学科。
它的起源可以追溯到18世纪欧拉对著名的格尼斯堡七桥问题的研究,高斯在为代数基本定理所所作的5个证明中就已经用到了两个拓扑性质,另外,他还曾经考虑过结点问题。
不过,他们都成这类问题为“位置几何”。
1847年,高斯的学生李斯廷(J.B.Listing,1808-1982)发表了《拓扑学初步》,首先引用了拓扑学这一术语,其源于希腊文中(位置和形势的意思)与(学问的意思)。
因此,他的这一本著作被称为是第一本拓扑学著作。
1852年,古德里(F.Guthrie,1831-1879)提出的关于四色问题的猜想,对拓扑学的发展起到了进一步推动的作用。
1851年,黎曼在他的博士论文中提出了黎曼曲面的概念,强调了拓扑学对研究函数、微积分的重要性,从此开始了拓扑学的系统研究。
1854年,黎曼在论文《几何基础假象》中引进了流形的概念,成功的解决了可定相比曲面上的同胚分类问题,此后,有关拓扑学方面的研究成果逐渐出现,比较著名的有:
莫比乌斯大约是在1856年前后引入的现在称为莫比乌斯带的曲面;
1873年,麦克斯韦(Maxwell,1831-1879)把拓扑学的连通性理论应用于电磁学的研究等。
组合托扑学的系统研究始于法国数学家庞加莱(Poincare,1854-1912)。
他是在关于负函数的单值化和与由微分方程决定的曲线究中,引出组合拓扑学问题。
他在1895年发表了题为《位置分析》的系列论文,创立了用剖分研究流形的方法,将几何图形剖分成有限个相互连接的基本片,然后用代数组合的方法研究其性质。
在这里,他定义了n维流形、同胚、同调等概念,引进了一系列拓扑不变量,首次建立了庞加莱对偶定理,提出了庞加莱猜想等。
从他开始,拓扑学分为点集拓扑学和组合拓扑学两个部分,这就使得拓扑学的发展走上了更为宽广的道路。
点集拓扑学的概念是于1908年由德国数学家舍恩弗利斯(Schoenflies,1853-1828)在研究欧几里得运动和正则空间的分割理论时提出的。
1914年,德国数学家豪斯道夫(Hausdorff,1868-1942)在他的《集合论纲要》中建立了抽象空间的完整理论,并第一次抽象地使用了点集的领域的概念,成为点集拓扑学理论形成的标志。
他还在此基础上,建立了连续、同胚、连通、维数等一系列基础性的概念。
拓扑学在20世纪二三十年代获得了重大进展,特别是在同调理论(包括同调环、同调群等)方面的研究取得了一系列的重要结果。
例如,美国数学家维布伦(Veclen,1880-1960),他解决了一条闭曲线如何分割一个平面的问题,并依据序和线性连续的概念定义了曲线。
他的著作《拓扑学》是那个时期仅有的一部系统的拓扑学著作,影响了那一时期拓扑学的发展。
美国数学家亚历山大(J.W.Alexender,1888-1971),发展了同调论,推广了庞加莱的对偶定理,得到了曲面连续映射中的不动点和贝蒂数的不变性,证明了两个三维流形可以有相同的贝蒂数、挠系数和基本数,但却不是同胚的。
前苏联数学家亚历山大罗夫和乌雷松共同创立并发展了紧与列紧空间理论,引入了一些基本概念和拓扑结构,建立了本质映射定理和同调维数论,并由此导出了一系列对偶性原理的基本规律,如他们得到:
任何一个一般拓扑空间都与一个简单的几何图形——多面体相似;
图形与集的拓扑性质有关等。
由于这些数学家的工作,使得拓扑学成为20世纪最重要的数学分支之一。
12.4应用数学的崛起
12.4.1运筹学
运筹学的思想是十分古老的。
早在公元前300多年的我国战国时期,著名的军事家孙武的后代孙膑巧妙利用竞赛规则,为田忌设计了一个赛马方案,使得最终田忌以二比一胜了齐王。
孙膑所采用的就是所谓运筹学的思想。
这种思想在古今中外兵法中也多有体现。
在第二次世界大战中,英国军方为使雷达和战机系统能够相互配合,为达到最佳的作战效果专门成立了一个运筹小组,研究这一方面的问题。
不久美国军方也成立了相应的机构,并且都在防空作战、搜寻潜艇、投放深水炸弹和兵力配备等方面发挥了功效。
战后,这些研究内容又被引入民用部门,研究内容也不断扩充,最终形成了一门蓬勃发展的新兴学科。
目前,这一学科包括博弈论、规划论、排队论、决策分析、图论等众多分支,其内容十分丰富。
12.4.2控制论
控制论也是在第二次世界大战中兴起的一门应用学科。
该学科的创始人是美国数学家维纳(N.Wiener,1894-1965).
维纳出生于美国的哥伦比亚,其父亲是哈佛大学的斯拉夫语言学教授,他很早就发现了维纳的天赋,并实施了对儿子的早期教育计划。
在其父亲指导下,维纳3岁能看书,7岁学完从初等数学到解析几何的全套数学课本,11岁上大学,14岁获得学士学位,19岁获得哈佛大学哲学博士学位。
后来又到欧洲游学,先后得到罗素、希尔伯特等著名数学家的指导。
回到美国后,在麻省理工学院。
曾担任美国数学学会会长等职。
他早期的工作主要包括数理逻辑、概率论、巴拿赫空间、布朗运动和调和分析等方面,并取得了重要成果。
不过他最大的贡献在于创立了控制论。
在第二次世界大战期间,维纳接受了一项与火力控制有关的研究。
在研究过程中,他发现机器与动物之间存在着潜在的可类比性,并与1943年发表论文,首次将动物的目的行为赋予机器,奠定了控制论的思想雏形。
1948年,他的专著《控制论——或关于在动物和机器中控制和通讯的科学》问世,这标志着一门新的综合性学科的诞生。
“控制”一词源于希腊文,原意为“舵手”。
在这部著作中,维纳将动物和机器的某些机制加以类化,着重论述了一切生物与机器系统在结构功能上共有的特征和本质的统一,进而把机器系统的信息、反馈等概念引入生物系统,并把生物系统的自组织、自适应等概念引入机器系统,提供了一套适于作为联系各学科纽带的共同语言、概念、模型和方法。
维纳的控制论通常被称为“经典控制论”。
20世纪50年代以后,控制论得到迅速发展。
前苏联数学家庞特里亚金1958年提出了极大值原理,给出了系统最优控制的一种强有力的方法;
美国数学家卡尔曼(R.E.Kalman)1960年引进了状态空间法和“卡尔曼滤波”的概念,后者可以更有效地控制随机噪音,扩大了控制论研究的范围;
贝尔曼提出了动态规划最优化原理。
这些成为现代控制论的三大基石,推动了控制论的进一步发展。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 数学史