中考专题相似三角形.doc
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2018中考数学专题相似形
(共40题)
1.如图,△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,点P为射线BD,CE的交点.
(1)求证:
BD=CE;
(2)若AB=2,AD=1,把△ADE绕点A旋转,当∠EAC=90°时,求PB的长;
2.如图,直角△ABC中,∠BAC=90°,D在BC上,连接AD,作BF⊥AD分别交AD于E,AC于F.
(1)如图1,若BD=BA,求证:
△ABE≌△DBE;
(2)如图2,若BD=4DC,取AB的中点G,连接CG交AD于M,求证:
①GM=2MC;②AG2=AF•AC.
3.如图,在锐角三角形ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F,∠EAF=∠GAC.
(1)求证:
△ADE∽△ABC;
(2)若AD=3,AB=5,求的值.
4.如图,点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点,连结DE,过顶点B作BF⊥DE,垂足为F,BF分别交AC于H,交CD于G.
(1)求证:
BG=DE;
(2)若点G为CD的中点,求的值.
5.
(1)如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,AE⊥BF于点M,求证:
AE=BF;
(2)如图2,将
(1)中的正方形ABCD改为矩形ABCD,AB=2,BC=3,AE⊥BF于点M,探究AE与BF的数量关系,并证明你的结论.
6.如图,四边形ABCD中,AB=AC=AD,AC平分∠BAD,点P是AC延长线上一点,且PD⊥AD.
(1)证明:
∠BDC=∠PDC;
(2)若AC与BD相交于点E,AB=1,CE:
CP=2:
3,求AE的长.
7.△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90°,△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合,将△DEF绕点E旋转,旋转过程中,线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q.
(1)如图①,当点Q在线段AC上,且AP=AQ时,求证:
△BPE≌△CQE;
(2)如图②,当点Q在线段CA的延长线上时,求证:
△BPE∽△CEQ;并求当BP=2,CQ=9时BC的长.
8.如图,在矩形ABCD中,E为AB边上一点,EC平分∠DEB,F为CE的中点,连接AF,BF,过点E作EH∥BC分别交AF,CD于G,H两点.
(1)求证:
DE=DC;
(2)求证:
AF⊥BF;
(3)当AF•GF=28时,请直接写出CE的长.
9.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,过点B的直线MN∥AC,D为BC边上一点,连接AD,作DE⊥AD交MN于点E,连接AE.
(1)如图1,当∠ABC=45°时,求证:
AD=DE;
(2)如图2,当∠ABC=30°时,线段AD与DE有何数量关系?
并请说明理由.
10.如图1,边长为2的正方形ABCD中,E是BA延长线上一点,且AE=AB,点P从点D出发,以每秒1个单位长度沿D→C→B向终点B运动,直线EP交AD于点F,过点F作直线FG⊥DE于点G,交AB于点R.
(1)求证:
AF=AR;
(2)设点P运动的时间为t,
①求当t为何值时,四边形PRBC是矩形?
②如图2,连接PB.请直接写出使△PRB是等腰三角形时t的值.
11.如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,延长CB至点F,使CF=CA,连接AF,∠ACF的平分线分别交AF,AB,BD于点E,N,M,连接EO.
(1)已知BD=,求正方形ABCD的边长;
(2)猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明.
12.将两块全等的三角板如图1摆放,其中∠A1CB1=∠ACB=90°,∠A1=∠A=30°.
(1)将图1中△A1B1C绕点C顺时针旋转45°得图2,点P1是A1C与AB的交点,点Q是A1B1与BC的交点,求证:
CP1=CQ;
(2)在图2中,若AP1=a,则CQ等于多少?
(3)将图2中△A1B1C绕点C顺时针旋转到△A2B2C(如图3),点P2是A2C与AP1的交点.当旋转角为多少度时,有△AP1C∽△CP1P2?
这时线段CP1与P1P2之间存在一个怎样的数量关系?
.
13.把Rt△ABC和Rt△DEF按如图
(1)摆放(点C与E重合),点B、C(E)、F在同一条直线上.已知:
∠ACB=∠EDF=90°,∠DEF=45°,AC=8cm,BC=6cm,EF=10cm.如图
(2),△DEF从图
(1)的位置出发,以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动,在△DEF移动的同时,点P从△ABC的顶点A出发,以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动;当点P移动到点B时,点P停止移动,△DEF也随之停止移动.DE与AC交于点Q,连接PQ,设移动时间为t(s).
(1)用含t的代数式表示线段AP和AQ的长,并写出t的取值范围;
(2)连接PE,设四边形APEQ的面积为y(cm2),试探究y的最大值;
(3)当t为何值时,△APQ是等腰三角形.
14.△ABC,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,一条直线DE与边AC相交于点D,与边AB相交于点E.
(1)如图①,若DE将△ABC分成周长相等的两部分,则AD+AE等于多少;(用a、b、c表示)
(2)如图②,若AC=3,AB=5,BC=4.DE将△ABC分成周长、面积相等的两部分,求AD;
(3)如图③,若DE将△ABC分成周长、面积相等的两部分,且DE∥BC,则a、b、c满足什么关系?
15.已知:
如图,四边形ABCD是正方形,∠PAQ=45°,将∠PAQ绕着正方形的顶点A旋转,使它与正方形ABCD的两个外角∠EBC和∠FDC的平分线分别交于点M和N,连接MN.
(1)求证:
△ABM∽△NDA;
(2)连接BD,当∠BAM的度数为多少时,四边形BMND为矩形,并加以证明.
16.如图,在锐角△ABC中,D,E分别为AB,BC中点,F为AC上一点,且∠AFE=∠A,DM∥EF交AC于点M.
(1)点G在BE上,且∠BDG=∠C,求证:
DG•CF=DM•EG;
(2)在图中,取CE上一点H,使∠CFH=∠B,若BG=1,求EH的长.
17.△ABC中,AB=AC,点D、E、F分别在BC、AB、AC上,∠EDF=∠B.
(1)如图1,求证:
DE•CD=DF•BE
(2)D为BC中点如图2,连接EF.
①求证:
ED平分∠BEF;
②若四边形AEDF为菱形,求∠BAC的度数及的值.
18.如图,在△ABC中,点P是AC边上的一点,过点P作与BC平行的直线PQ,交AB于点Q,点D在线段BC上,联接AD交线段PQ于点E,且=,点G在BC延长线上,∠ACG的平分线交直线PQ于点F.
(1)求证:
PC=PE;
(2)当P是边AC的中点时,求证:
四边形AECF是矩形.
19.如图,已知△ABC中,AC=BC,点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点,BF、ED的延长线交于点G,连接GC.
(1)求证:
AB=GD;
(2)如图2,当CG=EG时,求的值.
20.如图,在△ABC中,D、E分别为AB、AC上的点,线段BE、CD相交于点O,且∠DCB=∠EBC=∠A.
(1)求证:
△BOD∽△BAE;
(2)求证:
BD=CE;
(3)若M、N分别是BE、CE的中点,过MN的直线交AB于P,交AC于Q,线段AP、AQ相等吗?
为什么?
21.如图,在矩形ABCD和矩形PEFG中,AB=8,BC=6,PE=2,PG=4.PE与AC交于点M,EF与AC交于点N,动点P从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动,伴随点P的运动,矩形PEFG在射线AB上滑动;动点K从点P出发沿折线PE﹣﹣EF以每秒1个单位长的速度匀速运动.点P、K同时开始运动,当点K到达点F时停止运动,点P也随之停止.设点P、K运动的时间是t秒(t>0).
(1)当t=1时,KE= ,EN= ;
(2)当t为何值时,△APM的面积与△MNE的面积相等?
(3)当点K到达点N时,求出t的值;
(4)当t为何值时,△PKB是直角三角形?
22.如图
(1),在△ABC中,AD是BC边的中线,过A点作AE∥BC与过D点作DE∥AB交于点E,连接CE.
(1)求证:
四边形ADCE是平行四边形.
(2)连接BE,AC分别与BE、DE交于点F、G,如图
(2),若AC=6,求FG的长.
23.已知:
在正方形ABCD中,点E、F分别是CB、CD延长线上的点,且BE=DF,联结AE、AF、DE、DE交AB于点M.
(1)如图1,当E、A、F在一直线上时,求证:
点M为ED中点;
(2)如图2,当AF∥ED,求证:
AM2=AB•BM.
24.已知,如图1,点D、E分别在AB,AC上,且=.
(1)求证:
DE∥BC.
(2)已知,如图2,在△ABC中,点D为边AC上任意一点,连结BD,取BD中点E,连结CE并延长CE交边AB于点F,求证:
=.
(3)在
(2)的条件下,若AB=AC,AF=CD,求的值.
25.已知△ABC,AC=BC,点E,F在直线AB上,∠ECF=∠A.
(1)如图1,点E,F在AB上时,求证:
AC2=AF•BE;
(2)如图2,点E,F在AB及其延长线上,∠A=60°,AB=4,BE=3,求BF的长.
26.如图,正方形ABCD,∠EAF=45°.交BC、CD于E、F,交BD于H、G.
(1)求证:
AD2=BG•DH;
(2)求证:
CE=DG;
(3)求证:
EF=HG.
27.如图,C为线段BD上一动点,过B、D分别作BD的垂线,使AB=BC,DE=DB,连接AD、AC、BE,过B作AD的垂线,垂足为F,连接CE、EF.
(1)求证:
AC•DF=BF•BD;
(2)点C运动的过程中,∠CFE的度数保持不变,求出这个度数;
(3)当点C运动到什么位置时,CE∥BF?
并说明理由.
28.如图,在△ABC中,点D在边AB上(不与A,B重合),DE∥BC交AC于点E,将△ADE沿直线DE翻折,得到△A′DE,直线DA′,EA′分别交直线BC于点M,N.
(1)求证:
DB=DM.
(2)若=2,DE=6,求线段MN的长.
(3)若=n(n≠1),DE=a,则线段MN的长为 (用含n的代数式表示).
29.如图,已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形,点E在线段DC上,点A、D、G在同一直线上,且AD=3,DE=1,连接AC、CG、AE,并延长AE交OG于点H.
(1)求证:
∠DAE=∠DCG.
(2)求线段HE的长.
30.如图,△ABC中,点E、F分别在边AB,AC上,BF与CE相交于点P,且∠1=∠2=∠A.
(1)如图1,若AB=AC,求证:
BE=CF;
(2)若图2,若AB≠AC,
①
(1)中的结论是否成立?
请给出你的判断并说明理由;
②求证:
=.
31.如图1,在锐角△ABC中,D、E分别是AB、BC的中点,点F在AC上,且满足∠AFE=∠A,DM∥EF交AC于点M.
(1)证明:
DM=DA;
(2)点G在BE上,且∠BDG=∠C,如图2,求证:
△DEG∽△ECF;
(3)在图2中,取CE上一点H,使得∠CFH=∠B,若BG=5,求EH的长.
32.如图,正方形ABCD中,边长为12,DE⊥DC交AB于点E,DF平分∠EDC交BC于点F,连接EF.
(1)求证:
EF=CF;
(2)当=时,求EF的长.
33.如图,已知在△ABC中,P为边AB上一点,连接CP,M为CP的中点,连接BM并延长,交AC于点D,N为AP的中点,连接MN.若∠ACP=∠ABD.
(1)求证:
AC•MN=BN•AP;
(2)若AB=3,AC=2,求AP的长.
34.如图,已知AC、EC分别为四
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