贝叶斯的例子Word格式.docx
- 文档编号:16856153
- 上传时间:2022-11-26
- 格式:DOCX
- 页数:7
- 大小:253.25KB
贝叶斯的例子Word格式.docx
《贝叶斯的例子Word格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《贝叶斯的例子Word格式.docx(7页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
只有计算机诞生以后,它才获得真正的重视。
人们发现,许多统计量是无法事先进行客观判断的,而互联网时代出现的大型数据集,再加上高速运算能力,为验证这些统计量提供了方便,也为应用贝叶斯推断创造了条件,它的威力正在日益显现。
二、贝叶斯定理
要理解贝叶斯推断,必须先理解贝叶斯定理。
后者实际上就是计算"
条件概率"
的公式。
所谓"
(Conditionalprobability),就是指在事件B发生的情况下,事件A发生的概率,用P(A|B)来表示。
根据文氏图,可以很清楚地看到在事件B发生的情况下,事件A发生的概率就是P(A∩B)除以P(B)。
因此,
同理可得,
所以,
即
这就是条件概率的计算公式。
三、全概率公式
由于后面要用到,所以除了条件概率以外,这里还要推导全概率公式。
假定样本空间S,是两个事件A与A'
的和。
上图中,红色部分是事件A,绿色部分是事件A'
,它们共同构成了样本空间S。
在这种情况下,事件B可以划分成两个部分。
在上一节的推导当中,我们已知
这就是全概率公式。
它的含义是,如果A和A'
构成样本空间的一个划分,那么事件B的概率,就等于A和A'
的概率分别乘以B对这两个事件的条件概率之和。
将这个公式代入上一节的条件概率公式,就得到了条件概率的另一种写法:
四、贝叶斯推断的含义
对条件概率公式进行变形,可以得到如下形式:
我们把P(A)称为"
先验概率"
(Priorprobability),即在B事件发生之前,我们对A事件概率的一个判断。
P(A|B)称为"
后验概率"
(Posteriorprobability),即在B事件发生之后,我们对A事件概率的重新评估。
P(B|A)/P(B)称为"
可能性函数"
(Likelyhood),这是一个调整因子,使得预估概率更接近真实概率。
所以,条件概率可以理解成下面的式子:
后验概率 = 先验概率x调整因子
这就是贝叶斯推断的含义。
我们先预估一个"
,然后加入实验结果,看这个实验到底是增强还是削弱了"
,由此得到更接近事实的"
。
在这里,如果"
P(B|A)/P(B)>
1,意味着"
被增强,事件A的发生的可能性变大;
如果"
=1,意味着B事件无助于判断事件A的可能性;
<
被削弱,事件A的可能性变小。
五、【例子】水果糖问题
为了加深对贝叶斯推断的理解,我们看两个例子。
第一个例子。
两个一模一样的碗,一号碗有30颗水果糖和10颗巧克力糖,二号碗有水果糖和巧克力糖各20颗。
现在随机选择一个碗,从中摸出一颗糖,发现是水果糖。
请问这颗水果糖来自一号碗的概率有多大?
我们假定,H1表示一号碗,H2表示二号碗。
由于这两个碗是一样的,所以P(H1)=P(H2),也就是说,在取出水果糖之前,这两个碗被选中的概率相同。
因此,P(H1)=0.5,我们把这个概率就叫做"
,即没有做实验之前,来自一号碗的概率是0.5。
再假定,E表示水果糖,所以问题就变成了在已知E的情况下,来自一号碗的概率有多大,即求P(H1|E)。
我们把这个概率叫做"
,即在E事件发生之后,对P(H1)的修正。
根据条件概率公式,得到
已知,P(H1)等于0.5,P(E|H1)为一号碗中取出水果糖的概率,等于0.75,那么求出P(E)就可以得到答案。
根据全概率公式,
将数字代入原方程,得到
这表明,来自一号碗的概率是0.6。
也就是说,取出水果糖之后,H1事件的可能性得到了增强。
六、【例子】假阳性问题
第二个例子是一个医学的常见问题,与现实生活关系紧密。
已知某种疾病的发病率是0.001,即1000人中会有1个人得病。
现有一种试剂可以检验患者是否得病,它的准确率是0.99,即在患者确实得病的情况下,它有99%的可能呈现阳性。
它的误报率是5%,即在患者没有得病的情况下,它有5%的可能呈现阳性。
现有一个病人的检验结果为阳性,请问他确实得病的可能性有多大?
假定A事件表示得病,那么P(A)为0.001。
这就是"
,即没有做试验之前,我们预计的发病率。
再假定B事件表示阳性,那么要计算的就是P(A|B)。
,即做了试验以后,对发病率的估计。
根据条件概率公式,
用全概率公式改写分母,
将数字代入,
我们得到了一个惊人的结果,P(A|B)约等于0.019。
也就是说,即使检验呈现阳性,病人得病的概率,也只是从0.1%增加到了2%左右。
这就是所谓的"
假阳性"
,即阳性结果完全不足以说明病人得病。
为什么会这样?
为什么这种检验的准确率高达99%,但是可信度却不到2%?
答案是与它的误报率太高有关。
(【习题】如果误报率从5%降为1%,请问病人得病的概率会变成多少?
)
有兴趣的朋友,还可以算一下"
假阴性"
问题,即检验结果为阴性,但是病人确实得病的概率有多大。
然后问自己,"
和"
,哪一个才是医学检验的主要风险?
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 贝叶斯 例子