《弹性力学》精彩试题参考问题详解Word格式.docx
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题三
(1)图
解:
・・・〃很小,・・M=Pd,可近似视为半平面体边界受一集中力偶"
的情形。
将应力函数0(人8)代入,可求得应力分屋:
心讐+吉甥一糾心
一隸塲卜寺Sc昨+B)
由该脱离体的平衡,得
将巧沼代入并积分,有
|(2Acos20+BY1(10+M=0
Asin2&
++M=0得B/r+M=0
(2)
一〒
联立式
(1).
(2)求得:
代入应力分经式,得
试求其应力分屋,并讨论所求解的适用围。
(提示:
取应力函数为
(13分)
结果的适用性:
由于在原点附近应用了圣维南原理,故此结果在原点附近误差较大,离原点较远处可适用。
2.图示悬臂梁,受三角形分布载荷作用,若梁的正应力由材料力学公式给出,试由平衡微分方程求出rtv,<
rv,并检验该应力分呈能否满足应力表示的相容方程。
(12分)
题三
(2)图
(1)求横裁面上正应力
任意截面的弯矩为M=
裁面惯性矩为/=7-,由材料力学计算公式有
6/12
(2)由平衡微分方程求(Tv
其中,x=o,y=0。
将式
(1)代入式
(2),有
%_6偽2
积分上式,得
"
沪宀/心)
利用边界条件:
rxy
>
-±
4=0*有
+/1«
=0
将式(4)代入式(3),有
厂糾(b-押)
糾十+鲁“或鲁一糾(八押)
积分得
等小心)"
)
利用边界条件:
得:
由第二式,得
将其代入第一式,
V——
-r°
—卑班一妇+認)+川
仏3v2487八I
一吗x(%■—加/)+f(x)=o
〃F>
248八
%rQo丫_%
~2ix~2ix~~
自然成立。
将f2(x)代入6的表达式,有
所求应力分屋的结果:
My2你
lh3
2糾押)
(6)
校核梁端部的边界条件:
(1)梁左端的边界(才二0):
-go代入后可见:
自然满足.
(2)梁右端的边界(才二/):
帥皿述一爷-)[/円
x=/
可见,所有边界条件均满足。
检验应力分呈,rxv,cry是否满足应力相容方程:
常体力下的应力相容方程为
P(6+6)=(务+話)(6+<
TV)=O
将应力分屋0\"
切6・式(6)代入应力相容方程,有
d2(、12绻d2/、12§
()
左(6+6)—乔小晴(65)—亍卩
Ng+6)=(务+千)©
+才)=-夸xyH0
显然,应力分圣不满足应力相容方程,因而式(6)并不是该该问题的正确解。
3.一端固定,另一端弹性支承的梁,其跨度为/,抗弯刚度「为常数,梁端支承弹簧的刚度系数为乩梁受有均匀分布载荷<
7作用,如图所示。
试:
(D构造两种形式(多项式、三角函数)的梁挠度试函数W(X);
(2)用最小势能原理或Ritz法求其多项式形式的挠度近似解(取1项待定系数)。
此时有:
\v(x)=x1(4+A2x+A3x2+)
、二a1・hnnx
w(x)=2L4ra一sm——铝2m兀I
即满足梁的端部边界条件。
梁的总势能为
器=2—广
代入总势能计算式,有
n=-^EI(2A^dx-^qx1A[dx+-k{A{l1}2
22
由也=0,有
4£
7/人+烈4/一彳广=0
A一加‘
13(4EII+kf)
代入梁的挠度试函数表达式,得一次近似解为
4.已知受力物体某一点的应力分呈为:
o\=0,(tv=2MPa,cz=IMPa,txy=IMPa,rxz=0,
j=2MPa
试求经过该点的平面x+3y+z=\上的正应力。
由平面方程x+3y+z=l,得其法线方向单位矢屋的方向余弦为
1
VP+32+l2
311
1/1=—-=—.—fi=—”-=—__
Vi2+32+i2VTT7i2+32+i2Vh
73啊丄=
111
《弹性力学》课程考试试卷
学号:
:
工程领域:
建筑与土木工程
题号
二
三
四
五
总分
得分
考试时间:
120分钟考试方式:
开卷任课教师:
静日期:
2007年4月28日
一、简述题(40分)
1.试叙述弹性力学两类平面问题的几何、受力、应力、应变特征,并指岀两类平面问题中弹性常数间的转换关系。
2.弹性力学问题按应力和位移求解,分别应满足什么方程?
3.写出直角坐标下弹性力学平面问题的基本方程和边界条件?
4.写出弹性力学按应力求解空间问题的相容方程。
5.求解弹性力学问题时,为什么霊要利用圣维南原理?
6.试叙述位移变分方程和微小势能原理,并指出他们与弹性力学基本方程的等价性?
7.试判断下列应变场是否为可能的应变场?
(需写出判断过程)
8.试写出应力边界条件:
(1)(“)图用极坐标形式写出;
(2)(/?
)图用直角坐标形式写岀。
(b)图
(d)图
二、计算题(15分)
已知受力物体中某点的应力分屋为:
b才=0,<
7V=2a,=a9rxy=a,ryz=0,r.r=2a。
试
求作用在过此点的平面x+3y+z=1上的沿坐标轴方向的应力分呈,以及该平面上的正应力和切应力。
三、计算题(15分)
图示矩形截面悬皆梁,长为/,高为力,在左端面受力P作用。
不计体力,试求梁的应力分圣。
(试取应力函数
(p=Ary5+Bxy)
四.计算题(15分)
图示半无限平面体在边界上受有两等值反向,间距为/的集中力作用,单位宽度上集中力的值为P,设间距〃很小。
试求其应力分呈,并讨论所求解的适用围。
(试取应力函数0=Asin2&
+360
五、计算题(15分)
如图所示的悬臂梁,其跨度为/。
抗弯刚度为£
/,在自由端受集中力P作用。
试用微小势能原理求谥大挠度。
加、
(设梁的挠度曲线w=q(i—cos—))
《弹性力学》试题(答题时间:
120分钟)
班级学号
—
(1)
⑵
(3)
⑷
-V填空题(每小题4分)
1.用最小势能原理求解时所假设的位移试函数应满足:
-
2.弹性多连体问题的应力分圣应满足,,,o
3.拉甫(Love)位移函数法适用空间问题;
伽辽金(GalerkirO位移函数法适用于空间问
题。
4.圣维南原理的基本要点有,,。
5.有限差分法的基本思想为:
-
二.简述题(每小题5分)
1.试比较两类平面问题的特点,并给出由平面应力到平面应变问题的转换关系。
2.试就下列公式说明下列问题:
(1)单连体问题的应力分呈与材料的弹性常数无关;
(2)多连体弹性力学问题中应力分屋与弹性常数无关的条件。
<
JX+b、=2[硏⑵+0;
⑵]=4Re硏⑵
-<
rx+2irxy=2艮歼(乙)+皆:
⑵]
1_//川
攵+%)ln(z-zQ+处⑵
o/r〜
式中:
®
(z),$(z)均为解析函数;
均为单值解析函数。
3.试列写图示半无限平面问题的边界条件。
4.图示弹性薄板,作用一对拉力R试由功的互等定理证明:
薄板的面积改变与板的形状无关,仅与材料的弹性模呈&
泊松比“、两力P作用点间的距离/有关。
题二(4)图
5.下面给出平面问题(单连通域)的一组应变分呈,试判断它们是否可能。
sx=C(x2+y2),£
y=Cy\/xy=ICxy»
6.等裁面直杆扭转问题的应力函数解法中,应力函数0(忑『)应满足:
于(p=_2GK
G为剪切弹性模屋;
K为杆件单位长度扭转角。
试说明该方程的物理意义。
三.计算题
1.图示无限大薄板,在夹角为90°
的凹口边界上作用有均匀分布剪应力%已知其应力函数为:
(p=r2(Acos2^+B)
不计体力,试求其应力分呈。
(13分)
2.图示矩形截面杆,长为/,截面高为九
宽为单位1,受偏心拉力N、
偏心距为6不计杆的体力。
试用应力函数
(p=Ay3+By2求杆的应力分呈
并与材料力学结果比较。
3.图示简支梁,其跨度为人抗弯刚度F/为常数,受有线性分布载荷g作用。
试求:
(1)用三角函数形式和多项式写出梁挠度(Q近似函数的表达式;
(2)在上述梁挠度(4近似函数中任选一种,用最小势能原理或Ritz法求梁挠度(4的近似解(取2项
待定系数)。
题三(3)图
4.图示微小四面体04%,0A=0B二0C、。
为初的中点。
设0点的应变屋为:
0.01
=—0.005
-0.0050
0.020.01
0.01-0.03
试求0点处单位矢屋以十方向的线应变。
题三(4)图
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