高考真题+模拟新题 理科数学分类汇编H单元 解析几何 纯word版解析可编辑Word下载.docx

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－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线x＝相交于点N.证明：

当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．

20．解：

（1）设F（c，0），因为b＝1，所以c＝.

由题意，直线OB的方程为y＝－x，直线BF的方程为y＝（x－c），所以B.

又直线OA的方程为y＝x，

则A，所以kAB＝＝.

又因为AB⊥OB，所以·

＝－1，解得a2＝3，故双曲线C的方程为－y2＝1.

（2）由

（1）知a＝，则直线l的方程为－y0y＝1（y0≠0），即y＝（y0≠0）．

因为直线AF的方程为x＝2，所以直线l与AF的交点为M，直线l与直线x＝的交点为N，，

则＝＝＝

·

.

又P（x0，y0）是C上一点，则－y＝1，

代入上式得＝·

＝·

＝，所以＝＝，为定值．

20．，，[2014·

四川卷]已知椭圆C：

＋＝1（a>

b>

0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．

（1）求椭圆C的标准方程．

（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x＝－3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.

①证明：

OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；

②当最小时，求点T的坐标．

（1）由已知可得

解得a2＝6，b2＝2，

所以椭圆C的标准方程是＋＝1.

（2）①证明：

由

（1）可得，F的坐标是（－2，0），设T点的坐标为（－3，m），

则直线TF的斜率kTF＝＝－m.

当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ＝.直线PQ的方程是x＝my－2.

当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式．

设P（x1，y1），Q（x2，y2），将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得

消去x，得（m2＋3）y2－4my－2＝0，

其判别式Δ＝16m2＋8（m2＋3）>

0.

所以y1＋y2＝，y1y2＝，

x1＋x2＝m（y1＋y2）－4＝.

设M为PQ的中点，则M点的坐标为.

所以直线OM的斜率kOM＝－，

又直线OT的斜率kOT＝－，

所以点M在直线OT上，

因此OT平分线段PQ.

②由①可得，

|TF|＝，

|PQ|＝

＝

＝.

所以＝＝

≥＝.

当且仅当m2＋1＝，即m＝±

1时，等号成立，此时取得最小值．

故当最小时，T点的坐标是（－3，1）或（－3，－1）．

H2　两直线的位置关系与点到直线的距离

21．、、[2014·

全国卷]已知抛物线C：

y2＝2px（p>

0）的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|.

（1）求C的方程；

（2）过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程．

21．解：

（1）设Q（x0，4），代入y2＝2px，得x0＝，

所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋.

由题设得＋＝×

，解得p＝－2（舍去）或p＝2，

所以C的方程为y2＝4x.

（2）依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1（m≠0）．

代入y2＝4x，得y2－4my－4＝0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.

故线段的AB的中点为D（2m2＋1，2m），

|AB|＝|y1－y2|＝4（m2＋1）．

又直线l′的斜率为－m，

所以l′的方程为x＝－y＋2m2＋3.

将上式代入y2＝4x，

并整理得y2＋y－4（2m2＋3）＝0.

设M（x3，y3），N（x4，y4），

则y3＋y4＝－，y3y4＝－4（2m2＋3）．

故线段MN的中点为E，

|MN|＝|y3－y4|＝.

由于线段MN垂直平分线段AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，

从而|AB|2＋|DE|2＝|MN|2，即

4（m2＋1）2＋＋＝

，

化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1，

故所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.

H3　圆的方程

9．、[2014·

福建卷]设P，Q分别为圆x2＋（y－6）2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（　　）

A．5B.＋

C．7＋D．6

9．D　[解析]设圆心为点C，则圆x2＋（y－6）2＝2的圆心为C（0，6），半径r＝.设点Q（x0，y0）是椭圆上任意一点，则＋y＝1，即x＝10－10y，

∴|CQ|＝＝＝，

当y0＝－时，|CQ|有最大值5　，

则P，Q两点间的最大距离为5　＋r＝6　.

H4　直线与圆、圆与圆的位置关系

10．、[2014·

安徽卷]在平面直角坐标系xOy中，已知向量a，b，|a|＝|b|＝1，a·

b＝0，点Q满足＝（a＋b）．曲线C＝{P|＝acosθ＋bsinθ，0≤θ<

2π}，区域Ω＝{P|0＜r≤|PQ|≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则（　　）

A．1＜r＜R＜3B．1＜r＜3≤R

C．r≤1＜R＜3D．1＜r＜3＜R

10．A　[解析]由已知可设＝a＝（1，0），＝b＝（0，1），P（x，y），则＝（，），|OQ|＝2.

曲线C＝{P|＝（cosθ，sinθ），0≤θ<

2π}，

即C：

x2＋y2＝1.

区域Ω＝{P|0<

r≤||≤R，r<

R}表示

圆P1：

（x－）2＋（y－）2＝r2与P2：

（x－）2＋（y－）2＝R2所形成的圆环，如图所示．

要使C∩Ω为两段分离的曲线，则有1<

r<

R<

3.

19．、、[2014·

北京卷]已知椭圆C：

x2＋2y2＝4.

（1）求椭圆C的离心率；

（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2＋y2＝2的位置关系，并证明你的结论．

19．解：

（1）由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1.

所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.

因此a＝2，c＝.

故椭圆C的离心率e＝＝.

（2）直线AB与圆x2＋y2＝2相切．证明如下：

设点A，B的坐标分别为（x0，y0），（t，2），

其中x0≠0.

因为OA⊥OB，所以·

＝0，

即tx0＋2y0＝0，解得t＝－.

当x0＝t时，y0＝－，代入椭圆C的方程，

得t＝±

故直线AB的方程为x＝±

.圆心O到直线AB的距离d＝，

此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．

当x0≠t时，直线AB的方程为y－2＝（x－t），

即（y0－2）x－（x0－t）y＋2x0－ty0＝0.

圆心O到直线AB的距离

d＝.

又x＋2y＝4，t＝－，故

d＝＝＝.

6．、[2014·

福建卷]直线l：

y＝kx＋1与圆O：

x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为”的（　　）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分又不必要条件

6．A　[解析]由直线l与圆O相交，得圆心O到直线l的距离d＝<

1，解得k≠0.

当k＝1时，d＝，|AB|＝2＝，则△OAB的面积为×

×

＝；

当k＝－1时，同理可得△OAB的面积为，则“k＝1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件．

12．[2014·

湖北卷]直线l1：

y＝x＋a和l2：

y＝x＋b将单位圆C：

x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________.

12．2　[解析]依题意得，圆心O到两直线l1：

y＝x＋a，l2：

y＝x＋b的距离相等，且每段弧长等于圆周的，即＝＝1×

sin45°

，得|a|＝|b|＝1.故a2＋b2＝2.

15．、[2014·

全国卷]直线l1和l2是圆x2＋y2＝2的两条切线．若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于________．

15.　[解析]如图所示，根据题意，OA⊥PA，OA＝，OP＝，所以PA＝＝2，所以tan∠OPA＝＝＝，故tan∠APB＝＝，

即l1与l2的夹角的正切值等于.

15．[2014·

山东卷]已知函数y＝f（x）（x∈R），对函数y＝g（x）（x∈I），定义g（x）关于f（x）的“对称函数”为函数y＝h（x）（x∈I），y＝h（x）满足：

对任意x∈I，两个点（x，h（x）），（x，g（x））关于点（x，f（x））对称．若h（x）是g（x）＝关于f（x）＝3x＋b的“对称函数”，且h（x）＞g（x）恒成立，则实数b的取值范围是________．

15．（2，＋∞）　[解析]g（x）的图像表示圆的一部分，即x2＋y2＝4（y≥0）．当直线y＝3x＋b与半圆相切时，满足h（x）>

g（x），根据圆心（0，0）到直线y＝3x＋b的距离是圆的半径求得＝2，解得b＝2或b＝－2（舍去），要使h（x）>

g（x）恒成立，则b＞2，即实数b的取值范围是（2，＋∞）．

陕西卷]若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．

12．x2＋（y－1）2＝1　[解析]由圆C的圆心与点（1，0）关于直线y＝x对称，得圆C的圆心为（0，1）．又因为圆C的半径为1，所以圆C的标准方程为x2＋（y－1）2＝1.

14．，[2014·

四川卷]设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P（x，y），则|PA|·

|PB|的最大值是________．

14．5　[解析]由题意可知，定点A（0，0），B（1，3），且两条直线互相垂直，则其交点P（x，y）落在以AB为直径的圆周上，

所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10.

∴|PA||PB|≤＝5，

当且仅当|PA|＝|PB|时等号成立．

13．[2014·

重庆卷]已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆（x－1）2＋（y－a）2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________．

13．4±

　[解析]由题意可知圆的圆心为C（1，a），半径r＝2，则圆心C到直线ax＋y－2＝0的距离d＝＝.∵△ABC为等边三角形，∴|AB|＝r＝2.又|AB|＝2，∴2＝2，即a2－8a＋1＝0，解得a＝4±

21．，[2014·

重庆卷]如图14所示，设椭圆＋＝1（a>

0）的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，＝2，△DF1F2的面积为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．

图14

（1）设F1（－c，0），F2（c，0），其中c2＝a2－b2.

由＝2得|DF1|＝＝c.

从而S△DF1F2＝|DF1||F1F2|＝c2＝，故c＝1.

从而|DF1|＝，由DF1⊥F1F2得|DF2|2＝|DF1|2＋|F1F2|2＝，因此|DF2|＝，

所以2a＝|DF1|＋|DF2|＝2，故a＝，b2＝a2－c2＝1.

因此，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.

（2）如图所示，设圆心在y轴上的圆C与椭圆＋y2＝1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，y1>

0，y2>

0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2.由圆和椭圆的对称性，易知，x2＝－x1，y1＝y2，|P1P2|＝2|x1|.

由

（1）知F1（－1，0），F2（1，0），所以＝（x1＋1，y1），＝（－x1－1，y1）．再由F1P1⊥F2P2得－（x1＋1）2＋y＝0.由椭圆方程得1－＝（x1＋1）2，即3x＋4x1＝0，解得x1＝－或x1＝0.

当x1＝0时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在．

当x1＝－时，过P1，P2分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.

由F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，知CP1⊥CP2.又|CP1|＝|CP2|，故圆C的半径|CP1|＝|P1P2|＝|x1|＝.

H5　椭圆及其几何性质

14．[2014·

安徽卷]设F1，F2分别是椭圆E：

x2＋＝1（0＜b＜1）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．

14．x2＋y2＝1　[解析]

设F1（－c，0），F2（c，0），其中c＝，

则可设A（c，b2），B（x0，y0），由|AF1|＝3|F1B|，

可得＝3，故即代入椭圆方程可得＋b2＝1，解得b2＝，故椭圆方程为x2＋＝1.

20．、[2014·

广东卷]已知椭圆C：

0）的一个焦点为（，0），离心率为.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．

湖北卷]已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（　　）

A.B.C．3D．2

9．A　[解析]设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，r1>

r2，椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2.则由椭圆、双曲线的定义，得r1＋r2＝2a1，r1－r2＝2a2，平方得4a＝r＋r＋2r1r2，4a＝r－2r1r2＋r.又由余弦定理得4c2＝r＋r－r1r2，消去r1r2，得a＋3a＝4c2，

即＋＝4.所以由柯西不等式得＝≤＝.

所以＋≤.故选A.

21．、、、[2014·

湖南卷]如图17，O为坐标原点，椭圆C1：

＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；

双曲线C2：

－＝1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2.已知e1e2＝，且|F2F4|＝－1.

（1）求C1，C2的方程；

（2）过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点．当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．

（1）因为e1e2＝，所以·

＝，即a4－b4＝a4，因此a2＝2b2，从而F2（b，0），

F4（b，0），于是b－b＝|F2F4|＝－1，所以b＝1，a2＝2.故C1，C2的方程分别为＋y2＝1，－y2＝1.

（2）因AB不垂直于y轴，且过点F1（－1，0），故可设直线AB的方程为x＝my－1，由得（m2＋2）y2－2my－1＝0.

易知此方程的判别式大于0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1，y2是上述方程的两个实根，所以y1＋y2＝，y1y2＝.

因此x1＋x2＝m（y1＋y2）－2＝，于是AB的中点为M，故直线PQ的斜率为－，PQ的方程为y＝－x，即mx＋2y＝0.

由得（2－m2）x2＝4，所以2－m2>

0，且x2＝，y2＝，从而|PQ|＝2＝2.设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，所以2d＝.因为点A，B在直线mx＋2y＝0的异侧，所以（mx1＋2y1）（mx2＋2y2）<

0，于是|mx1＋2y1|＋|mx2＋2y2|＝|mx1＋2y1－mx2－2y2|，从而2d＝.

又因为|y1－y2|＝＝，所以2d＝.

故四边形APBQ的面积S＝|PQ|·

2d＝＝2·

而0<

2－m2≤2，故当m＝0时，S取最小值2.

综上所述，四边形APBQ面积的最小值为2.

江西卷]过点M（1，1）作斜率为－的直线与椭圆C：

0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．

15.　[解析]设点A（x1，y1），点B（x2，y2），点M是线段AB的中点，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，且两式作差可得＝

，即＝，所以＝－，

即kAB＝－.由题意可知，直线AB的斜率为－，所以－＝－，即a＝b.又a2＝b2＋c2，

所以c＝b，e＝.

辽宁卷]已知椭圆C：

＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝______．

15．12　[解析]取MN的中点为G，点G在椭圆C上．设点M关于C的焦点F1的对称点为A，点M关于C的焦点F2的对称点为B，则有|GF1|＝|AN|，|GF2|＝|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2（|GF1|＋|GF2|）＝4a＝12.

辽宁卷]圆x2＋y2＝4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成—个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图16所示）．双曲线C1：

－＝1过点P且离心率为.

图16

（1）求C1的方程；

（2）椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点．若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程．

（1）设切点坐标为（x0，y0）（x0>

0，y0>

0），则切线斜率为－，切线方程为y－y0＝－（x－x0），即x0x＋y0y＝4，此时两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为，.故其围成的三角形的面积S＝·

＝.由x＋y＝4≥2x0y0知，当且仅当x0＝y0＝时x0y0有最大值2，此时S有最小值4，因此点P的坐标为（，）．

由题意知

解得a2＝1，b2＝2，故C1的方程为x2－＝1.

（2）由

（1）知C2的焦点坐标为（－，0），（，0），由此可设C2的方程为＋＝1，其中b1>

由P（，）在C2上，得＋＝1，

解得b＝3，

因此C2的方程为＋＝1.

显然，l不是直线y＝0.

设直线l的方程为x＝my＋，点A（x1，y1），B（x2，y2），

由得（m2＋2）y2＋2my－3＝0.

又y1，y2是方程的根，因此

②

由x1＝my1＋，x2＝my2＋，得

因为＝（－x1，－y1），＝（－x2，－y2），由题意知·

所以x1x2－（x1＋x2）＋y1y2－（y1＋y2）＋4＝0，⑤

将①②③④代入⑤式整理得

2m2－2m＋4－11＝0，

解得m＝－1或m＝－＋1.

因此直线l的方程为

x－（－1）y－＝0或x＋（－1）y－＝0.

6．[2014·

全国卷]已知椭圆C：

0）的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为（　　）

A.＋＝1B.＋y2＝1

C.＋＝1D.＋＝1

6．A　[解析]根据题意，因为△AF1B的周长为4，所以|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝4，所以a＝.又因为椭圆的离心率e＝＝，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1.

20．、、[2014·

新课标全国卷Ⅰ]已知点A（0，－2），椭圆E：

0）的离心率为，F是椭圆E的右焦