行波法和达朗贝尔公式.docx
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行波法与达朗贝尔公式
我们已经熟悉常微分方程的常规解法:
先不考虑任何附加条件,从方程本身求出通解,通解中含有任意常数(积分常数),然后利用附加条件确定这些常数。
偏微分方程能否仿照这种办法求解呢?
(一)达朗贝尔公式
试研究均匀弦的横振动方程(7-1-6)、均匀杆的纵振动方程(7-1-9)、理想传输线方程(7-1-14),它们具有同一形式
即
(7-4-1)
(1)通解
方程(7-4-1)的形式提示我们作代换
(7-4-2)
因为在这个代换下,
方程(7-4-1)就成为。
但为了以后的书写便利,把代换(7-4-2)修改为
即
在此代换下,方程(7-4-1)化为
(7-4-3)
就很容易求解了。
先对积分,得
(7-4-4)
其中是任意函数。
再对积分,就得到通解
(7-4-5)
其中和都是任意函数。
式(7-4-5)就是偏微分方程(7-4-1)的通解。
不同于常微分方程的情况,式中出现任意函数而不是任意常数。
通解(7-4-5)具有鲜明物理意义。
以而论,改用以速度沿正方向移动的坐标轴,则新旧坐标和时间之间的关系为
而
与时间T无关。
这就是说,函数的图象在动坐标系中保持不变,亦即是随着动坐标系以速度沿正方向移动的行波。
同理,是以速度沿负方向移动的行波。
这样,偏微分方程(7-4-1)描写以速度向两方向传播的行波。
(2)函数 与 的确定
通解(7-4-5)中的函数与可用定解条件确定。
我们假定所研究的弦、杆、传输线是“无限长的”(此词的真正含义见§7.2
(二)末),这就不存在边界条件,设初始条件是
(7-4-6)
以一般解(7-4-5)代入初始条件,得
即
由此解得
以此代回(7-4-5)即得满足初始条件(7-4-6)的特解
(7-4-7)
这叫作达朗贝尔公式
作为第一个例子,设初速为零即,而初始位移只在区间上不为零,于处达到最大值,如图7-14a所示。
达朗贝尔公式(7-4-7)给出,即初始位移(图7-14b最下一图的粗线所描画)分为两半(该图细线),分别向左右两方以速度移动(图7-14b由下而上各图的细线所描画),这两个行波的和(图7-14b由下而上的粗线所描画)给出各个时刻的波形。
作为第二个例子,设初始位移为零即,而且初速也只在区间上不为零,
达朗贝尔公式(7-4-7)给出
这里指的是(图7-15)
于是,作出和两个图形,让它们以速度分别向左右两方移动(图7-16由下而上各图的细线所描画),两者的和(图7-16由下而上各图的粗线)就描画出各个时刻的波形。
在图7-14b中,波已“通过”的地区,振动消失而弦静止在原平衡位置;在图7-16中,波已“通过”的地区,虽然振动已消失,但偏离了原平衡位置。
(二)端点的反射
研究半无限长弦的自由振动。
半无限长的弦具有一个端点。
先考察端点固定的情况,即定解问题。
(7-4-8)
(7-4-9)
(7-4-10)
注意初始条件(7-4-9)里的和必须宗量才有意义,这是因为在的区域上弦并不存在,也就谈不上初始条件。
这样,对于较迟的时间,达朗贝尔公式里的和失去意义,公式也就不能应用。
参照§5.2习题4,不妨把这根半无限长弦当作某根无限长弦的的部分。
按照(7-4-10),这无限长弦的振动过程中,点必须保持不动。
这是说,无限长弦的位移应当是奇函数,因而无限长弦的初始位移和初始速度都应当是奇函数,即
(7-4-11)
通常采用“延拓”一词把(7-4-11)说成“把和从半无界区间奇延拓到整个无界区间,分别成为和”。
现在完全可以应用达郎贝尔公式(7-4-7)求解无限长弦的自由振动,它的的部分正是我们所考察的半无限长弦。
根据(7-4-7),
把(7-4-11)代入上式,
(7-4-12)
为了阐明(7-4-12)的物理意义,图7-17描画了只有初始位移而没有初始速度的情况。
最下一图右半边用实线描画出分别向左右两方移动的波,左半边用细线描画出其奇延拓,奇延拓的波也分别向左右两方移动。
在这图中,端点还没有引起什么影响。
由下而上各图按着时间顺序描画了波的传播情况,粗线为合成的波形,端点确实保持不动。
由图可见,端点的影响表现为反射波。
这反射波的相位跟入射波相反,这就是所谓半波损失。
再考察半无限长杆的自由振动,杆的端点自由,这个定解问题是
(7-4-13)
(7-4-14)
(7-4-15)
同样,不妨把这根半无限长杆当作某根无限长杆的的部分。
按照(7-4-15),这无限长杆的振动过程中,在点的相对伸长必须保持为零。
这是说,无限长杆的位移应当是偶函数,因而无限长杆的初始位移和初始速度都应当是偶函数,即
(7-4-16)
这就是“把和从半无界区间偶延拓到整个无界区间分别成为和”。
现在,应用达朗贝尔公式(7-4-7)求解无限长杆的自由振动,
把(7-4-16)代入上式,
(7-4-17)
自由端点的影响可以仿照图7-17加以阐明,这也是一种反射波。
不同的是反射波的相位跟入射波相同,没有半波损失。
(三)定解问题是一个整体
从偏微分方程(7-4-1)解出达朗贝尔公式(7-4-7)的过程,与读者所熟悉的常微分方程的求解过程是完全类似的。
但是,很可惜,绝大多数偏微分方程很难求出通解;即使已求得通解,用定解条件确定其中待定函数往往更加困难。
在本章的开头已指出,从物理的角度来说,问题的完整提法是在给定的定解条件下求解数学物理方程。
现在我们要指出,除了达朗贝尔公式一类极少的例外,从数学的角度来说,不可能先求偏微分方程的通解然后再考虑定解条件,必须同时考虑偏微分方程和定解条件以进行求解。
这样,不管从物理上说还是从数学上说,定解问题是一个整体。
(四)定解问题的适定性
定解问题来自实际,它的解答也应回到实际中去。
为此,应当要求定解问题
(1)有解,
(2)其解是唯一的,(3)解是稳定的,解的存在性和唯一性这两个要求明白易懂。
至于第三个要求即稳定性说的是:
如果定解条件的数值有细微的改变,解的数值也只作细微的改变。
为什么要求稳定呢?
由于测量不可能绝对精密,来自实际的定解条件不免带有细微的误差,如果解不是稳定的,那么它就很可能与实际情况相去甚远,没有价值。
定解问题如果满足以上三个条件,就称为适定的。
非适定的定解问题应当修改其提法,使其成为适定的。
以达朗贝尔解(7-4-7)为例。
如果(这些记号的意思是属于具有二阶连续导数的函数类),,不难直接验证它确实满足方程(7-4-1)和条件(7-4-6)。
这是说,解是存在的。
在推得达朗贝尔公式(7-4-7)的过程中,没有对所求解的作过任何假定和限制,凡满足方程(7-4-1)和条件(7-4-6)的解必可表为(7-4-7)。
这是说,解是唯一的。
最后,证明达朗贝尔解(7-4-7)的稳定性。
设有相差很细微的两组初始条件
(7-4-18)
(7-4-19)
则相应的两解和相差
两解的差确是细微的。
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