中考数学动点问题专题练习.doc
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中考数学动点问题专题练习.doc
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中考动点专题
一、应用勾股定理建立函数解析式
例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上,有一个动点P,PH⊥OA,垂足为H,△OPH的重心为G.
(1)当点P在弧AB上运动时,线段GO、GP、GH中,有无长度保持不变的线段?
如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.
(2)设PH,GP,求关于的函数解析式,并写出函数的定义域(即自变量的取值范围).
H
M
N
G
P
O
A
B
图1
(3)如果△PGH是等腰三角形,试求出线段PH的长.
二、应用比例式建立函数解析式
例2(2006年·山东)如图2,在△ABC中,AB=AC=1,点D,E在直线BC上运动.设BD=CE=.
(1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定与之间的函数解析式;
A
E
D
C
B
图2
(2)如果∠BAC的度数为,∠DAE的度数为,当,满足怎样的关系式时,
(1)中与之间的函数解析式还成立?
试说明理由.
例3(2005年·上海)如图3
(1),在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3.点O是边AC上的一个动点,以点O为圆心作半圆,与边AB相切于点D,交线段OC于点E.作EP⊥ED,交射线AB于点P,交射线CB于点F.
O
●
F
P
D
E
A
C
B
3
(1)
(1)求证:
△ADE∽△AEP.
(2)设OA=,AP=,求关于的函数解析式,并写出它的定义域.
(3)当BF=1时,求线段AP的长.
三、应用求图形面积的方法建立函数关系式
A
B
C
O
图8
H
例4(2004年·上海)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=,⊙A的半径为1.若点O在BC边上运动(与点B、C不重合),设BO=,△AOC的面积为.
(1)求关于的函数解析式,并写出函数的定义域.
(2)以点O为圆心,BO长为半径作圆O,求当⊙O与⊙A相切时,
△AOC的面积.
一、以动态几何为主线的压轴题
(一)点动问题.
1.(09年徐汇区)如图,中,,,点在边上,且,以点为顶点作,分别交边于点,交射线于点.
(1)当时,求的长;
(2)当以点为圆心长为半径的⊙和以点为圆心长为半径的⊙相切时,
求的长;
(3)当以边为直径的⊙与线段相切时,求的长.
(二)线动问题
2,在矩形ABCD中,AB=3,点O在对角线AC上,直线l过点O,且与AC垂直交AD于点E.
(1)若直线l过点B,把△ABE沿直线l翻折,点A与矩形ABCD的对称中心A'重合,求BC的长;
A
B
C
D
E
O
l
A′
(2)若直线l与AB相交于点F,且AO=AC,设AD的长为,五边形BCDEF的面积为S.①求S关于的函数关系式,并指出的取值范围;
②探索:
是否存在这样的,以A为圆心,以长为半径的圆与直线l相切,若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由.
(三)面动问题
3.如图,在中,,、分别是边、上的两个动点(不与、重合),且保持,以为边,在点的异侧作正方形.
(1)试求的面积;
(2)当边与重合时,求正方形的边长;
(3)设,与正方形重叠部分的面积为,试求关于的函数关系式,并写出定义域;
(4)当是等腰三角形时,请直接写出的长.
解决动态几何问题的常见方法有:
一、特殊探路,一般推证
例2:
(2004年广州市中考题第11题)如图,⊙O1和⊙O2内切于A,⊙O1的半径为3,⊙O2的半径为2,点P为⊙O1上的任一点(与点A不重合),直线PA交⊙O2于点C,PB切⊙O2于点B,则的值为
(A)(B)(C)(D)
二、动手实践,操作确认
例4(2003年广州市中考试题)在⊙O中,C为弧AB的中点,D为弧AC上任一点(与A、C不重合),则
(A)AC+CB=AD+DB(B)AC+CB (C)AC+CB>AD+DB(D)AC+CB与AD+DB的大小关系不确定 例5: 如图,过两同心圆的小圆上任一点C分别作小圆的直径CA和非直径的弦CD,延长CA和CD与大圆分别交于点B、E,则下列结论中正确的是(*) (A)(B) (C)(D)的大小不确定 三、建立联系,计算说明 例6: 如图,正方形ABCD的边长为4,点M在边DC上,且DM=1,N为对角线AC上任意一点,则DN+MN的最小值为. 例题如图1,已知抛物线的顶点为A(2,1),且经过原点O,与x轴的另一个交点为B。 ⑴求抛物线的解析式;(用顶点式求得抛物线的解析式为) ⑵若点C在抛物线的对称轴上,点D在抛物线上,且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形,求D点的坐标; ⑶连接OA、AB,如图2,在x轴下方的抛物线上是否存在点P,使得△OBP与△OAB相似? 若存在,求出P点的坐标;若不存在,说明理由。 例1题图 图1 图2 练习1、已知抛物线经过及原点. (1)求抛物线的解析式.(由一般式得抛物线的解析式为) (2)过点作平行于轴的直线交轴于点,在抛物线对称轴右侧且位于直线下方的抛物线上,任取一点,过点作直线平行于轴交轴于点,交直线于点,直线与直线及两坐标轴围成矩形.是否存在点,使得与相似? 若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由. (3)如果符合 (2)中的点在轴的上方,连结,矩形内的四个三角形之间存在怎样的关系? 为什么? 练习2、如图,四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,点A在x轴上,点C在y轴上,将边BC折叠,使点B落在边OA的点D处。 已知折叠,且。 O x y 练习2图 C B E D (1)判断与是否相似? 请说明理由; (2)求直线CE与x轴交点P的坐标; (3)是否存在过点D的直线l,使直线l、直线CE与x轴所围成的三角形和直线l、直线CE与y轴所围成的三角形相似? 如果存在,请直接写出其解析式并画出相应的直线;如果不存在,请说明理由。 练习3、在平面直角坐标系中,已知二次函数的图象与轴交于两点(点在点的左边),与轴交于点,其顶点的横坐标为1,且过点和. (1)求此二次函数的表达式;(由一般式得抛物线的解析式为) (2)若直线与线段交于点(不与点重合),则是否存在这样的直线,使得以为顶点的三角形与相似? 若存在,求出该直线的函数表达式及点的坐标;若不存在,请说明理由; y C x B A 练习3图 (3)若点是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点,试比较锐角与的大小(不必证明),并写出此时点的横坐标的取值范围. O C B A 练习4图 P y 练习4(2008广东湛江市)如图所示,已知抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于点C. (1)求A、B、C三点的坐标. (2)过点A作AP∥CB交抛物线于点P,求四边形ACBP的面积. (3)在轴上方的抛物线上是否存在一点M,过M作MG轴于点G,使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似.若存在,请求出M点的坐标;否则,请说明理由. 练习5、已知: 如图,在平面直角坐标系中,是直角三角形,,点的坐标分别为,,. A C O B x y (1)求过点的直线的函数表达式;点,,, (2)在轴上找一点,连接,使得与相似(不包括全等),并求点的坐标; (3)在 (2)的条件下,如分别是和上的动点,连接,设,问是否存在这样的使得与相似,如存在,请求出的值;如不存在,请说明理由. 例1(2008福建福州)如图,已知△ABC是边长为6cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC匀速运动,其中点P运动的速度是1cm/s,点Q运动的速度是2cm/s,当点Q到达点C时,P、Q两点都停止运动,设运动时间为t(s),解答下列问题: (1)当t=2时,判断△BPQ的形状,并说明理由; (2)设△BPQ的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式; (3)作QR//BA交AC于点R,连结PR,当t为何值时,△APR∽△PRQ? 分析: 由t=2求出BP与BQ的长度,从而可得△BPQ的形状; 作QE⊥BP于点E,将PB,QE用t表示,由=×BP×QE可得 S与t的函数关系式;先证得四边形EPRQ为平行四边形,得PR=QE, 再由△APR∽△PRQ,对应边成比例列方程,从而t值可求. 例2(2008浙江温州)如图,在中,,,,分别是边的中点,点从点出发沿方向运动,过点作于,过点作交于,当点与点重合时,点停止运动.设,. (1)求点到的距离的长; (2)求关于的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围); (3)是否存在点,使为等腰三角形? 若存在,请求出所有 满足要求的的值;若不存在,请说明理由. 分析: 由△BHD∽△BAC,可得DH;由△RQC∽△ABC,可得 关于的函数关系式;由腰相等列方程可得的值;注意需分类讨论. 以圆为载体的动点问题 动点问题是初中数学的一个难点,中考经常考察,有一类动点问题,题中未说到圆,却与圆有关,只要巧妙地构造圆,以圆为载体,利用圆的有关性质,问题便会迎刃而解;此类问题方法巧妙,耐人寻味。 例1.在中,AC=5,BC=12,∠ACB=90°,P是AB边上的动点(与点A、B不重合),Q是BC边上的动点(与点B、C不重合),当PQ与AC不平行时,△CPQ可能为直角三角形吗? 若有可能,请求出线段CQ的长的取值范围;若不可
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