中考复习专题二次函数经典分类讲解复习以及练习题-(-含答案).doc
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1、二次函数的定义
定义:
y=ax²+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)
定义要点:
①a≠0②最高次数为2③代数式一定是整式
练习:
1、y=-x²,y=2x²-2/x,y=100-5x²,y=3x²-2x³+5,其中是二次函数的有____个。
2.当m_______时,函数y=(m+1)χ-2χ+1是二次函数?
2、二次函数的图像及性质
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
由a,b和c的符号确定
由a,b和c的符号确定
a>0,开口向上
a<0,开口向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.
在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.
x
y
0
x
y
0
例2:
已知二次函数
(1)求抛物线开口方向,对称轴和顶点M的坐标。
(2)设抛物线与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点,求C,A,B的坐标。
(3)x为何值时,y随的增大而减少,x为何值时,y有最大(小)值,这个最大(小)值是多少?
(4)x为何值时,y<0?
x为何值时,y>0?
3、求抛物线解析式的三种方法
1、一般式:
已知抛物线上的三点,通常设解析式为________________
y=ax2+bx+c(a≠0)
2,顶点式:
已知抛物线顶点坐标(h,k),通常设抛物线解析式为_______________求出表达式后化为一般形式.
y=a(x-h)2+k(a≠0)
3,交点式:
已知抛物线与x轴的两个交点(x1,0)、(x2,0),通常设解析式为_____________求出表达式后化为一般形式.y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
练习:
根据下列条件,求二次函数的解析式。
(1)、图象经过(0,0),(1,-2),(2,3)三点;
(2)、图象的顶点(2,3),且经过点(3,1);
(3)、图象经过(0,0),(12,0),且最高点的纵坐标是3。
例1已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2,图象顶点在直线y=x+1上,并且图象经过点(3,-6)。
求a、b、c。
解:
∵二次函数的最大值是2
∴抛物线的顶点纵坐标为2
又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上
∴当y=2时,x=1
∴顶点坐标为(1,2)
∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2
又∵图象经过点(3,-6)
∴-6=a(3-1)2+2∴a=-2
∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2
即:
y=-2x2+4x
4、a,b,c符号的确定
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题:
(1)a的符号:
由抛物线的开口方向确定
(2)C的符号:
由抛物线与y轴的交点位置确定.
(3)b的符号:
由对称轴的位置确定
(4)b2-4ac的符号:
由抛物线与x轴的交点个数确定
(5)a+b+c的符号:
因为x=1时,y=a+b+c,所以a+b+c的符号由x=1时,对应的y值决定。
当x=1时,y>0,则a+b+c>0
当x=1时,y<0,则a+b+c<0
当x=1时,y=0,则a+b+c=0
(6)a-b+c的符号:
因为x=-1时,y=a-b+c,所以a-b+c的符号由x=-1时,对应的y值决定。
当x=-1,y>0,则a-b+c>0
当x=-1,y<0,则a-b+c<0
当x=-1,y=0,则a-b+c=0
练习
1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则a、b、c的符号为( )
A、a<0,b>0,c>0B、a<0,b>0,c<0
C、a<0,b<0,c>0D、a<0,b<0,c<0
2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则a、b、c的符号为( )
A、a>0,b>0,c=0B、a<0,b>0,c=0
C、a<0,b<0,c<0D、a>0,b<0,c=0
3、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则a、b、c、△的符号为( )
A、a>0,b=0,c>0,△>0B、a<0,b>0,c<0,△=0
C、a>0,b=0,c<0,△>0D、a<0,b=0,c<0,△<0
熟练掌握a,b,c,△与抛物线图象的关系(上正、下负)(左同、右异)
4.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点和二、三、四象限,
判断a、b、c的符号情况:
a0,b0,c0.
5.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点,且它的顶点在第三象限,
则a、b、c满足的条件是:
a0,b0,c0.
6.二次函数y=ax2+bx+c中,如果a>0,b<0,c<0,那么这个二次函数
图象的顶点必在第象限
先根据题目的要求画出函数的草图,再根据图象以及性质确定结果(数形结合的思想)
7.已知二次函数的图像如图所示,下列结论。
⑴a+b+c=0⑵a-b+c﹥0⑶abc﹥0⑷b=2a
其中正确的结论的个数是()
A1个B2个C3个D4个
要点:
寻求思路时,要着重观察抛物线的开口方向,对称轴,顶点的位置,抛物线与x轴、y轴的交点的位置,注意运用数形结合的思想。
5、抛物线的平移
左加右减,上加下减
练习
⑴二次函数y=2x2的图象向平移个单位可得到y=2x2-3的图象;
二次函数y=2x2的图象向平移个单位可得到y=2(x-3)2的图象。
⑵二次函数y=2x2的图象先向平移个单位,再向平移个单位可得到函数y=2(x+1)2+2的图象。
引申:
y=2(x+3)2-4y=2(x+1)2+2
(3)由二次函数y=x2的图象经过如何平移可以得到函数y=x2-5x+6的图象.
y=x2-5x+6
y=x2
6二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程根的情况与b²-4ac的关系
我们知道:
代数式b2-4ac对于方程的根起着关键的作用.
二次函数y=ax²+bx+c的图象和x轴交点的横坐标,便是对应的一元二次方程ax²+bx+c=0的解。
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:
(1)有两个交点b2–4ac>0
(2)有一个交点b2–4ac=0
(3)没有交点b2–4ac<0
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则b2–4ac≥0
例
(1)如果关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=____,此时抛物线y=x2-2x+m与x轴有____个交点.
(2)已知抛物线y=x2–8x+c的顶点在x轴上,则c=____.
(3)一元二次方程3x2+x-10=0的两个根是x1=-2,x2=5/3,那么二次函数y=3x2+x-10与x轴的交点坐标是____.
判别式:
b2-4ac
二次函数
y=ax2+bx+c
(a≠0)
图象
一元二次方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的根
b2-4ac>0
与x轴有两个不
同的交点
(x1,0)
(x2,0)
x
y
O
有两个不同的解x=x1,x=x2
b2-4ac=0
与x轴有唯一个
交点
x
y
O
有两个相等的解
x1=x2=
b2-4ac<0
与x轴没有
交点
x
y
O
没有实数根
7二次函数的综合运用
1.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式.
解:
Q抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同
\a=1或-1
又Q顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,
\顶点为(1,5)或(1,-5)
所以其解析式为:
(1)y=(x-1)2+5
(2)y=(x-1)2-5
(3)y=-(x-1)2+5(4)y=-(x-1)2-5
展开成一般式即可.
2.若a+b+c=0,a¹0,把抛物线y=ax2+bx+c向下平移4个单位,再向左平移5个单位所到的新抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式.
分析:
(1)由a+b+c=0可知,原抛物线的图象经过(1,0)
(2)新抛物线向右平移5个单位,
再向上平移4个单位即得原抛物线
练习题
1.直线y=3x-1与y=x-k的交点在第四象限,则k的范围是………………()
(A)k<(B)<k<1(C)k>1(D)k>1或k<1
【提示】由,解得因点在第四象限,故>0,<0.
∴<k<1.
【答案】B.
【点评】本题应用了两函数图象交点坐标的求法,结合了不等式组的解法、象限内点的坐标符号特征等.
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则下列各式中成立的个数是…………()
(1)abc<0;
(2)a+b+c<0;(3)a+c>b;(4)a<-.
(A)1(B)2(C)3(D)4
【提示】由图象知a<0,->0,故b>0,而c>0,则abc<0.当x=1时,y>0,即a+c-b>0;当x=-1时,y<0,即a+c-b<0.
【答案】B.
【点评】本题要综合运用抛物线性质与解析式系数间的关系.因a<0,把(4)a<-两边同除以a,得1>-,即-<1,所以(4)是正确的;也可以根据对称轴在x=1的左侧,判断出-<1,两边同时乘a,得a<-,知(4)是正确的.
3.若一元二次方程x2-2x-m=0无实数根,则一次函数y=(m+1)x+m-1的图象不经过…………………………………………………………………………………()
(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限
【提示】由D=4+4m<0,得m+1<0,则m-1<0,直线过第二、三、四象限.
【答案】A.
【点评】本题综合运用了一元二次方程根的判别式及一次函数图象的性质.注意,题中问的是一次函数图象不经过的象限.
4.如图,已知A,B是反比例函数y=的图象上两点,设矩形APOQ与矩形MONB的面积为S1,S2,则………………………………………………………………()
(A)S1=S2(B)S1>S2(C)S1<S2(D)上述(A)、(B)、(C)都可能
【提示】因为SAPOQ=|k|=2,SMONB=2,故S1=S2.
【
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