高中数学第2章函数24幂函数课时作业苏教版必修Word格式.docx
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|x|成立,则在α∈{-2,-1,0,1,2}的条件下,α可以取值的个数是________.
7.给出以下结论:
①当α=0时,函数y=xα的图象是一条直线;
②幂函数的图象都经过(0,0),(1,1)两点;
③若幂函数y=xα的图象关于原点对称,则y=xα在定义域内y随x的增大而增大;
④幂函数的图象不可能在第四象限,但可能在第二象限.
则正确结论的序号为________.
8.函数y=+x-1的定义域是________.
9.已知函数y=x-2m-3的图象过原点,则实数m的取值范围是____________________.
二、解答题
10.比较、、的大小,并说明理由.
11.如图,幂函数y=x3m-7(m∈N)的图象关于y轴对称,且与x轴、y轴均无交点,求此函数的解析式.
能力提升
12.已知函数f(x)=(m2+2m)·
,m为何值时,函数f(x)是:
(1)正比例函数;
(2)反比例函数;
(3)二次函数;
(4)幂函数.
13.点(
,2)在幂函数f(x)的图象上,点(-2,
)在幂函数g(x)的图象上,问当x为何值时,有:
(1)f(x)>
g(x);
(2)f(x)=g(x);
(3)f(x)<
g(x).
1.幂函数在第一象限内指数变化规律:
在第一象限内直线x=1的右侧,图象从上到下,相应的指数由大变小;
在直线x=1的左侧,图象从下到上,相应的指数由大变小.
2.求幂函数的定义域时要看指数的正负和指数
中的m是否为偶数;
判断幂函数的奇偶性时要看指数
中的m、n是奇数还是偶数.y=xα,当α=
(m、n∈N*,m、
n互质)时,有:
n
m
y=的奇偶性
定义域
奇数
偶数
非奇非偶函数
[0,+∞)
偶函数
(-∞,+∞)
奇函数
3.幂函数y=的单调性,在(0,+∞)上,
>
0时为增函数,
<
0时为减函数.
§
2.4 幂函数
知识梳理
1.y=xα 3.
(1)(1,1)
(2)(0,0),(1,1) 递增 下凸
(3)(1,1) 递减 (4)原点 y轴 (5)四
作业设计
1.①②④
解析 根据幂函数的定义:
形如y=xα的函数称为幂函数,③中自变量x的系数是2,不符合幂函数的定义,所以③不是幂函数.
2.
解析 设幂函数为y=xα,依题意,
=4α,
即22α=2-1,∴α=-
.
∴幂函数为y=,∴f(8)==
=
3.②
解析 y==
,∴x∈R,y≥0,f(-x)=
=f(x),即y=是偶函数,又∵
<
1,∴图象上凸.
4.2,
,-
,-2
解析 作直线x=t(t>
1)与各个图象相交,则交点自上而下的排列顺序恰好是按幂指数的降幂排列的.
5.a>
c>
b
解析 根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来,y=在x>
0时是增函数,所以a>
c,y=(
)x在x>
0时是减函数,所以c>
b.
6.2
解析 因为x∈(-1,0)∪(0,1),
所以0<
|x|<
1.
要使f(x)=xα>
|x|,xα在(-1,0)∪(0,1)上应大于0,
所以α=-1,1显然是不成立的.
当α=0时,f(x)=1>
|x|;
当α=2时,f(x)=x2=|x|2<
当α=-2时,f(x)=x-2=|x|-2>
1>
|x|.
综上,α的可能取值为0或-2,共2个.
7.④
解析 当α=0时,函数y=xα的定义域为{x|x≠0,x∈R},故①不正确;
当α<
0时,函数y=xα的图象不过(0,0)点,故②不正确;
幂函数y=x-1的图象关于原点对称,但其在定义域内不是增函数,故③不正确.④正确.
8.(0,+∞)
解析 y=的定义域是[0,+∞),y=x-1的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),再取交集.
9.m<
-
解析 由幂函数的性质知-2m-3>
0,
故m<
10.解 考查函数y=1.1x,∵1.1>
1,
∴它在(0,+∞)上是增函数.
又∵
>
,∴>
再考查函数y=,∵
又∵1.4>
1.1,∴>
,
∴>
11.解 由题意,得3m-7<
0.
∴m<
∵m∈N,∴m=0,1或2,
∵幂函数的图象关于y轴对称,
∴3m-7为偶数.
∵m=0时,3m-7=-7,
m=1时,3m-7=-4,
m=2时,3m-7=-1.
故当m=1时,y=x-4符合题意.即y=x-4.
12.解
(1)若f(x)为正比例函数,则
⇒m=1.
(2)若f(x)为反比例函数,
则
⇒m=-1.
(3)若f(x)为二次函数,则
⇒m=
(4)若f(x)为幂函数,则m2+2m=1,
∴m=-1±
13.解 设f(x)=xα,则由题意,得
2=(
)α,∴α=2,即f(x)=x2.
设g(x)=xβ,由题意,得
=(-2)β,
∴β=-2,即g(x)=x-2.
在同一平面直角坐标系中作出f(x)与g(x)的图象,如图所示.
由图象可知:
(1)当x>
1或x<
-1时,
f(x)>
(2)当x=±
1时,f(x)=g(x);
(3)当-1<
x<
1且x≠0时,
f(x)<
2019-2020年高中数学第2章函数2.5.1函数的零点课时作业苏教版必修
课时目标 1.能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数,理解二次函数的图象与x轴的交点和相应的一元二次方程根的关系.2.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的联系.3.掌握函数零点的存在性定理.
1.函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点和相应的ax2+bx+c=0(a≠0)的根的关系
函数图象
判别式
Δ>
Δ=0
Δ<
与x轴交
点个数
方程的根
无解
一般地,我们把使函数y=f(x)的值为0的实数x称为函数y=f(x)的______.
3.函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的________,也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的______.
4.方程f(x)=0有实数根
⇔函数y=f(x)的图象与x轴有______
⇔函数y=f(x)有______.
函数零点的存在性的判断方法
若函数f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线,且f(a)·
f(b)<
0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点.
1.二次函数y=ax2+bx+c中,a·
c<
0,则函数的零点个数是________.
2.若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象为一条连续不断的曲线,则下列说法不正确的是________.(填序号)
①若f(a)f(b)>
0,不存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0;
②若f(a)f(b)<
0,存在且只存在一个实数c∈(a,b)使得f(c)=0;
③若f(a)f(b)>
0,有可能存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0;
④若f(a)f(b)<
0,有可能不存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0.
3.若函数f(x)=ax+b(a≠0)有一个零点为2,那么函数g(x)=bx2-ax的零点是________.
4.已知函数y=f(x)是偶函数,其部分图象如图所示,则这个函数的零点至少有________个.
5.函数f(x)=
零点的个数为________.
6.已知函数y=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则实数b的取值范围是________.
7.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,-2是它的一个零点,且在(0,+∞)上是增函数,则该函数有______个零点,这几个零点的和等于______.
8.函数f(x)=lnx-x+2的零点个数为________.
9.根据表格中的数据,可以判定方程ex-x-2=0的一个实根所在的区间为(k,k+1)(k∈N),则k的值为________.
x
-1
1
2
3
ex
0.37
2.72
7.39
20.09
x+2
4
5
10.证明:
方程x4-4x-2=0在区间[-1,2]内至少有两个实数解.
11.关于x的方程mx2+2(m+3)x+2m+14=0有两实根,且一个大于4,一个小于4,求m的取值范围.
12.设函数f(x)=
若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则方程f(x)=x的解的个数是_______________________.
13.若方程x2+(k-2)x+2k-1=0的两根中,一根在0和1之间,另一根在1和2之间,求k的取值范围.
1.方程的根与方程所对应函数的零点的关系
(1)函数的零点是一个实数,当自变量取该值时,其函数值等于零.
(2)根据函数零点定义可知,函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的根,因此判断一个函数是否有零点,有几个零点,就是判断方程f(x)=0是否有实根,有几个实根.
(3)函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的实数根,也就是函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象交点的横坐标.
2.并不是所有的函数都有零点,如函数y=
3.对于任意的一个函数,即使它的图象是连续不断的,当它通过零点时,函数值也不一定变号.如函数y=x2有零点x0=0,但显然当它通过零点时函数值没有变号.
2.5 函数与方程
2.5.1 函数的零点
1.2个 1个 0个 2个 1个 2.零点 3.实数根 横坐标
4.交点 零点
1.2个
解析 方程ax2+bx+c=0中,∵ac<
0,∴a≠0,
∴Δ=b2-4ac>
即方程ax2+bx+c=0有2个不同实数根,
则对应函数的零点个数为2个.
2.①②④
解析 对于①,可能存在根;
对于②,必存在但不一定唯一;
④显然不成立.
3.0,-
解析 ∵a≠0,2a+b=0,
∴b≠0,
=-
令bx2-ax=0,得x=0或x=
4.4
解析 由图象可知,当x>
0时,函数至少有2个零点,因为偶函数的图象关于y轴对称,故此函数的零点至少有4个.
5.2
解析 x≤0时,令x2+2x-3=0,解得x=-3.
x>
0时,f(x)=lnx-2在(0,+∞)上递增,
f
(1)=-2<
0,f(e3)=1>
0,∴f
(1)f(e3)<
∴f(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点.
综上,f(x)在R上有2个零点.
6.(-∞,0)
解析 设f(x)=ax3+bx2+cx+d,则由f(0)=0可得d=0,f(x)=x(ax2+bx+c)=ax(x-1)(x-2)⇒b=-3a,又由x∈(0,1)时f(x)>
0,可得a>
0,∴b<
7.3 0
解析 ∵f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=0,又∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,由奇函数的对称性可知,f(x)在(-∞,0)上也单调递增,由f
(2)=-f(-2)=0.因此在(0,+∞)上只有一个零点,综上f(x)在R上共有3个零点,其和为-2+0+2=0.
8.2
解析 该函数零点的个数就是函数y=lnx与y=x-2图象的交点个数.在同一坐标系中作出y=lnx与y=x-2的图象如下图:
由图象可知,两个函数图象有2个交点,即函数f(x)=lnx-x+2有2个零点.
9.1
解析 设f(x)=e2-(x+2),由题意知f(-1)<
0,f(0)<
0,f
(1)<
0,f
(2)>
0,所以方程的一个实根在区间(1,2)内,即k=1.
10.证明 设f(x)=x4-4x-2,其图象是连续曲线.
因为f(-1)=3>
0,f(0)=-2<
0,f
(2)=6>
所以在(-1,0),(0,2)内都有实数解.
从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解.
11.解 令f(x)=mx2+2(m+3)x+2m+14.
依题意得
或
即
,解得-
m<
12.3
解析 由已知
得
∴f(x)=
当x≤0时,方程为x2+4x+2=x,
即x2+3x+2=0,
∴x=-1或x=-2;
当x>
0时,方程为x=2,
∴方程f(x)=x有3个解.
13.解 设f(x)=x2+(k-2)x+2k-1.
∵方程f(x)=0的两根中,一根在(0,1)内,一根在(1,2)内,
∴
,即
k<
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