初二不等式与方程问题Word下载.docx
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的解集是空集(大大、小小题无解).
3、不等式(组)的应用
会列一元一次不等式(组)解决实际问题,其步骤是:
(1)找出实际问题的不等关系,设定未知数,列出不等式(组);
(2)解不等式(组);
(3)从不等式(组)的解集中求出符合题意的答案.
二、典例剖析
例1、
(1)已知不等式3x-a≤0的正整数解恰是1,2,3,则a的取值范围是________.
(2)已知关于x的不等式组
无解,则a的取值范围是________.
说明:
确定不等式(组)中参数的取值或范围常用的方法有:
(1)逆用不等式(组)解集确定;
(2)分类讨论确定;
(3)借助数轴确定.
例2、解下列关于x的不等式(组).
(1)|x-2|≤2x-10;
(2)(2mx+3)-n<3x.
分析:
对于
(1)确定“零界点”x=2(令x-2=0得x=2)分x≥2和x<2,去掉绝对值后求出不等式的解集;
对于
(2),化为ax<b的形式,再就a的正负性讨论.
说明:
涉及未知系数或绝对值式子的题目,均可用零点分段讨论法解答.
例3、已知3a+2b-6=ac+4b-8=0且a≥b>0求c的取值范围.
消去a,b得到关于c的不等式组,解不等式组得c的取值范围.
已知不等式组的解集,求某些字母的值(或范围)是不等式组解集确定方法的逆向应用,处理这类问题时,可先求出原不等式组含有字母的解集,然后对照已知“对号入座”,应取有针对性的方法.
例6、东风商场文具部的某种毛笔每枝售价25元,书法练习本每本售价5元,该商场为促销制定了两种优惠方法:
甲:
买一支毛笔就赠送一本书法练习本;
乙:
按购买金额打九折付款.
某校欲为校书法兴趣小组购买这种毛笔10支,书法练习本x(x≥10)本.
(1)写出每种优惠办法实际付款金额y甲(元)、y乙(元)与x(本)之间的关系式;
(2)比较购买同样多的书法练习本时,按哪种优惠办法付款更省钱;
(3)如果商场允许可以任意选择一种优惠办法购买,也可以同时用两种优惠办法购买,请你就购买这种毛笔10支和书法练习本60本设计一种更省钱的购买方案.
例7、我市某化工厂现有甲种原料290kg,乙种原料212kg,计划利用这两种原料生产A、B两种产品共80件,生产一件A产品需要甲种原料5kg,乙种原料1.5kg,生产成本是120元;
生产一件B产品,需要甲种原料2.5kg,乙种原料3.5kg,生产成本是200元.
(1)该化工厂现有的原料能否保证生产?
若能的话,有几种生产方案?
请你设计出来.
(2)设生产A、B两种产品的总成本为y元,其中一种生产的件数为x,试写出y与x之间的关系式,并利用关系式说明
(1)中哪种生产方案总成本最低?
最低生产总成本是多少?
若设安排生产A种产品x件,根据题意可建立关于x的不等式组,解出不等式组得x的取值范围.由x为整数在取值范围内确定x的取值,从而得出生产方案,然后由成本的已知条件求出x与y之间的关系式,根据此关系式求出最低生产总成本.
利用列不等式组然后求出不等式组的集,在其解集内求出符合条件(一般是整数)的值,是解方案设计型应用题的常用方法.
方程与方程组
1、等式和方程的有关概念、等式的基本性质.
2、一元一次方程的解法及最简方程ax=b解的三种情况.
(1)解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项和将未知数的系数化为1.
(2)最简方程ax=b的解有以下三种情况:
①当a≠0时,方程有唯一解
;
②当a=0,b≠0时,方程无解.
③当a=0,b=0时,方程有无穷多解.
3、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)
其解法主要有:
直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法.
4、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是:
注意:
求根公式成立的条件为:
①a≠0;
②b2-4ac≥0.
5、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是△=b2-4ac.当△>0时,方程有两个不相等的实数根.
当△=0时,方程有两个相等的实数根,即
当△<0时,方程没有实根,反之成立.
6、若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,则
7、以两数α、β为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(α+β)x+αβ=0.
8、解一次方程组的基本思想是消元,常用的消元方法是加减消元法和代入消元法.
9、解简单的二元二次方程组的基本思想是“消元”与“降次”.①若方程组中有一个是一次方程,则一般用代入消元法求解;
②若方程组中有能分解成两个一次方程的方程,则一般用“分解降次”的方法将原方程组化为两个或四个方程组求解.
10、简单的分式方程组的解法,一般是用去分母或换元法将其转化为整式方程组求解,并要验解.
11、方程组的解的存在性问题,一般转化为方程的解的存在性问题来研究.
点评:
灵活解一元一次方程时常用到以下方法技巧.
(1)若括号内有分数时,则由外向内先去括号,再去分母;
(2)若有多重括号,则去括号与合并同类项交替进行;
(3)恰当用整体思想.
例2、解下列关于x的方程.
(1)4x+b=ax-8(a≠4)
(2)mx-1=nx(3)
把方程化为一般形式后,再对每个方程中字母系数可能取值的情况进行讨论.
例4、已知m是整数,方程组
有整数解,求m的值.
先求出y,运用整除的性质求出m的值,需注意所求的整数m要使得x也为整数.
例5、已知关于x的一元二次方程
有两个不等的实数根.
(1)求m的取值范围;
例7、解下列方程
(2)3x2+x-7=0
对于
(1)首先应回避复杂的小数运算,注意此时只运用分数的基本性质而未用到等式有关性质.
对于
(2)此方程用分解因式法难以行通,故考虑用求根公式.
例8、如果关于x的一元二次方程kx2-2(k+2)x+k+5=0没有实根,试说明关于x的方程(k-5)x2-2(k+2)x+k=0必有实数根.
由一元二次方程kx2-2(k+2)x+k+5=0没有实数根,可以得出k≠0,b2-4ac<0,从而求出k的取值范围,再由k的取值范围来说明(k-5)x2-2(k+2)x+k=0必有实数根.
(1)方程“有实数根”与“有两个实数根”有着质的区别.方程“有实数根”表示方程可能为一元一次方程,此时方程有一实数根,方程也可能为一元二次方程,此时方程有两个实数根,而方程“有两个实数根”,则表示此时方程一定为一元二次方程.
构造一元二次方程是解题的常用技巧,构造的主要方法有:
(1)当已知等式具有相同的结构,就可以把两个变元看成关于某个字母的一元二次方程;
(2)对于含有多个变元的等式,可以将等式整理为关于某个字母的一元二次方程.
分式方程
1、分式方程:
分母中含有未知数的有理方程叫分式方程.
2、解分式方程的基本思想方法是:
3、解分式方程必须验根.
二、典型例题剖析
例1、解方程
.
根据解分式方程的一般步骤来解此题.
用换元法解这些分式方程.
例3、当m为何值时,关于x的方程
无实根?
先将分式方程化为整式方程,如果整式方程有实根,那么这些根均是原方程的增根,这样x=0或x=1是所得整式方程的根,如果整式方程无实根,那么原方程也无实根.
例4、若方程
有增根,试求m的值.
分式方程将会产生增根,即最简公分母x2-4=0,故方程产生增根有两种可能:
x1=2,x2=-2.由增根的定义知:
x1=2,x2=-2是原分式方程去分母化成整式方程的根,由根的定义即可求出m的值.
(1)增根的求法:
令最简公分母为0;
(2)求有增根的方程中参数的值,应先求出可能的增根,再将其代入化简后的整式方程即可.
例5、已知a2-a-1=0且
求x的值.
为求x的值,须将x与a2分离,联想到分式的基本性质,从而原等式含
,这样应从条件出发构造倒数关系.
列方程解应用题
、知识要点概述
1、列方程(组)解应用题的一般步骤.
审题,设未知数,找出相等关系,布列方程(组),解方程(组),检验作答,其中找出相等关系,布列方程(组)是关键,而如何设未知数又是至关重要的开端.
2、几种常见应用题型的基本等量关系及解题策略.
(1)和、差、倍、分的有关问题.
涉及和、差、倍、分问题,一般可直接列出方程.但需要抓住关键词:
大、小、多、少、增加、减小、几倍、几分之几、几折优惠等.
如:
将若干支铅笔分给几个同学,若每人5支,还剩3支,若每人7支,还差5支,问有学生几人?
铅笔几支?
(2)等积(面积、体积)问题
涉及等积问题,应依变形前后体(面)积不变建立等式关系,但需注意单位的统一.
如要用截面积为48mm2的圆钢条锻造成长、宽、高分别为25mm、8mm、15mm的长方体钢坯,需要这种圆钢条多少米?
(3)商品利润问题:
商品利润=商品售价-商品进价
(4)浓度问题:
溶液质量=溶质质量+溶剂质量
(5)工程问题:
工程问题中通常把工作量看做“1”
工作效率×
工作时间=工作量
(6)行程问题(又分三类)
a.相遇(包括环形相遇)问题:
两运动物体所走过的路程等于全程(或圈长).
b.追及问题:
分路程相同、时间不同的追及问题和时间相同、路程不同的追及问题,常可画行程示意图帮助分析题意,若甲为快者,则被追路程=甲走的路程-乙走的路程.
c.时针问题:
注意一圈为60分格则分针速度为1分格/分钟:
时针速度为
分格/分钟.时间×
速度=路程.
(7)航行(或飞行)问题
这类问题要注意航行速度与水(风)速的关系
顺水速度=静水速度+水速
逆水速度=静水速度-水速
(8)数字问题
n位数
(9)增长率问题:
(10)投资利润问题:
投资总额×
投资利率=投资利润
例1、某市为了进一步缓解交通拥堵现象,决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路,为使工程能提前3个月完成,需要将原定的工作效率提高12%,问原计划完成这项工程用多少个月?
分式应用题一定不能忽视两个检验.
(1)验根;
(2)验题意.
例2、有浓度为60%和30%的两种硫酸若干,现在要配制成浓度为50%的硫酸3000千克,问两种硫酸各取多少千克?
浓度问题一般抓住配制前后溶质不变的关系来列方程,一般用列表法来分析数量关系.
例3、某商店将彩电按原价提40%进行标价,然后在广告中写上“八折优惠销售”结果每台彩电比原价多赚了270元,彩电原价是多少?
对这种明优惠、暗提价的经销问题关键是区分清楚标价、优惠价及原价之间的关系.
例4、某公司存入银行甲、乙两种不同年利率的存款共20万元,甲种存款的年利率为1.4%,乙种存款的年利率为3.7%,该公司一年共得利息6250元,求甲、乙两种存款各为多少万元?
利率问题是中考命题的热点问题,应弄清存款本金、利率、存期及利息之间的关系:
利息=本金×
利率×
期数.
例5、A、B两汽车站,每隔相同的时间相向发出一辆汽车,A、B之间有一骑自行车的人,发现每隔4分钟迎面开过来一辆汽车,而每隔12分钟有一辆汽车从后面开来并超过他,若人与汽车的速度始终是匀速的,问A、B两站每隔几分钟各发一次车?
行程问题也是一类重要的应用题,解题时,一定要透彻理解题意,本题中“每隔4分钟迎面开过来一辆汽车”相当于“骑车人和汽车相向而行4分钟相遇”,而“每隔12分钟有一辆汽车从后面开过来并超过他”相当于汽车与自行车同向而行,12分钟汽车追上自行车”.
例6、某三位数除以它各数位上数字的和的9倍得到的商为3,已知百位上的数字与个位数字的和比十位上的数字大1,如果把数位上的数字顺序颠倒,则所得的新数比原数大99,试求这个三位数.
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- 初二 不等式 方程 问题