中考专题数学选填组求阴影部分的面积.docx
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圆+阴影面积
1.如图,在Rt△AOB中,∠AOB=90∘,OA=3,OB=2,将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90∘后得Rt△FOE,将线段EF绕点E逆时针旋转90∘后得线段ED,分别以O,E为圆心,OA、ED长为半径画弧AF和弧DF,连接AD,则图中阴影部分面积是()
解答:
作DH⊥AE于H,
∵∠AOB=90∘,OA=3,OB=2,
∴AB=,
由旋转的性质可知,OE=OB=2,DE=EF=AB=,△DHE≌△BOA,
∴DH=OB=2,
阴影部分面积=△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积−扇形DEF的面积=×5×2+×2×3+−=8−π.
2.如图,在圆心角为90∘的扇形AOB中,半径OA=3,OC=AC,OD=BD,F是弧AB的中点。
将△OCD沿CD折叠,点O落在点E处,则图中阴影部分的面积为.
解答:
连接OF,过C作CH⊥OF于H,
∵OA=OB=OF=3,OC=AC,OD=BD,
∴OC=1.5,OD=2,
∵F是弧AB的中点。
∴∠COH=45∘,
∴CH=OH=,
∴S阴影=S扇形FOB+S△COF−2S△COD=
=,
故答案为:
.
3.如图矩形ABCD中,AD=1,CD=,连接AC,将线段AC、AB分别绕点A顺时针旋转90∘至AE、AF,线段AE与弧BF交于点G,连接CG,则图中阴影部分面积为.
解答:
在矩形ABCD中,
∵AD=1,CD=,
∵AC=2,tan∠CAB=BC:
AB=AD:
CD=,
∴∠CAB=30∘,
∵线段AC、AB分别绕点A顺时针旋转90∘至AE、AF,
∴∠CAE=∠BAF=90∘,
∴∠BAG=60∘,
∵AG=AB=,
∴阴影部分面积=S△ABC+S扇形ABG−S△ACG=××1+−××2=−
故答案为:
−.
4.如图,在扇形OAB中,C是OA的中点,CD⊥OA,CD与弧AB交于点D,以O为圆心,OC的长为半径作弧CE交OB于点E,若OA=4,∠AOB=120∘,则图中阴影部分的面积为.(结果保留π)
解答:
连接O、AD,
∵点C为OA的中点,
∴∠CDO=30∘,∠DOC=60∘,
∴△ADO为等边三角形,
∴S扇形AOD==π,
∴S阴影=S扇形AOB−S扇形COE−(S扇形AOD−S△COD)=−−(π−×2×2)
=π−π−π+2=π+2.
故答案为π+2.
5.如图,已知矩形ABCD中,AB=3,AD=2,分别以边AD,BC为直径在矩形ABCD的内部作半圆O1和半圆O2,一平行于AB的直线EF与这两个半圆分别交于点E、点F,且EF=2(EF与AB在圆心O1和O2的同侧),则由弧AE,EF,弧FB,AB所围成图形(图中阴影部分)的面积等于.
解答:
连接O1O2,O1E,O2F,
则四边形O1O2FE是等腰梯形,
过E作EG⊥O1O2,过F⊥O1O2,
∴四边形EGHF是矩形,
∴GH=EF=2,
∴O1G=,
∵O1E=1,
∴GE=,
∴O1G:
O1E=;
∴∠O1EG=30∘,
∴∠AO1E=30∘,
同理∠BO2F=30∘,
∴阴影部分的面积=S 矩形ABO2O1−2S 扇形AO1E−S 梯形EFO2O1=3×1−2×−(2+3)×=3−−
故答案为:
3−−.
6.如图,将半径为2,圆心角为120∘的扇形OAB绕点A逆时针旋转60∘,点O,B的对应点分别为O′,B′,连接BB′,则图中阴影部分的面积是()
A. B. C. D.
解答:
连接OO′,BO′,
∵将半径为2,圆心角为120∘的扇形OAB绕点A逆时针旋转60∘,
∴∠OAO′=60∘,
∴△OAO′是等边三角形,
∴∠AOO′=60∘,
∵∠AOB=120∘,
∴∠O′OB=60∘,
∴△OO′B是等边三角形,
∴∠AO′B=120∘,
∵∠AO′B′=120∘,
∴∠B′O′B=120∘,
∴∠O′B′B=∠O′BB′=30∘,
∴图中阴影部分的面积=S△B′O′B−(S扇形O′OB−S△OO′B)=×1×2−(−×2×)=2−
故选C.
7.如图,在扇形AOB中,∠AOB=90°,以点A为圆心,OA的长为半径作弧OC交弧AB于点C.若OA=2,则阴影部分的面积为.
解答:
答案:
.
连接OC、AC,
由题意得,OA=OC=AC=2,
∴△AOC为等边三角形,∠BOC=30°,
∴扇形COB的面积为:
,
△AOC的面积为:
π×2×=,
∴扇形AOC的面积为:
.
则阴影部分的面积为:
S扇形COB+S△AOC−S扇形AOC=+−=−.
8.如图,在菱形ABCD中,AB=1,∠DAB=60°.把菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′,其中点C的运动路径为弧CC′,则图中阴影部分的面积为.
解答:
连接CD′和BC′.
∵∠DAB=60°,
∴∠DAC=∠CAB=30°.
∵∠C′AB′=30°,
∴A、D′、C及A、B、C′分别共线,
∴AC=,
∴扇形CAC′的面积为.
∵AC=AC′,AD′=AB,
∴在△OCD′和△OC′B中:
CD'=BC',∠ACO=∠AC'D',∠COD'=∠C'OB
∴△OCD′≌△OC′B,
∴OB=OD′,CO=C′O.
∵∠CBC′=60°,∠BC′O=30°,
∴∠COD′=90°.
∵CD′=AC−AD′=−1,OB+C′O=1,
∴在Rt△BOC′中,BO2+(1−BO)2=(−1)2,
解得BO=,C′O=,
∴△OC′B的面积为:
BO·C′O=,
∴图中阴影部分的面积为.
9.如图,矩形ABCD中,AB=1,AD=,以AD的长为半径的⊙A交BC于点E,则图中阴影部分的面积为.
解答:
连接AE.
根据题意,得:
AE=AD=.
根据勾股定理,得:
BE=1.
根据三角形的内角和定理,得:
∠BAE=45°.
则∠DAE=45°.
则阴影部分的面积=−−.
10.如图,在矩形ABCD中,AB=2DA,以点A为圆心,AB为半径的圆弧交DC于点E,交AD的延长线于点F,设DA=2,图中阴影部分的面积为.
解答:
∵AB=2DA,AB=AE(扇形的半径),
∴AE=2DA=2×2=4,
∴∠AED=30°,
∴∠DAE=90°−30°=60°,
DE=2,
∴阴影部分的面积=S扇形AEF−S△ADE=.
故答案为:
.
11.如图,在半径为,圆心角等于45°的扇形AOB内部作一个正方形CDEF,使点C在OA上,点D、E在OB上,点F在弧AB上,则阴影部分的面积为(结果保留π).
解答:
连接OF,
∵∠AOD=45°,四边形CDEF是正方形,
∴OD=CD=DE=EF,
于是Rt△OFE中,OE=2EF,OF=,
∴OF=EF
∴EF=CF=1,OE=2,
∴阴影部分的面积=S扇形OAB−S△OCF−S△FOE=.
12.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=6,AC=3,以BC为直径的半圆交AB于点D,则阴影部分的面积为.
解答:
连接OD,CD,
∵Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=6,AC=3,
∴BC=3,
∵BC为⊙O的直径,
∴CD⊥BD,
∴CD=,BD=,
∴CD=CO=OD=,BD=,
∴∠COD=60°,
∴阴影部分的面积=S△ABC−S扇形COD−S△BOD
=×3×3−
故答案为:
.
13.如图,在▱ABCD中,∠BCD=60∘,AB=2BC=4,将▱ABCD绕点B逆时针旋转一定角度后得到▱A′BC′D′,其中点C的对应点C′落在边CD上,则图中阴影部分的面积为。
解答:
如图,连接BD、BD′,
∵▱A′BC′D′是由▱ABCD绕点B旋转得到的,
∴∠ABA′=∠CBC′=∠DBD′,AB=A′B,CB=C′B,BD=BD′,
∵∠BCD=60∘,AB=2BC=4,
∴BC′=BC=2=AB=CD,
∴△BCD是直角三角形,∠ABA′=∠CBC′=∠DBD′=60∘
∴BD=,
则阴影部分的面积=S扇形BAA′−S扇形BDD′==π。
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