中考数学综合题专题复习【几何中的动点问题】专题解析.doc

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数学专题之【几何综合题】精品解析

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中考数学综合题专题复习【几何中的动点问题】专题解析

【真题精讲】

【例1】如图，在梯形中，，，，，梯形的高为．动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为（秒）．

（1）当时，求的值；

（2）试探究：

为何值时，为等腰三角形．

【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。

但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。

对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M，N是在动，意味着BM,MC以及DN,NC都是变化的。

但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。

所以当题中设定MN//AB时，就变成了一个静止问题。

由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。

【解析】

解：

（1）由题意知，当、运动到秒时，如图①，过作交于点，则四边形是平行四边形．

∵，．

∴．（根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题）

∴．（这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键）

∴．解得．

【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN这两种情况。

在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。

具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解

【解析】

（2）分三种情况讨论：

①当时，如图②作交于，则有即．（利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质）

∵，

∴，

∴，

解得．

②当时，如图③，过作于H．

则，

∴．

∴．

③当时，

则．

．

综上所述，当、或时，为等腰三角形．

【例2】在△ABC中，∠ACB=45º．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．

（1）如果AB=AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论．

（2）如果AB≠AC，如图②，且点D在线段BC上运动．

（1）中结论是否成立，为什么？

（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC＝，，CD=，求线段CP的长．（用含的式子表示）

【思路分析1】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并未给出那个“静止点”，所以需要我们去分析由D运动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。

由题我们发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解。

【解析】：

（1）结论：

CF与BD位置关系是垂直；

证明如下：

AB=AC，∠ACB=45º，∴∠ABC=45º．

由正方形ADEF得AD=AF，∵∠DAF=∠BAC=90º，

∴∠DAB=∠FAC，∴△DAB≌△FAC，∴∠ACF=∠ABD．

∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90º．即CF⊥BD．

【思路分析2】这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找AC的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解。

（2）CF⊥BD．

（1）中结论成立．

理由是：

过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG

可证：

△GAD≌△CAF∴∠ACF=∠AGD=45º

∠BCF=∠ACB+∠ACF=90º．即CF⊥BD

【思路分析3】这一问有点棘手，D在BC之间运动和它在BC延长线上运动时的位置是不一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X还是4-X。

分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP.

（3）过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，

①点D在线段BC上运动时，

∵∠BCA=45º，可求出AQ=CQ=4．∴DQ=4-x，

易证△AQD∽△DCP，∴，∴，

．

②点D在线段BC延长线上运动时，

∵∠BCA=45º，可求出AQ=CQ=4，∴DQ=4+x．

过A作交CB延长线于点G，则．CF⊥BD，

△AQD∽△DCP，∴，∴，

．

【例3】已知如图，在梯形中，点是的中点，是等边三角形．

（1）求证：

梯形是等腰梯形；

（2）动点、分别在线段和上运动，且保持不变．设求与的函数关系式；

（3）在

（2）中，当取最小值时，判断的形状，并说明理由．

A

D

C

B

P

M

Q

60°

【思路分析1】本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重点还是在考察几何方面。

第一问纯静态问题，自不必说，只要证两边的三角形全等就可以了。

第二问和例1一样是双动点问题，所以就需要研究在P,Q运动过程中什么东西是不变的。

题目给定∠MPQ=60°，这个度数的意义在哪里？

其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系,所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系.怎么证相似三角形呢?

当然是利用角度咯.于是就有了思路.

【解析】

（1）证明：

∵是等边三角形

∴

∵是中点

∴

∵

∴

∴

∴

∴梯形是等腰梯形．

（2）解：

在等边中，

∴（这个角度传递非常重要,大家要仔细揣摩）

∴

∴

∴

∵∴

∴∴（设元以后得出比例关系,轻松化成二次函数的样子）

【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。

由第二问所得的二次函数，很轻易就可以求出当X取对称轴的值时Y有最小值。

接下来就变成了“给定PC=2，求△PQC形状”的问题了。

由已知的BC=4，自然看出P是中点，于是问题轻松求解。

（3）解：

为直角三角形

∵

∴当取最小值时，

∴是的中点，而

∴

∴

以上三类题目都是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解。

如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的。

当动的不是点，而是一些具体的图形时，思路是不是一样呢?

接下来我们看另外两道题.

【例4】已知正方形中，为对角线上一点，过点作交于，连接，为中点，连接．

（1）直接写出线段与的数量关系；

（2）将图1中绕点逆时针旋转，如图2所示，取中点，连接，．

你在

（1）中得到的结论是否发生变化？

写出你的猜想并加以证明．

（3）将图1中绕点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问

（1）中的结论是否仍然成立？

（不要求证明）

【思路分析1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。

从旋转45°到旋转任意角度，要求考生讨论其中的不动关系。

第一问自不必说，两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等。

第二问将△BEF旋转45°之后，很多考生就想不到思路了。

事实上，本题的核心条件就是G是中点，中点往往意味着一大票的全等关系，如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。

连接AG之后，抛开其他条件，单看G点所在的四边形ADFE，我们会发现这是一个梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法，自然想到过G点做AD,EF的垂线。

于是两个全等的三角形出现了。

（1）

（2）

（1）中结论没有发生变化，即．

证明：

连接，过点作于，与的延长线交于点．

在与中，

∵，

∴．

∴．

在与中，

∵，

∴．

∴

在矩形中，

在与中，

∵，

∴．

∴．

∴

【思路分析2】第三问纯粹送分，不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。

但是我们不应该止步于此。

将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因，如果△BEF任意旋转，哪些量在变化，哪些量不变呢？

如果题目要求证明，应该如何思考。

建议有余力的同学自己研究一下，笔者在这里提供一个思路供参考：

在△BEF的旋转过程中，始终不变的依然是G点是FD的中点。

可以延长一倍EG到H，从而构造一个和EFG全等的三角形，利用BE=EF这一条件将全等过渡。

要想办法证明三角形ECH是一个等腰直角三角形，就需要证明三角形EBC和三角形CGH全等，利用角度变换关系就可以得证了。

（3）

（1）中的结论仍然成立．

【例5】已知正方形ABCD的边长为6cm，点E是射线BC上的一个动点，连接AE交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B′处．

（1）当=1时，CF=______cm，

（2）当=2时，求sin∠DAB′的值；

（3）当=x时（点C与点E不重合），请写出△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式，（只要写出结论，不要解题过程）．

C

A

D

B

【思路分析】动态问题未必只有点的平移，图形的旋转，翻折（就是轴对称）也是一大热点。

这一题是朝阳卷的压轴题，第一问给出比例为1，第二问比例为2，第三问比例任意，所以也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目。

同学们需要仔细把握翻折过程中哪些条件发生了变化，哪些条件没有发生变化。

一般说来，翻折中，角，边都是不变的，所以轴对称图形也意味着大量全等或者相似关系，所以要利用这些来获得线段之间的比例关系。

尤其注意的是，本题中给定的比例都是有两重情况的，E在BC上和E在延长线上都是可能的，所以需要大家分类讨论，不要遗漏。

【解析】

（1）CF=6cm；（延长之后一眼看出，EAZY）

（2）①如图1，当点E在BC上时，延长AB′交DC于点M，

图1

∵AB∥CF，∴△ABE∽△FCE，∴．

∵=2，∴CF=3．

∵AB∥CF，∴∠BAE=∠F．

又∠BAE=∠B′AE，∴∠B′AE=∠F．∴MA=MF．

设MA=MF=k，则MC=k-3，DM=9-k．

在Rt△ADM中，由勾股定理得：

k2=（9-k）2+62，解得k=MA=．∴DM=．（设元求解是这类题型中比较重要的方法）

图2

∴sin∠DAB′=；

②如图2，当点E在BC延长线上时，延长AD交B′E于点N，

同①可得NA=NE．

设NA=NE=m，则B′N=12-m．

在Rt△AB′N中，由勾股定理，得

m2=（12-m）2+62，解得m=AN=．∴B′N=．

∴sin∠DAB′=．

（3）①当点E在BC上时，y=；

（所求△AB′E的面积即为△ABE的面积，再由相似表示出边长）

②当点E在BC延长线上时，y=．

【总结】通过以上五道例题，我们研究了动态几何问题当中点动，线动，乃至整体图形动这么几种可能的方式。

动态几何问题往往作为压轴题来出,所以难度不言而喻,但是希望考生拿到题以后不要慌张,因为无论是题目以哪种形态出现，始终把握的都是在变化过程中那些不变的量。

只要条分缕析,一个个将条件抽出来,将大问题化成若干个小问题去解决,就很轻松了.为更好的帮助考生,笔者总结这种问题的一般思路如下：

第一、仔细读题，分析给定条件中那些量是运动的，哪些量是不动的。

针对运动的量，要分析它是如何运动的，运动过程是否需要分段考虑，分类讨论。

针对不动的量，要分析它们和动量之间可能有什么关系，如何建立这种关系。

第二、画出图形，进行分析，尤其在于找准