中考数学专题复习第十三讲反比例函数含详细参考答案.doc
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2019年中考数学专题复习
第十三讲反比例函数
【基础知识回顾】
一、反比例函数的概念:
一般地:
函数y(k是常数,k≠0)叫做反比例函数
【名师提醒:
1、在反比例函数关系式中:
k≠0、x≠0、y≠0
2、反比例函数的另一种表达式为y=(k是常数,k≠0)
3、反比例函数解析式可写成xy=k(k≠0)它表明反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积,总等于】
二、反比例函数的图象和性质:
1、反比例函数y=(k≠0)的图象是,它有两个分支,关于对称
2、反比例函数y=(k≠0)当k>0时它的图象位于象限,在每一个象限内y随x的增大而当k<0时,它的图象位于象限,在每一个象限内,y随x的增大而
【名师提醒:
1、在反比例函数y=中,因为x≠0,y≠0所以双曲线与坐标轴无限接近,但永不与x轴y轴
2、在反比例函数y随x的变化情况中一定注明在每一个象限内】
3、反比例函数中比例系数k的几何意义:
双曲线y=(k≠0)上任意一点向两坐标轴作垂线
两垂线与坐标轴围成的矩形面积为,即如图:
S矩形ABOC=
S△AOB=
【名师提醒:
k的几何意义往常与前边提示中所谈到的xy=k联系起来理解和应用】
三、反比例函数解析式的确定
因为反比例函数y=(k≠0)中只有一个待定系数所以求反比例函数关系式只需知道一组对应的x、y值或一个点的坐标即可,步骤同一次函数解析式的求法
一、反比例函数的应用
解反比例函数的实际问题时,先确定函数解析式,再利用图象找出解决问题的方案,这里要特别注意自变量的
【重点考点例析】
考点一:
反比例函数的图象和性质
例1(2018•通辽)已知抛物线y=x2+2x+k+1与x轴有两个不同的交点,则一次函数y=kx-k与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象是( )
A. B.
C. D.
【思路分析】依据抛物线y=x2+2x+k+1与x轴有两个不同的交点,即可得到k<0,进而得出一次函数y=kx-k的图象经过第一二四象限,反比例函数y=的图象在第二四象限.
【解答】解:
∵抛物线y=x2+2x+k+1与x轴有两个不同的交点,
∴△=4-4(k+1)>0,
解得k<0,
∴一次函数y=kx-k的图象经过第一二四象限,
反比例函数y=的图象在第二四象限,
故选:
D.
【点评】此题主要考查了反比例函数、二次函数、一次函数图象,运用“当△=b2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点”是解题的关键.
例2(2018•郴州)参照学习函数的过程与方法,探究函数y=(x≠0)的图象与性质.
因为y==1−,即y=-+1,所以我们对比函数y=-来探究.
列表:
x
…
-4
-3
-2
-1
-
1
2
3
4
…
y=-
…
1
2
4
-4
-1
1
-
-
…
y=
…
2
3
5
-3
-1
0
…
描点:
在平面直角坐标系中,以自变量x的取值为横坐标,以y=相应的函数值为纵坐标,描出相应的点,如图所示:
(1)请把y轴左边各点和右边各点,分别用一条光滑曲线顺次连接起来;
(2)观察图象并分析表格,回答下列问题:
①当x<0时,y随x的增大而;(填“增大”或“减小”)
②y=的图象是由y=-的图象向平移个单位而得到;
③图象关于点中心对称.(填点的坐标)
(3)设A(x1,y1),B(x2,y2)是函数y=的图象上的两点,且x1+x2=0,试求y1+y2+3的值.
【思路分析】
(1)用光滑曲线顺次连接即可;
(2)利用图象法即可解决问题;
(3)根据中心对称的性质,可知A(x1,y1),B(x2,y2)关于(0,1)对称,由此即可解决问题;
【解答】解:
(1)函数图象如图所示:
(2)①当x<0时,y随x的增大而增大;
②y=的图象是由y=-的图象向上平移1个单位而得到;
③图象关于点(0,1)中心对称.(填点的坐标)
故答案为增大,上,1,(0,1)
(3)∵x1+x2=0,
∴x1=-x2,
∴A(x1,y1),B(x2,y2)关于(0,1)对称,
∴y1+y2=2,
∴y1+y2+3=5.
【点评】本题考查反比例函数的性质、中心对称的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
考点二:
反比例函数图象的坐标特征
例3(2018•广州)设P(x,0)是x轴上的一个动点,它与原点的距离为y1.
(1)求y1关于x的函数解析式,并画出这个函数的图象;
(2)若反比例函数y2=的图象与函数y1的图象相交于点A,且点A的纵坐标为2.
①求k的值;
②结合图象,当y1>y2时,写出x的取值范围.
【思路分析】
(1)写出函数解析式,画出图象即可;
(2)①分两种情形考虑,求出点A坐标,利用待定系数法即可解决问题;
②利用图象法分两种情形即可解决问题;
【解答】解:
(1)由题意y1=|x|.
函数图象如图所示:
(2)①当点A在第一象限时,由题意A(2,2),
∴2=,
∴k=4.
同法当点A在第二象限时,k=-4,
②观察图象可知:
当k>0时,x>2时,y1>y2或x<0时,y1>y2.
当k<0时,x<-2时,y1>y2或x>0时,y1>y2.
【点评】本题考查反比例函数图象上点的特征,正比例函数的应用等知识,解题的关键是学会利用图象法解决问题,属于中考常考题型.
考点三:
反比例函数解析式的确定
例4(2018•岳阳)如图,某反比例函数图象的一支经过点A(2,3)和点B(点B在点A的右侧),作BC⊥y轴,垂足为点C,连结AB,AC.
(1)求该反比例函数的解析式;
(2)若△ABC的面积为6,求直线AB的表达式.
【思路分析】
(1)把A的坐标代入反比例函数的解析式即可求得;
(2)作AD⊥BC于D,则D(2,b),即可利用a表示出AD的长,然后利用三角形的面积公式即可得到一个关于b的方程求得b的值,进而求得a的值,根据待定系数法,可得答案.
【解答】解:
(1)由题意得,k=xy=2×3=6
∴反比例函数的解析式为y=.
(2)设B点坐标为(a,b),如图
,
作AD⊥BC于D,则D(2,b)
∵反比例函数y=的图象经过点B(a,b)
∴b=,
∴AD=3-.
∴S△ABC=BC•AD
=a(3-)=6
解得a=6
∴b==1
∴B(6,1).
设AB的解析式为y=kx+b,
将A(2,3),B(6,1)代入函数解析式,得,
解得,
直线AB的解析式为y=-x+4.
【点评】本题考查了反比例函数,利用待定系数法求反比例函数的解析式,正确利用a,b表示出BC,AD的长度是关键.
考点四:
反比例函数k的几何意义
例5(2018•烟台)如图,反比例函数y=的图象经过▱ABCD对角线的交点P,已知点A,C,D在坐标轴上,BD⊥DC,▱ABCD的面积为6,则k=.
【思路分析】由平行四边形面积转化为矩形BDOA面积,在得到矩形PDOE面积,应用反比例函数比例系数k的意义即可.
【解答】解:
过点P做PE⊥y轴于点E
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB=CD
又∵BD⊥x轴
∴ABDO为矩形
∴AB=DO
∴S矩形ABDO=S▱ABCD=6
∵P为对角线交点,PE⊥y轴
∴四边形PDOE为矩形面积为3
即DO•EO=3
∴设P点坐标为(x,y)
k=xy=-3
故答案为:
-3
【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义以及平行四边形的性质.
考点五:
反比例函数与一次函数的交点问题
例6(2018•攀枝花)如图,在平面直角坐标系中,A点的坐标为(a,6),AB⊥x轴于点B,cos∠OAB═,反比例函数y=的图象的一支分别交AO、AB于点C、D.延长AO交反比例函数的图象的另一支于点E.已知点D的纵坐标为.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)求直线EB的解析式;
(3)求S△OEB.
【思路分析】
(1)利用待定系数法求反比例函数的解析式;
(2)根据点A的坐标可求得直线OA的解析式,联立直线OA和反比例函数解析式列方程组可得点E的坐标,再利用待定系数法求BE的解析式;
(3)根据三角形的面积公式计算即可.
【解答】解:
(1)∵A点的坐标为(a,6),AB⊥x轴,
∴AB=6,
∵cos∠OAB═=,
∴,
∴OA=10,
由勾股定理得:
OB=8,
∴A(8,6),
∴D(8,),
∵点D在反比例函数的图象上,
∴k=8×=12,
∴反比例函数的解析式为:
y=;
(2)设直线OA的解析式为:
y=bx,
∵A(8,6),
∴8b=6,b=,
∴直线OA的解析式为:
y=x,
则,
x=±4,
∴E(-4,-3),
设直线BE的解式为:
y=mx+n,
把B(8,0),E(-4,-3)代入得:
,
解得:
,
∴直线BE的解式为:
y=x-2;
(3).
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题,用待定系数法求反比例函数的解析式及计算图形面积的问题.解题的关键是:
确定交点的坐标.
考点六:
反比例函数的应用
例7(2018•乐山)某蔬菜生产基地的气温较低时,用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜.如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后,大棚内的温度y(℃)与时间x(h)之间的函数关系,其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段,双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段.
请根据图中信息解答下列问题:
(1)求这天的温度y与时间x(0≤x≤24)的函数关系式;
(2)求恒温系统设定的恒定温度;
(3)若大棚内的温度低于10℃时,蔬菜会受到伤害.问这天内,恒温系统最多可以关闭多少小时,才能使蔬菜避免受到伤害?
【思路分析】
(1)应用待定系数法分段求函数解析式;
(2)观察图象可得;
(3)代入临界值y=10即可.
【解答】解:
(1)设线段AB解析式为y=k1x+b(k≠0)
∵线段AB过点(0,10),(2,14)
代入得
解得,
∴AB解析式为:
y=2x+10(0≤x<5)
∵B在线段AB上当x=5时,y=20
∴B坐标为(5,20)
∴线段BC的解析式为:
y=20(5≤x<10)
设双曲线CD解析式为:
y=(k2≠0)
∵C(10,20)
∴k2=200
∴双曲线CD解析式为:
y=(10≤x≤24)
∴y关于x的函数解析式为:
,
(2)由
(1)恒温系统设定恒温为20°C
(3)把y=10代入中,解得,x=20
∴20-10=10
答:
恒温系统最多关闭10小时,蔬菜才能避免受到伤害.
【点评】本题为实际应用背景的函数综合题,考查求得一次函数、反比例函数和常函数关系式.解答时应注意临界点的应用.
考点七:
反比例函数综合题
例8(2018•武汉)已知点A(a,m)在双曲线y=上且m<0,过点A作x轴的垂线,垂足为B.
(1)如图1,当a=-2时,P(t,0)是x轴上的动点,将点B绕点P顺时针旋转90°至点C,
①若t=1,直接写出点C的坐标;
②若双曲线y=经过点C,求t的值.
(2)如图2,将图1中的双曲线y=(x>0)沿y轴折叠得
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