五升六暑期奥数培训教材Word文件下载.docx
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3+37×
0.125
(3)7.24×
1+0.5×
72。
4+0。
049×
724
(4)6。
49×
0.22+258×
0649+5。
3×
49+64。
0.19
【例2】:
(2+0.48+0。
82)×
(0.48+0。
82+0。
56)-(2+0。
48+0.56)×
(0。
48+0.82)
思路导航:
整个式子是乘积之差的形式,它们构成很有规律,如果把2+0。
48+0.82用A表示,把0。
48+0。
82用B表示,则原式化为A×
(B+0.56)—(A+0.56)×
B,再利用乘法分配律计算,大大简化了计算过程.
解:
设A=2+0.48+0。
82B=0。
48+0.82,
原式=A×
B
=A×
B+A×
56-(A×
B+0.56×
B)
=A×
56-A×
B—0。
56×
=0。
(A—B)
2
=1.12
同步导练二:
(1)(3。
7+4.8+5。
9)×
(4.8+5。
9+7)-(3.7+4.8+5.9+7)×
(4。
8+5.9)
(2)(4.6+4.8+7.1)×
(4.8+7。
1+6)-(4.6+4.8+7。
1+6)×
8+7。
1)
【例三】:
计算76.8÷
14
这道题是乘除同级运算,解答时,利用添括号法则,在“÷
"
后面添括号,括号里面要变号,“×
”变“÷
”,“÷
”变“×
”。
不过,同学们请注意,这种方法只适用于乘、除同级运算。
解:
76。
8÷
=76。
(56÷
14)
=76。
4
=19.2
同步导练三:
(1)144÷
15。
6×
13
(2)
(3)
【例四】:
0。
999×
0.7+0。
111×
3。
7
思路导航:
本类题可以将原式进行合理的等值变形后,再运用适当的方法进行简便运算
=0。
7+0。
3.7
=0.111×
6.3+0。
7
(6。
3+3。
7)
10
=1。
11
同步导练四:
(1)0。
6+0.111×
3.6
(2)0.222×
0.778+0。
444×
0.111
(3)0.888×
0.9+0.222×
4(4)0。
5。
5+0。
555×
0.9
下面有两个小数:
a=0.00…0125b=0。
00…08
1996个02000个0
试求a+b,a-b,ab,ab。
一个量可以用它的等量来代替;
被减数和减数都增加(或减少)同一个数,它们的差不变。
前者是等量公理,后者是减法的差不变性质。
这两个性质在解几何题时有很重要的作用,它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积,或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差,从而使隐蔽的关系明朗化,找到解题思路。
例1两个相同的直角三角形如下图所示(单位:
厘米)重叠在一起,求阴影部分的面积.
分析与解:
阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形,然而它的上底与下底都不知道,因而不能直接求出它的面积.因为三角形ABC与三角形DEF完全相同,都减去三角形DOC后,根据差不变性质,差应相等,即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等,所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。
直角梯形OEFC的上底为10-3=7(厘米),面积为(7+10)×
2÷
2=17(厘米2)。
所以,阴影部分的面积是17厘米2。
例2在右图中,平行四边形ABCD的边BC长10厘米,直角三角形ECB的直角边EC长8厘米.已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2,求平行四边形ABCD的面积.
因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2,都加上梯形FGCB后,根据差不变性质,所得的两个新图形的面积差不变,即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2,所以平行四边形ABCD的面积等于
10×
2+10=50(厘米2)。
例3在右图中,AB=8厘米,CD=4厘米,BC=6厘米,三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2。
求ED的长.
求ED的长,需求出EC的长;
求EC的长,需求出直角三角形ECB的面积。
因为三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2,这两个三角形都加上四边形FDCB后,其差不变,所以梯形ABCD比三角形ECB的面积大18厘米2。
也就是说,只要求出梯形ABCD的面积,就能依次求出三角形ECB的面积和EC的长,从而求出ED的长。
梯形ABCD面积=(8+4)×
6÷
2=36(厘米2),
三角形ECB面积=36—18=18(厘米2),
EC=18÷
2=6(厘米),
ED=6-4=2(厘米)。
例4下页上图中,ABCD是7×
4的长方形,DEFG是10×
2的长方形,求三角形BCO与三角形EFO的面积之差。
分析:
直接求出三角形BCO与三角形EFO的面积之差,不太容易做到.如果利用差不变性质,将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差,而这两个图形的面积之差容易求出,那么问题就解决了。
解法一:
连结B,E(见左下图)。
三角形BCO与三角形EFO都加上三角形BEO,则原来的问题转化为求三角形BEC与三角形BEF的面积之差。
所求为4×
(10—7)÷
2-2×
(10-7)÷
2=3。
解法二:
连结C,F(见右上图)。
三角形BCO与三角形EFO都加上三角形CFO,则原来的问题转化为求三角形BCF与三角形ECF的面积之差。
2—2×
解法三:
延长BC交GF于H(见下页左上图)。
三角形BCO与三角形EFO都加上梯形COFH,则原来的问题转化为求三角形BHF与矩形CEFH的面积之差。
所求为(4+2)×
(10—7)=3.
解法四:
延长AB,FE交于H(见右上图)。
三角形BCO与三角形EFO都加上梯形BHEO,则原来的问题转化为求矩形BHEC与直角三角形BHF的面积之差。
(10—7)—(10-7)×
(4+2)÷
2=3.
例5左下图是由大、小两个正方形组成的,小正方形的边长是4厘米,求三角形ABC的面积
这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件,实际上本题的结果与大正方形的边长没关系.连结AD(见右上图),可以看出,三角形ABD与三角形ACD的底都等于小正方形的边长,高都等于大正方形的边长,所以面积相等。
因为三角形AFD是三角形ABD与三角形ACD的公共部分,所以去掉这个公共部分,根据差不变性质,剩下的两个部分,即三角形ABF与三角形FCD面积仍然相等。
根据等量代换,求三角形ABC的面积等于求三角形BCD的面积,等于4×
4÷
2=8(厘米2)。
练习:
1。
右上图(单位:
厘米)是两个相同的直角梯形重叠在一起,求阴影部分的面积。
2。
下页左上图中,矩形ABCD的边AB为4厘米,BC为6厘米,三角形ABF比三角形EDF的面积大9厘米2,求ED的长。
6。
右上图中,CA=AB=4厘米,三角形ABE比三角形CDE的面积大2厘米2,求CD的长。
影部分的面积和。
第3讲年龄问题
从不变中找规律
每个人的年龄年年都在增加,但人与人之间的年龄差永远不会改变,解答年龄问题一定要抓住年龄差这一不变量,从中寻找规律,解决问题。
综合起来看问题
年龄问题经常与和差、和倍、差倍问题等综合出现,解答时,一定要从多种角度分析,可以巧妙地将年龄问题转化成我们已学过的知识进行解答。
可以利用直观图法帮助分析数量关系
1、今年姐姐14岁,妹妹9岁,当姐妹二人年龄和是39岁时,妹妹多少岁?
2、2007年张叔叔45岁,小明9岁.张叔叔的年龄是小明年龄的4倍时应该是那一年?
3、爷爷和孙子今年的年龄和为66岁,如果再过3年后,爷爷的年龄恰好是孙子年龄的7倍,爷爷和孙子今年各多少岁?
4、奶奶比孙子大60岁,奶奶与孙子的年龄和为72岁,那么再过多少年后,奶奶的年龄是孙子的7倍。
5、今年爸爸和女儿的年龄之和是38岁,如果给女儿加上4岁,爸爸的年龄正好为女儿的5倍,爸爸和女儿各多少岁?
6、李楠家共三口人:
爸爸、妈妈和李楠,爸爸比妈妈大1岁,妈妈比李楠大25岁,又过了四年后,全家三口人的年龄和为84岁,今年李楠家的人各是多少岁?
7、甲对乙说:
“我今年年龄是你今年年龄的2倍。
”乙对甲说:
“我6年后的年龄和你10年前的年龄一样。
”问甲、乙今年各是多少岁?
8、今年父亲的年龄为儿子年龄的4倍,20年后父亲的年龄为儿子年龄的2倍,问今年儿子多少岁?
9、爷爷和爸爸的年龄差是小明年龄的3倍,爷爷比爸爸与小明的年龄和大18岁.小明今年多少岁?
10、爷爷比爸爸大26岁,妈妈比小明也大26岁。
已知他们四人今年的年龄和是126岁,而5年前的年龄和为107岁.问爷爷与小明的年龄之差是多少岁?
11、小军的年龄和小红现在的年龄一样时的那一年,小红8岁;
小红的年龄和小军现在的年龄一样时的那一年,小军20岁。
小红现在多少岁?
12、1994年父与子的年龄和是36岁,2000年父亲的年龄是儿子年龄的3倍。
问父亲年龄是儿子年龄两倍时是哪一年?
第8讲:
分解质因数
专题分析:
一个自然数的因数中,为质数的因数叫做质因数。
可以通过分解质因数的方法来启发我们的思维.
【例1】把18个苹果平均分成若干份,每份大于1,小于18。
一共有多少种不同分法?
练习:
1、有60个同学分成人数相等的小组去慰问解放军叔叔,每组不少于6人,不多余15人,有哪几种分法?
2、195个同学排成长方形队伍做早操,行数和列数都大于1,一共有几种分发?
3、甲数比乙数大9,两个数的积是792,求甲、乙两数各是多少?
【例2】、写出若干个连续的自然数,使它的积是15120.
1、有一个长方体,它的长宽高是一个连续的自然数,且体积是39270立方厘米,求这个长方体的表面积。
2、有4个孩子,恰好一个比一个大1岁,4人的年龄积是3024。
问这4个孩子各是多少岁?
3、四个连续的奇数的积是19305。
这四个数各是多少?
【例3】、将下列八个数平均分成两组,使这两组数的乘积相等.
2、5、14、24、27、55、56、99
把40、44、45、63、65、78、99、105这八个数平均分成两组,使两组四个数的乘积相等.
【例4】、王老师带领同学去植树,如果王老师和学生每人植树一样多,那么他们一共植了539棵。
这个班有多少个学生?
每人植树多少棵?
1、植树节,老师带领同学去植树,已知老师和学生每人植树的棵数相等,一共植了111棵。
求有多少个同学?
2、小青去看电影,他买的票的排数与座位号数的积是391,而且排数比座位号数大6,小青买的电影票是几排几号?
3、把一篮苹果分给4人,使4人的苹果数一个比一个多2,且他们的苹果个数的乘积是1920。
这篮苹果有多少个?
第9讲:
最小公倍数
几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数.其中最小的一个公倍数,叫做这几个数的最小公倍数.记住以下公式:
最大公因数×
最小公倍数=这两个数的积.
【例1】、两个数的最大公约数是15,最小公倍数是90。
求这两个数分别是多少?
1、两个数的最大公约数是9,最小公倍数是90。
2、两个数的最大公约数是12,最小公倍数是60。
求这两个数的和是多少?
3、两个数的和是52,它们的最大公约数是4,最小公倍数是144。
【例2】:
甲乙丙三人是朋友,他们每隔不同天数到图书馆去一次,甲3天去1次,乙4天去1次,丙5天去1次.有一天三人恰好在图书馆相会。
问至少再过多少天他们又在图书馆相会?
1、1路、2路和5路车都从东站发车,1路车每隔10分钟发一辆,2路车每隔15分钟发一辆,而5路车每隔20分钟发一辆。
当这三路车同时发车后,至少要过多少分钟又有这三条线路的车同时发车?
2、甲乙丙从同一起点出发沿同一方向在圆形跑道上跑步,甲跑一圈用120秒,乙跑一圈用80秒,丙跑一圈用100秒。
问:
再过多少时间三人第二次同时从起点出发?
3、五年级一班的同学每周一都要去看军属张爷爷。
二班的同学每隔6天去看一次,三班的同学每两周去看一次。
如果“六、一”儿童节三个班的同学同一天去看张爷爷,那么,再过多少天他们三个班的同学再次同一天去看张爷爷?
第10讲还原问题
例1.甲、乙、丙三个组共有图书90本,如果乙组向甲组借3本后,又送给丙组5本,结果三个组所有图书的本数刚好相等。
甲、乙、丙三个组原来各有图书多少本?
分析:
例2.甲、乙两个车站共停了195辆汽车,如果从甲站开到乙站36辆,又从乙站开出45辆汽车,这时乙站停了汽车辆数是甲站的2倍。
原来甲、乙两站各停放多少辆汽车?
例3、一筐鱼连筐重122千克,卖出一半鱼后,再卖出剩下的鱼的地半,这时连筐还重35千克。
原来筐和鱼各重多少千克?
练习与思考
1.小亮在计算一道除法题的时候,把除数36写成62,结果重到的商是30余12.正确的商应该是多少?
2.小明在做一道减法题的时候,把被减数个位上的4错写成7,把十位的1错写成5,把百位上的3错写成2,这样,他算得的差是143。
正确的差应该是多少?
3.小兰问一位老师今年多大年纪,老师说:
“把我的年龄除以6后加上14,再乘以3,最后减去27,是33岁.”这位老师多少岁?
4.操场上放了一些花盆,第一次搬走了全部的一半多8盆,第二次搬走了余下的一半少4盆,将剩下了摆成6排,每排恰好放2盆.原来有多少个花盆?
5.甲、乙、丙三个小朋友共有年历片120张,如果甲给乙13张,乙给丙23张后,他们每人的张数相等。
原来三人各有年历片几张?
6.甲、乙、丙共有72元钱,甲拿出与乙同样多的钱给乙,乙再拿出与丙同样多的钱给丙,这时三人的钱数同样多.甲、乙、丙三人原来各有多少钱?
7.甲、乙两个车站共停了90辆汽车,如果从乙站开到甲站12辆汽车,又从甲站开出30辆汽车,这时甲站停的汽车辆数是乙站的3倍.原来甲、乙两站各停了多少辆汽车?
8.甲、乙两个车站共停了90辆汽车,如果从甲站开到乙站38辆汽车后,乙站开到甲站14辆,这时两站停的汽车辆数相等。
两站原来各停了多少辆汽车?
9.某车间分成甲、乙两个组,因生产需要,把甲组工人的一半调到乙组去了,后来改变工作程序,又把乙组工人中的25人调到了甲组,这时甲组有45人,乙组有22人。
甲、乙两个组原来各有多少人?
10.一个水桶里面装有水,连桶称是5千克,把水加到原来的4倍,连桶称是11千克。
桶里原来有多少千克水?
桶有多重?
第11讲周期问题
【例】1.10个2连乘的积的个位数是几?
【例】2.1998年元旦是星期四,1999年元旦是星期几?
【例3】.黑珠、白珠共185个串成一串,排列如图:
○●○○○●○○○●○○○……最后一个是什么颜色的?
这一串共有多少个白珠,多少个黑珠?
【例4】.把自然数按下图的规律排列后,分成A、B、C、D、E五类,例如,4在D类,10在B类。
那么,1998在哪一类?
【例5】有一个1111位的数,各位数字都是1,这个数除以6余数是几?
商的末位数字是几?
【例6】2001年10月1日是星期一,那么,2002年1月1日是星期几?
1.42个8连乘以积的个位数是几?
2.99个999连乘,所得积的个位数字是几?
3.1988年2月1日是星期日,1992年2月1日是星期几?
1998年2月1日呢?
4.如果时钟现在表示的时间是18时整,那么,分针旋转1990圈以后是几时?
5.黑珠、白珠共150个串成一串,排列如图:
○●●○○●●○○●●○○……
最后一个是什么颜色的?
这一串共有多少个白珠,多少个黑珠?
6.英文字母A、B、C、D探险BCDABAACDABAACDABAACD…排列,共250个字母,最后一个字母是什么?
A、B、C、D各多少个?
7.按表中的顺序排下去,数“1998”在下面两个表中各出现在哪个字母的位置上?
8.一个200位的数,每位上的数字都是3,用它除以7,余数是几?
9.3×
…×
3共85个3相乘,加上4×
4共80个4相乘,它们和的个位数是几?
专题解析:
鸡兔同笼问题是按照题目的内容涉及到鸡与兔而命名的,它是一类有名的中国古算题.许多小学算术应用题,都可以转化为鸡兔同笼问题来加以计算。
【例1】小梅数她家的鸡与兔,数头有16个,数脚有44只。
小梅家的鸡与兔各有多少只?
【例2】:
100个和尚140个馍,大和尚1人分3个馍,小和尚1人分1个馍.问:
大、小和尚各有多少人?
【例3】:
彩色文化用品每套19元,普通文化用品每套11元,这两种文化用品共买了16套,用钱280元。
问:
两种文化用品各买了多少套?
例4:
鸡、兔共100只,鸡脚比兔脚多20只。
鸡、兔各多少只?
例5:
现有大、小油瓶共50个,每个大瓶可装油4千克,每个小瓶可装油2千克,大瓶比小瓶共多装20千克。
大、小瓶各有多少个?
本题与例4非常类似,仿照例4的解法即可。
例6:
一批钢材,用小卡车装载要45辆,用大卡车装载只要36辆。
已知每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨,那么这批钢材有多少吨?
例7:
乐乐百货商店委托搬运站运送500只花瓶,双方商定每只运费0。
24元,但如果发生损坏,那么每打破一只不仅不给运费,而且还要赔偿1。
26元,结果搬运站共得运费115.5元。
搬运过程中共打破了几只花瓶?
例8:
小乐与小喜一起跳绳,小喜先跳了2分钟,然后两人各跳了3分钟,一共跳了780下.已知小喜比小乐每分钟多跳12下,那么小喜比小乐共多跳了多少下?
练习
1.鸡、兔共有头100个,脚350只,鸡、兔各有多少只?
2.学校有象棋、跳棋共26副,2人下一副象棋,6人下一副跳棋,恰好可供120个学生进行活动。
象棋与跳棋各有多少副?
3.班级购买活页簿与日记本合计32本,花钱74元。
活页簿每本1.9元,日记本每本3。
1元.问:
买活页簿、日记本各几本?
4.龟、鹤共有100个头,鹤腿比龟腿多20只。
龟、鹤各几只?
5.小蕾花40元钱买了14张贺年卡与明信片。
贺年卡每张3元5角,明信片每张2元5角。
贺年卡、明信片各买了几张?
6.一个工人植树,晴天每天植树20棵,雨天每天植树12棵,他接连几天共植树112棵,平均每天植树14棵.问:
这几天中共有几个雨天?
7.振兴小学六年级举行数学竞赛,共有20道试题。
做对一题得5分,没做或做错一题都要扣3分。
小建得了60分,那么他做对了几道题?
8.有一批水果,用大筐80只可装运完,用小筐120只也可装运完。
已知每只大筐比每只小筐多装运20千克,那么这批水果有多少千克?
9.蜘蛛有8条腿,蜻蜓有6条腿和2对翅膀,蝉有6条腿和1对翅膀.现有三种小虫共18只,有118条腿和20对翅膀.问:
每种小虫各有几只?
10.鸡、兔共有脚100只,若将鸡换成兔,兔换成鸡,则共有脚92只。
鸡、兔各几只?
人们在分东西的时候,经常会遇到剩余(盈)或不足(亏),根据分东西过程中的盈或亏所编成的应用题叫做盈亏问题.
【例1】小朋友分糖果,若每人分4粒则多9粒;
若每人分5粒则少6粒。
有多少个小朋友分多少粒糖?
【例2】小朋友分糖果,若每人分3粒则剩2粒;
有多少个小朋友?
多少粒糖果?
【小结】:
由例1、例2看出,所谓盈亏问题,就是把一定数量的东西分给一定数量的人,由两种分配方案产生不同的盈亏数,反过来求出分配的总人数与被分配东西的总数量。
解题的关键在于确定两次分配数之差与盈亏总额(盈数+亏数),由此得到求解盈亏问题的公式:
分配总人数=盈亏总额÷
两次分配数之差。
需要注意的是,两种分配方案的结果不一定总是一“盈”一“亏”,也会出现两“盈”、两“亏"
、一“不盈不亏”一“盈”或“亏”等情况。
【例3】小朋友分糖果,每人分10粒,正好分完;
若每人分16粒,则有3个小朋友分不到糖果。
有多少粒糖果?
【例4】一批小朋友去买东西,若每人出10元则多8元;
若每人出7元则少4元。
有多少个小朋友?
东西的价格是多少?
【例5】顾老师到新华书店去买书,若买5本则多3元;
若买7本则少1。
8元。
这本书的单价是多少?
顾老师共带了多少元钱?
例6王老师去买儿童小提琴,若买7把,则所带的钱差110元;
若买5把,则所带的钱还差30元.问:
儿童小提琴多少钱一把?
王老师带了多少钱?
1.小朋友分糖果,每人3粒,余30粒;
每人5粒,少4粒。
多少粒糖?
2.一个汽车队运输一批货物,如果每辆汽车运3500千克,那么货物还剩下5000千克;
如果每辆汽车运4000千克,那么货物还剩下500千克.问:
这个汽车队有多少辆汽车?
要运的货物有多少千克?
3.学校买来一批图书.若每人发9本,则少25本;
若每人发6本,则少7本。
有多少个学生?
买了多少本图书?
4.参加美术活动小组的同学,分配若干支彩色笔.如果每人分4支,那么多12支;
如果每人分8支,那么恰有1人没分到笔。
有多少同学?
多少支彩色笔?
5.红星小学去春游。
如果每辆车坐60人,那么有15人上不了车;
如果每辆车多坐5人,那么恰好多出一辆车.问:
有多少辆车?
多少个学生?
6.某数的8倍减去153,比其5倍多66,求这个数。
7.某厂运来一批煤,如果每天烧1500千克,那么比原计划提前一天烧完;
如果每天烧1000千克,那么将比原计划多用一天。
现在要求按原计划烧完,那么每天应烧煤多少千克?
8.同学们为学校搬砖,每人搬18块,还余2块;
每人搬20块,就有一位同学没砖可搬。
共有砖多少块?
有些问题初看似乎不像盈亏问题,但将题目条件适当转化,就露出了盈亏问题的“真相"
。
【例1】某班学生去划船,如果增加一条船,那么每条船正好坐6人;
如果减少一条船,那么每条船就要坐9人。
学生有多少人?
【例2】少先队员植树,如果每人挖5个坑,那么还有3个坑无人挖;
如果其中2人各挖4个坑,其余每人挖6个坑,那么恰好将坑挖完.问:
一共要挖几个坑?
【例3】在桥上用绳子测桥离水面的高度。
若把绳子对折垂到水面,则余8米;
若把绳子三折垂到水面,则余2米。
桥有多高?
绳子有多长?
【例4】有若干个苹果和若干个梨.如果按每1个苹果配
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