上海市2001-2012年中考数学试题分类解析专题9:三角形.doc
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2001-2012年上海市中考数学试题分类解析汇编(12专题)
专题9:
三角形
锦元数学工作室编辑
一、选择题
1.(上海市2003年3分)已知AC平分∠PAQ,如图,点B、B’分别在边AP、AQ上,如果添加一个条件,即可推出AB=AB’,那么该条件可以是【】
(A)BB’⊥AC(B)BC=B’C(C)∠ACB=∠ACB’(D)∠ABC=∠AB’C
【答案】A,C,D。
【考点】全等三角形的判定和性质。
【分析】首先分析选项添加的条件,再根据判定方法判断:
添加A选项中条件可用ASA判定△ACB≌△ACB’,从而推出AB=AB’;
添加B选项中条件无法判定△ACB≌△ACB’,推不出AB=AB’;
添加C选项中条件可用ASA判定△ACB≌△ACB’,从而推出AB=AB’;
添加D选项以后是AAS判定△ACB≌△ACB’,从而推出AB=AB’。
故选A,C,D。
[来源:
学。
科。
网Z。
X。
X。
K]
2.(上海市2004年3分)如图所示,在△ABC中,AB=AC,BD平分,那么在下列三角形中,与△ABC相似的三角形是【】
A.△DBE B.△ADE
C.△ABD D.△BDC
【答案】D。
【考点】相似三角形的判定。
【分析】∵DE∥BC,∴△ABC∽△AED,易得各个角的度数,发现△BDC中有两个角与△ABC中两个角对应相等,所以它们相似.∴与△ABC相似的三角形是△BDC。
故选D。
3.(上海市2005年3分)已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=3,那么下列各式中,正确的
是【】
A、 B、 C、 D、
【答案】C。
【考点】锐角三角函数的定义,勾股定理。
【分析】Rt△ABC中,根据勾股定理就可以求出斜边AB,根据三角函数的定义就可以解决:
由勾股定理知,,
∴sinB=,cosB=,,cotB=。
故选C。
4.(上海市2005年3分)在下列命题中,真命题是【】
A、两个钝角三角形一定相似 B、两个等腰三角形一定相似
C、两个直角三角形一定相似 D、两个等边三角形一定相似
6.(上海市2010年4分)下列命题中,是真命题的为【】
A.锐角三角形都相似B.直角三角形都相似C.等腰三角形都相似D.等边三角形都相似
【答案】D。
【考点】相似三角形的判定。
【分析】根据相似三角形的判定方法进行解答:
A、锐角三角形的三个内角都小于90°,但不一定都对应相等,故A错误;
B、直角三角形的直角对应相等,但两组锐角不一定对应相等,故B错误;
C、等腰三角形的顶角和底角不一定对应相等,故C错误;
D、所有的等边三角形三个内角都对应相等(都是60°),所以它们都相似,故D正确。
故选D。
7.(上海市2011年4分)下列命题中,真命题是【】.
(A)周长相等的锐角三角形都全等;(B)周长相等的直角三角形都全等;
(C)周长相等的钝角三角形都全等;(D)周长相等的等腰直角三角形都全等.
2.(上海市2002年2分)在离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为α,如果测角仪高为1.5米,那么旗杆的高为▲_米,(用含α的三角比表示).
【答案】1.5+20tanα。
【考点】锐角三角函数的应用。
【分析】由正切函数易得旗杆的高为1.5+20tanα。
3.(上海市2002年2分)在△ABC中,如果AB=AC=5cm,BC=8cm,那么这个三角形的重心G到BC的距离是▲_cm.
【答案】1。
【考点】勾股定理,三角形的重心,等腰三角形的性质。
【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质,知三角形的重心在BC边的高上。
根据勾股定理求得该高,再根据三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍,求得G到BC的距离:
∵AB=AC=5cm,∴△ABC是等腰三角形。
∴三角形的重心G在BC边的高。
根据勾股定理,得BC边的高为3cm。
根据三角形的重心性质,G到BC的距离是1cm。
4.(上海市2003年2分)在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,CD平分∠ACB,DE∥BC,如果AC=10,AE=4,那么BC=▲。
【答案】15。
【考点】相似三角形的判定和性质,角平分线的定义,平行线的性质,等腰三角形的判定和性质。
【分析】首先利用角平分线的性质和两直线平行,内错角相等的性质求证出△EDC是等腰三角形,然后再根据相似三角形对应边的比相等求解:
∵CD平分∠ACB,∴∠ECD=∠DCB。
又∵DE∥BC,∴∠EDC=∠DCB。
∴∠EDC=∠ECD。
∴△EDC是等腰三角形,即ED=EC=AC-AE=10-4=6。
∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC。
∴,即。
∴BC=15。
5.(上海市2004年2分)在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,DE//BC,AD=1,BD=2,则=
▲。
【答案】1:
9。
【考点】相似三角形的判定和性质。
【分析】∵在△ABC中,若D、E分别是边AB、AC上的点,且DE∥BC,∴△ADE∽△ABC。
∵AD=1,DB=2,∴AD:
AB=1:
3。
∴=1:
9。
6.(上海市2004年2分)在△ABC中,▲(用b和θ的三角比表示)。
【答案】。
【考点】解直角三角形。
【分析】根据三角函数定义求解:
在△ABC中,∠A=90°,BC为斜边,
∴。
7.(上海市2004年2分)某山路的路面坡度,沿此山路向上前进200米,升高了▲米。
【答案】10。
【考点】解直角三角形的应用(坡度坡角问题),勾股定理。
【分析】根据垂直高度与水平宽度的比得到垂直高度与斜坡的比,代入相应的数值计算求解:
∵坡面坡度,∴山坡的垂直距离:
山坡的水平距离=。
∴由勾股定理得,山坡的坡长:
山坡的垂直距离=20:
1。
∵沿山路行进200米,坡长=200米.
∴山坡的垂直距离应为10米,即升高了10米。
8.(上海市2004年2分)在△ABC中,点G为重心,若BC边上的高为6,则点G到BC边的距离为▲。
【答案】2。
【考点】三角形的重心。
【分析】连接AG并延长交BC与N,过G作GM⊥BC于M,
∵点G是重心,∴AG=2GN,
∴3,因而GM=2,则点G到BC的距离为2。
9.(上海市2004年2分)直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆半径等于
▲。
【答案】5。
【考点】三角形的外接圆与外心,勾股定理。
【分析】根据勾股定理,得斜边是10,再根据其外接圆的半径是斜边的一半,得出其外接圆的半径:
∵直角边长分别为6和8,∴斜边是10。
∴这个直角三角形的外接圆的半径为5。
10,(上海市2005年3分)如图,自动扶梯AB段的长度为20米,
倾斜角A为α,高度BC为▲米(结果用含α的三角比表示).
【答案】20sinα。
【考点】直角三角形的应用(坡度坡角问题)。
【分析】利用所给角的正弦函数求解:
∵sinα=,∴BC=AB•sinα=20sinα。
11.(上海市2006年3分)已知在△ABC中,AB=A1B1,∠A=∠A1,要使△ABC≌△A1B1C1,还需
添加一个条件,这个条件可以是▲。
【答案】AC=A1C1或∠B=∠B1或∠C=∠C1(答案不唯一)。
【考点】全等三角形的判定。
【分析】根据全等三角形SAS的判定,当AC=A1C1时可得△ABC≌△A1B1C1;根据全等三角形ASA、AAS的判定,当∠B=∠B1或∠C=∠C1时可得△ABC≌△A1B1C1。
12.(上海市2008年4分)如果两个相似三角形的相似比是,那么这两个三角形面积的比是▲.
【答案】。
【考点】相似三角形的性质。
【分析】根据相似三角形面积的比是相似比平方的性质,得这两个三角形面积的比是。
13.(上海市2010年4分)如图,△ABC中,点D在边AB上,满足∠ACD=∠ABC,若AC=2,AD=1,则DB=▲.
【答案】3。
【考点】相似三角形的判定和性质。
【分析】由于∠ACD=∠ABC,∠BAC=∠CAD,所以△ADC∽△ACB,即:
所以,则AB=4,所以BD=AB-AD=3。
14.(2012上海市4分)在△ABC中,点D、E分别在AB、AC上,∠AED=∠B,如果AE=2,△ADE的面积为4,四边形BCDE的面积为5,那么AB的长为▲.
【答案】AB=3。
【考点】相似三角形的判定和性质。
【分析】∵∠AED=∠B,∠A=∠A,∴△ADE∽△ACB。
∴。
∵△ADE的面积为4,四边形BCDE的面积为5,∴△ABC的面积为9。
又∵AE=2,∴,解得:
AB=3。
15.(2012上海市4分)我们把两个三角形的中心之间的距离叫做重心距,在同一个平面内有两个边长相等的等边三角形,如果当它们的一边重合时,重心距为2,那么当它们的一对角成对顶角时,重心距为
▲.
【答案】4。
【考点】三角形的重心,等边三角形的性质。
【分析】设等边三角形的中线长为a,则其重心到对边的距离为:
,
∵它们的一边重合时(图1),重心距为2,
∴,解得a=3。
∴当它们的一对角成对顶角时(图2)重心=。
三、解答题
1.(2001上海市7分)如图,在△ABC中,∠C=90°,点D在BC上,BD=4,AD=BC,cos∠ADC=.求:
(1)DC的长;
(2)sinB的值.
【答案】解:
(1)∵在Rt△ACD中,cos∠ADC=
∴可以设DC=3x,AD=5x。
根据勾股定理得到AC=4x,则BC=AD=5x。
∵BD=4,∴5x-3x=4,解得x=2。
∴DC=3x=6。
(2)由
(1)可得AD=5x=10,
在Rt△ACD中,根据勾股定理得AC=8。
在Rt△ABC中,由AC=8,BC=10,根据勾股定理得到AB=2。
∴sinB=。
【考点】解直角三角形,锐角三角函数定义,勾股定理。
【分析】根据cos∠ADC=就是已知CD:
AD=3:
5,因而可以设CD=3x,AD=5x,AC=4x.根据BD=4,就可以得到关于x的方程,就可以求出x,求出各线段的长度,求出sinB的值。
2.(上海市2002年7分)如图,已知四边形ABCD中,BC=CD=DB,∠ADB=90°,cos∠ABD=,求S△ABD︰S△BCD.
【答案】解:
∵cos∠ABD=,
∴设AB=5kBD=4k(k>0),得AD=3k。
∴S△ABD=AD·BD=6k2。
又∵△BCD是等边三角形,
∴S△BCD=BD2=4k2。
∴S△ABD︰S△BCD=6k2︰4k2=︰2
【考点】解直角三角形。
【分析】设BD=4x,则可以得到AB,AD的长,从而利用三角形的面积公式分别求得两个三角形的面积,从而就可求得面积比。
3.(上海市2003年7分)将两块三角板如图放置,其中∠C=∠EDB=90º,∠A=45º,∠E=30º,AB=DE=6。
求重叠部分四边形DBCF的面积。
【答案】解:
在△EDB中,∵∠EDB=90°,∠E=30°,DE=6,
∴DB=DE•tan30°=6×=。
∴AD=AB-DB=6-。
又∵∠A=45°,∠AFD=45°,得FD=AD。
∴S△ADF=AD2=×(6-)2=24-12。
在等腰直角三角形ABC中,斜边AB=6,∴AC=BC=3。
∴S△A
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