中考数学专题训练:类比探究类问题解析版.doc
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类比探究类问题解析版
1、如图,在矩形ABCD中,AD=4,M是AD的中点,点E是线段AB上一动
点,连结EM并延长交线段CD的延长线于点F.
(1)如图1,求证:
AE=DF;
(2)如图2,若AB=2,过点M作MGEF交线段BC于点G,判断△GEF的形状,并说明理由;
(3)如图3,若AB=,过点M作MGEF交线段BC的延长线于点G.
①直接写出线段AE长度的取值范围;
②判断△GEF的形状,并说明理由.
【答案】解:
(1)在矩形ABCD中,∠EAM=∠FDM=900,∠AME=∠FMD。
∵AM=DM,∴△AEM≌△DFM(ASA)。
∴AE=DF。
(2)△GEF是等腰直角三角形。
理由如下:
过点G作GH⊥AD于H,
∵∠A=∠B=∠AHG=90°,
∴四边形ABGH是矩形。
∴GH=AB=2。
∵MG⊥EF,∴∠GME=90°。
∴∠AME+∠GMH=90°。
∵∠AME+∠AEM=90°,∴∠AEM=∠GMH。
又∵AD=4,M是AD的中点,∴AM=2。
∴AN=HG。
∴△AEM≌△HMG(AAS)。
∴ME=MG。
∴∠EGM=45°。
由
(1)得△AEM≌△DFM,∴ME=MF。
又∵MG⊥EF,∴GE=GF。
∴∠EGF=2∠EGM=90°。
∴△GEF是等腰直角三角形。
(3)①<AE≤。
②△GEF是等边三角形。
理由如下:
过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H,
∵∠A=∠B=∠AHG=90°,∴四边形ABGH是矩形。
∴GH=AB=2。
∵MG⊥EF,∴∠GME=90°。
∴∠AME+∠GMH=90°。
∵∠AME+∠AEM=90°,∴∠AEM=∠GMH。
又∵∠A=∠GHM=90°,∴△AEM∽△HMG。
∴。
在Rt△GME中,∴tan∠MEG=。
∴∠MEG=600。
由
(1)得△AEM≌△DFM.∴ME=MF。
又∵MG⊥EF,∴GE=GF。
∴△GEF是等边三角形。
2、
(1)如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.求证:
CE=CF;
(2)如图2,在正方形ABCD中,E是AB上一点,G是AD上一点,如果∠GCE=45°,请你利用
(1)的结论证明:
GE=BE+GD.
(3)运用
(1)
(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:
如图3,在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°,AB=BC,E是AB上一点,且∠DCE=45°,BE=4,DE=10,求直角梯形ABCD的面积.
【答案】解:
(1)证明:
在正方形ABCD中,∵BC=CD,∠B=∠CDF,BE=DF,
∴△CBE≌△CDF(SAS)。
∴CE=CF。
(2)证明:
如图,延长AD至F,使DF=BE.连接CF。
由
(1)知△CBE≌△CDF,
∴∠BCE=∠DCF。
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD,
即∠ECF=∠BCD=90°。
又∠GCE=45°,∴∠GCF=∠GCE=45°。
∵CE=CF,∠GCE=∠GCF,GC=GC,
∴△ECG≌△FCG(SAS)。
∴GE=GF,
∴GE=DF+GD=BE+GD。
(3)如图,过C作CG⊥AD,交AD延长线于G.
在直角梯形ABCD中,∵AD∥BC,∴∠A=∠B=90°。
又∠CGA=90°,AB=BC,
∴四边形ABCD为正方形。
∴AG=BC。
已知∠DCE=45°,
根据
(1)
(2)可知,ED=BE+DG。
∴10=4+DG,即DG=6。
设AB=x,则AE=x-4,AD=x-6,
在Rt△AED中,∵DE2=AD2+AE2,即102=(x-6)2+(x-4)2。
解这个方程,得:
x=12或x=-2(舍去)。
∴AB=12。
∴。
∴梯形ABCD的面积为108。
3、在正方形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点P在线段BC上(不含点B),∠BPE=∠ACB,PE交BO于点E,过点B作BF⊥PE,垂足为F,交AC于点G.
(1)当点P与点C重合时(如图①).求证:
△BOG≌△POE;(4分)
(2)通过观察、测量、猜想:
=▲,并结合图②证明你的猜想;(5分)
(3)把正方形ABCD改为菱形,其他条件不变(如图③),若∠ACB=α,
求的值.(用含α的式子表示)(5分)
【答案】解:
(1)证明:
∵四边形ABCD是正方形,P与C重合,
∴OB=OP,∠BOC=∠BOG=90°。
∵PF⊥BG,∠PFB=90°,∴∠GBO=90°—∠BGO,∠EPO=90°—∠BGO。
∴∠GBO=∠EPO。
∴△BOG≌△POE(AAS)。
(2)。
证明如下:
如图,过P作PM//AC交BG于M,交BO于N,
∴∠PNE=∠BOC=900,∠BPN=∠OCB。
∵∠OBC=∠OCB=450,∴∠NBP=∠NPB。
∴NB=NP。
∵∠MBN=900—∠BMN,∠NPE=900—∠BMN,∴∠MBN=∠NPE。
∴△BMN≌△PEN(ASA)。
∴BM=PE。
∵∠BPE=∠ACB,∠BPN=∠ACB,∴∠BPF=∠MPF。
∵PF⊥BM,∴∠BFP=∠MFP=900。
又∵PF=PF,∴△BPF≌△MPF(ASA)。
∴BF=MF,即BF=BM。
∴BF=PE,即。
(3)如图,过P作PM//AC交BG于点M,交BO于点N,
∴∠BPN=∠ACB=α,∠PNE=∠BOC=900。
由
(2)同理可得BF=BM,∠MBN=∠EPN。
∵∠BNM=∠PNE=900,∴△BMN∽△PEN。
∴。
在Rt△BNP中,,∴,即。
∴。
4、如图1,梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=2∠BCD=2α,点E在AD上,点F在DC上,且∠BEF=∠A.
(1)∠BEF=_____(用含α的代数式表示);
(2)当AB=AD时,猜想线段ED、EF的数量关系,并证明你的猜想;
(3)当AB≠AD时,将“点E在AD上”改为“点E在AD的延长线上,且AE>AB,AB=mDE,AD=nDE”,其他条件不变(如图2),求的值(用含m、n的代数式表示)。
【答案】解:
(1)180°-2α。
(2)EB=EF。
证明如下:
连接BD交EF于点O,连接BF。
∵AD∥BC,∴∠A=180°-∠ABC=180°-2α,
∠ADC=180°-∠C=180°-α。
∵AB=AD,∴∠ADB=(180°-∠A)=α。
∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=180°-2α。
由
(1)得:
∠BEF=180°-2α=∠BDC。
又∵∠EOB=∠DOF,∴△EOB∽△DOF。
∴,即。
∵∠EOD=∠BOF,∴△EOD∽△BOF。
∴∠EFB=∠EDO=α。
∴∠EBF=180°-∠BEF-∠EFB=α=∠EFB。
∴EB=EF。
(3)延长AB至G,使AG=AE,连接BE,GE,
则∠G=∠AEG=。
∵AD∥BC,
∴∠EDF=∠C=α,∠GBC=∠A,∠DEB=∠EBC。
∴∠EDF=∠G。
∵∠BEF=∠A,∴∠BEF=∠GBC。
∴∠GBC+∠EBC=∠DEB+∠BEF,即∠EBG=∠FED。
∴△DEF∽△GBE。
∴。
∵AB=mDE,AD=nDE,∴AG=AE=(n+1)DE。
∴BG=AG-AB=(n+1)DE-mDE=(n+1-m)DE。
∴。
5、探索发现:
已知:
在梯形ABCD中,CD∥AB,AD、BC的延长线相交于点E,AC、BD相交于点O,连接EO并延长交AB于点M,交CD于点N。
(1)如图①,如果AD=BC,求证:
直线EM是线段AB的垂直平分线;
(2)如图②,如果AD≠BC,那么线段AM与BM是否相等?
请说明理由。
学以致用:
仅用直尺(没有刻度),试作出图③中的矩形ABCD的一条对称轴。
(写出作图步骤,保留作图痕迹)
【答案】解:
(1)证明:
∵AD=BC,CD∥AB,∴AC=BD,∠DAB=∠CBA。
∴AE=BE。
∴点E在线段AB的垂直平分线上。
在△ABD和△BAC中,∵AB=BA,AD=BC,AC=BD,
∴△ABD≌△BAC(SSS)。
∴∠DBA=∠CAB。
∴OA=OB。
∴点O在线段AB的垂直平分线上。
∴直线EM是线段AB的垂直平分线。
(2)相等。
理由如下:
∵CD∥AB,∴△EDN∽△EAM,△ENC∽△EMB,△EDC∽△EAB。
∴。
∴。
∴。
∵CD∥AB,∴△OND∽△OMB,△ONC∽△OMA,△OCD∽△OAB。
∴。
∴。
∴。
∴。
∴AM2=BM2。
∴AM=BM。
(3)作图如下:
作法:
①连接AC,BD,两线相交于点O1;
②在梯形ABCD外DC上方任取一点E,连接EA,EB,分别交DC于点G,H;
③连接BG,AH,两线相交于点O2;
④作直线EO2,交AB于点M;
⑤作直线MO1。
则直线MO1。
就是矩形ABCD的一条对称轴。
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