2019中考二次函数压轴题专题分类训练.doc
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中考二次函数压轴题专题分类训练
题型一:
面积问题
【例1】(2009湖南益阳)如图2,抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点B.
(1)求抛物线和直线AB的解析式;
(2)求△CAB的铅垂高CD及S△CAB;
x
C
O
y
A
B
D
1
1
图2
(3)设点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,是否存在一点P,使S△PAB=S△CAB,若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
【变式练习】
1.(2009广东省深圳市)如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(-2,0),连结OA,将线段OA绕原点O顺时针旋转120°,得到线段OB.
(1)求点B的坐标;
(2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式;
(3)在
(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使△BOC的周长最小?
若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.
(4)如果点P是
(2)中的抛物线上的动点,且在x轴的下方,那么△PAB是否有最大面积?
若有,求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积;若没有,请说明理由.
A
x
y
B
O
2.(2010绵阳)如图,抛物线y=ax2+bx+4与x轴的两个交点分别为A(-4,0)、B(2,0),与y轴交于点C,顶点为D.E(1,2)为线段BC的中点,BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G.
(1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D的坐标;
C
E
D
G
A
x
y
O
B
F
(2)在直线EF上求一点H,使△CDH的周长最小,并求出最小周长;
(3)若点K在x轴上方的抛物线上运动,当K运动到什么位置时,
△EFK的面积最大?
并求出最大面积.
3.(2012铜仁)如图,已知:
直线交x轴于点A,交y轴于点B,抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C(1,0)三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点D的坐标为(-1,0),在直线上有一点P,使ΔABO与ΔADP相似,求出点P的坐标;
(3)在
(2)的条件下,在x轴下方的抛物线上,是否存在点E,使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积?
如果存在,请求出点E的坐标;如果不存在,请说明理由.
题型二:
构造直角三角形
【例2】(2010山东聊城)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=1,且抛物线经过A(-1,0)、C(0,-3)两点,与x轴交于另一点B.
(1)求这条抛物线所对应的函数关系式;
(2)在抛物线的对称轴x=1上求一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,并求此时点M的坐标;
(3)设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点,求使∠PCB=90º的点P的坐标.
E
【变式练习】
1.(2012广州)如图,抛物线y=与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
(1)求点A、B的坐标;
(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,求点D的坐标;
(3)若直线l过点E(4,0),M为直线l上的动点,当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线l的解析式.
2.(2009成都)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,其顶点为M,若直线MC的函数表达式为,与x轴的交点为N,且COS∠BCO=。
(1)求此抛物线的函数表达式;
(2)在此抛物线上是否存在异于点C的点P,使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形?
若存在,求出点P的坐标:
若不存在,请说明理由;
(3)过点A作x轴的垂线,交直线MC于点Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移,使抛物线与线段NQ总有公共点,则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?
向下最多可平移多少个单位长度?
3.(2012杭州)在平面直角坐标系内,反比例函数和二次函数y=k(x2+x﹣1)的图象交于点A(1,k)和点B(﹣1,﹣k).
(1)当k=﹣2时,求反比例函数的解析式;
(2)要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大,求k应满足的条件以及x的取值范围;
(3)设二次函数的图象的顶点为Q,当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时,求k的值
4.如图
(1),抛物线与y轴交于点A,E(0,b)为y轴上一动点,过点E的直线与抛物线交于点B、C.
(1)求点A的坐标;
(2)当b=0时(如图
(2)),与的面积大小关系如何?
当时,上述关系还成立吗,为什么?
(3)是否存在这样的b,使得是以BC为斜边的直角三角形,若存在,求出b;若不存在,说明理由.
第26题
图
(1)
图
(2)
题型三:
构造等腰三角形
【例3】如图,已知抛物线(a≠0)与轴交于点A(1,0)和点B(-3,0),与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在x轴上是否存在一点Q使得△ACQ为等腰三角形?
若存在,请直接写出所有符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)设抛物线的对称轴与轴交于点M,问在对称轴上是否存在点P,使△CMP为等腰三角形?
若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【变式练习】
1.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(m,m),点B的坐标为(n,﹣n),抛物线经过A、O、B三点,连接OA、OB、AB,线段AB交y轴于点C.已知实数m、n(m<n)分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P为线段OB上的一个动点(不与点O、B重合),直线PC与抛物线交于D、E两点(点D在y轴右侧),连接OD、BD.
①当△OPC为等腰三角形时,求点P的坐标;
②求△BOD面积的最大值,并写出此时点D的坐标.
2.如图,抛物线经过的三个顶点,已知轴,点在轴上,点C在轴上,且AC=BC.
(1)写出A,B,C三点的坐标并求抛物线的解析式;
(2)探究:
若点是抛物线对称轴上且在轴下方的动点,是否存在是等腰三角形.若存在,求出所有符合条件的点坐标;不存在,请说明理由.
A
C
B
y
x
0
1
1
3.(2010黄冈)已知抛物线顶点为C(1,1)且过原点O.过抛物线上一点P(x,y)向直线作垂线,垂足为M,连FM(如图).
(1)求字母a,b,c的值;
(2)在直线x=1上有一点,求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标,并证明此时△PFM为正三角形;
(3)对抛物线上任意一点P,是否总存在一点N(1,t),使PM=PN恒成立,若存在请求出t值,若不存在请说明理由.
题型四:
构造相似三角形
【例4】(2011临沂)如图,已知抛物线经过A(﹣2,0),B(﹣3,3)及原点O,顶点为C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点D在抛物线上,点E在抛物线的对称轴上,且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形,求点D的坐标;
(3)P是抛物线上的第一象限内的动点,过点P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在点P,使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【变式练习】
1.(2012天水)如图,已知抛物线经过A(4,0),B(1,0),C(0,-2)三点.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D,使得△DCA的面积最大?
若存在,求出点D的坐标及△DCA面积的最大值;若不存在,请说明理由.
(3)P是直线x=1右侧的该抛物线上一动点,过P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似?
若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
2.如图,二次函数的图象经过点D(0,),且顶点C的横坐标为4,该图象在x轴上截得的线段AB的长为6.
(1)求二次函数的解析式;
(2)在该抛物线的对称轴上找一点P,使PA+PD最小,求出点P的坐标;
(3)在抛物线上是否存在点Q,使△QAB与△ABC相似?
如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.
【例5】(2012苏州)如图,已知抛物线y=x2-(b+1)x+(b是实数且b>2)与x轴的正半轴分别交于点A、B(点A位于点B的左侧),与y轴的正半轴交于点C.
(1)点B的坐标为,点C的坐标为(用含b的代数式表示);
(2)请你探索在第一象限内是否存在点P,使得四边形PCOB的面积等于2b,且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?
如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由;
(3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q,使得△QCO,△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似(全等可作相似的特殊情况)?
如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.
【变式练习】
(图7)
1
1
x
y
A
O
1.(2012上海宝山)如图,平面直角坐标系中,已知点A(2,3),线段垂直于轴,垂足为,将线段绕点A逆时针方向旋转90°,点B落在点处,直线与轴的交于点.
(1)试求出点D的坐标;
(2)试求经过、、三点的抛物线的表达式,
并写出其顶点E的坐标;
(3)在
(2)中所求抛物线的对称轴上找点,使得
以点、、为顶点的三角形与△ACD相似.
2.(2012上海杨浦区)已知直线与x轴交于点A,与y轴交于点B,将△AOB绕点O顺时针旋转,使点A落在点C,点B落在点D,抛物线过点A、D、C,其对称轴与直线AB交于点P,
x
y
O
1
1
(1)求抛物线的表达式;
(2)求∠POC的正切值;
(3)点M在x轴上,且△ABM与△APD相似,求点M的坐标。
3.(2012宁波)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A(﹣1,0),B(2,0),交y轴于C(0,﹣2),过A,C画直线.
(1)求二次函数的解析式;
(2)点P在x轴正半轴上,且PA=PC,求OP的长;
(3)点M在二次函数图象上,以M为圆心的圆与直线AC相切,切点为H.
①若M在y轴右侧,且△CHM∽△AOC(点C与点A对应),求点M的坐标;
②若⊙M的半径为,求点M的坐标.
题型五:
构造梯形
【例6】已知,矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图1所示,点A的坐标为(4,0),点C的坐标为,直线与边BC相交于点D.
(1)求点D的坐标;
(2)抛物线经过点A、D、O,求此抛物线的表达式;
(3)在这个抛物线上是否存在点M,使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形?
若存在,请求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【变式练习】
1.已知平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-(a+1)x与直线y=kx的一个公共点为A(4,8).
(1)求此抛物线和直线的解析式;
(2)若点P在线段OA上,过点P作y轴的平行线交
(1)中抛物线于点Q,求线段PQ长度的最大值;
(3)记
(1)中抛物线的顶点为M,点
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