中考数学专题复习圆来如此简单经典几何模型之隐圆专题含答案.docx

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中考数学专题复习圆来如此简单经典几何模型之隐圆专题含答案

“中考数学专题复习圆来如此简单”经典几何模型之隐圆专题（含答案）

经典几何模型之隐圆”“圆来如此简单”

一.名称由来

在中考数学中，有一类高频率考题，几乎每年各地都会出现，明明图形中没有出现“圆”，但是解题中必须用到“圆”的知识点，像这样的题我们称之为“隐圆模型”。

正所谓：

有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相逢。

“隐圆模型”的题的关键突破口就在于能否看出这个“隐藏的圆”。

一旦“圆”形毕露，则答案手到擒来！

二.模型建立

【模型一：

定弦定角】

【模型二：

动点到定点定长（通俗讲究是一个动的点到一个固定的点的距离不变）】

【模型三：

直角所对的是直径】

【模型四：

四点共圆】

三．模型基本类型图形解读

【模型一：

定弦定角的“前世今生”】

【模型二：

动点到定点定长】

【模型三：

直角所对的是直径】

【模型四：

四点共圆】

四．“隐圆”破解策略

牢记口诀：

定点定长走圆周，定线定角跑双弧。

直角必有外接圆，对角互补也共圆。

五．“隐圆”题型知识储备

六．“隐圆”典型例题

【模型一：

定弦定角】

1.（2017威海）如图1，△ABC为等边三角形，AB=2，若P为△ABC内一动点，且满足

∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为_。

简答：

因为∠PAB=∠PCA，∠PAB+∠PAC=60°，所以∠PAC+∠PCA=60°，即∠APC=120°。

因为AC定长、∠APC=120°定角，故满足“定弦定角模型”，P在圆上，圆周角∠APC=120°，通过简单推导可知圆心角∠AOC=60°，故以AC为边向下作等边△AOC，以O为圆心，OA为半径作⊙O，P在⊙O上。

当B、P、O三点共线时，BP最短（知识储备一：

点圆距离），

此时BP=2-2

2.如图1所示，边长为2的等边△ABC的原点A在x轴的正半轴上移动，∠BOD=30°，顶点A在射线OD上移动，则顶点C到原点O的最大距离为。

简答：

因为∠AOB=30°（定角），AB=2（定弦），故A、B、O三点共圆，圆心角为60°，故以AB为边向O方向作等边△ABQ，∠AQB=60°为圆心角，Q为圆心，以QA为半径作

⊙Q（如图2），由知识储备二可知当OC⊥AB时，OC距离最大，

OC=OQ+QH+HC=2++

=2+2

【思考：

若∠BOD=45°呢（

提示：

需要构造倍角

模型）】

3.如图1，点A是直线y=-x上的一个动点，点B是x轴上的动点，若AB=2，则△AOB面积最大值为（）

A.2B.+1

C.

-1

D.

2

简答：

因为AB=2（定弦），∠AOB=135°（定角），因为∠AOB是圆周角，故圆心角为90°，以AB为斜边向上方作等腰直角△QAB，则Q为圆心（如图2），由“知识储备二”可知，当OQ⊥AB时，此时△OAB的高OH最大，面积最大。

面积为

1AB∙OH=1∙2∙（2-1）=

22

2-1，所以此题选择B。

同学：

老师，你说错答案了，选C。

小段老师：

没错啊，就选B啊。

同学：

你是老师，你说了算，你开心就好...

小段老师：

题目有告诉你们A、B在哪里吗，为什么想当然觉得∠AOB=135°呢，难道不可能等于45°吗？

如图3，构建⊙Q，由“知识储备二”可知当OQ⊥AB时，此时△OAB的

面积最大为1AB∙OH=1∙2∙（2+1）=

22

2+1，故答案选B

4.如图1，AC为边长为2的菱形ABCD的对角线，∠ABC=60°，点M、N分别从点B、

C同时出发，以相同速度沿BC、CA向终点C和A运动，连接AM和BN，求△APB周长的最大值

简答：

如图2，由M、N点速度相同可知BM=CN，易证△ABM≌△BCN，故∠NBC=∠BAM

（如图2），又因为∠NBC+∠ABN=60°，所以∠BAM+∠ABN=∠APN=60°（外角性质），所以∠APB=120°（定角），又因为AB长度固定（定弦），故以AB为底向左侧构建等腰△QAB，∠AQB=120°，则P在⊙Q上，由“知识储备三”可知，当△ABP是等腰三角形时，

△ABP周长最短。

又由△APB是定角为120°的等腰三角形，故AP:

BP:

AB=1:

1:

，

AB=AC=2

，故PB=PA=2，故△ABP的周长最大值为4+2

【模型二：

动点到定点定长】

1.如图1，四边形ABCD中，AB=AC=AD,若∠CAD=76°，则∠CBD=度。

简答：

如图2，因为AB=AC=AD，故B、C、D三点在以A为圆心的圆上，故∠CBD=1∠

2

CAD=38°

2.如图，在△ABC内有一点D，使得DA=DB=DC，若∠DAB=20°，则∠ACB=。

简答：

如图2，因为DA=DB=DC，故A、B、C三点在⊙D上，∠DAB=∠DBA=20°，故∠

ADB=140°，故∠ACB=1∠ADB=70°

2

3.如图1，已知四边形ABCD中，AB∥CD，AB=AC=AD=5，BC=6，求BD

简答：

因为∠1=∠2，AD∥BC，故∠3=∠1，∠4=∠2，故易证△AEB≌△ACD，故EB=CD=6，ED=2AD=10，故BD=8

4.如图1，长2米的梯子AB竖直放在墙角，在沿着墙角缓慢下滑直至水平地面过程中，梯子AB的中点P的移动轨迹长度为？

5.

.

简答：

由斜边上的中点等于斜边的一半可知，OP=1，动点P到定点O的距离始终等于1，满足圆的定义（到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆），故P的运动轨迹是圆弧，圆心角为90°，轨迹长度为四分之一圆的长度，省略。

6.在矩形ABCD中，已知AB=2，BC=3，现有一根长为2的木棒EF紧贴着矩形的边（即

两个端点始终落在矩形的边上），接逆时针方向滑动一周，则木棒EF的中点P在运动过程中所围成的围形的面积为？

如图1如图2

简答：

由上一题可知，P的运动轨迹是圆弧，因为滑动一周，故有四个圆弧，则点P所围成的图形为中间的图形，用矩形的面积减去四个四分之一圆的面积即可，答案：

6-π

7.如图1，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E，F分别为AD、DC边上的点，且EF=2，G为EF的中点，P为BC边上一动点，则PA+PG的最小值为？

8.

如图1如图2

简单：

G的运动轨迹为圆，求AP+PG典型的“将军饮马”问题，故做A关于BC的对称点A＇，则AP+PG=A＇P+PG，当A＇、P、G三点共线时，最短，又因为A＇为固定点，G在圆上运动，由“知识储备一”可知当A＇、G、D三点共线时，此时A＇G最短，为4

9.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），B为y轴正半轴上的点，C为第一象限内的点，且AC=2.设tAN∠BOC=M，则M的取值范围为？

10.

简答：

因为AC=2，A是定点，通过圆的定义（到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆）可知，C在⊙A上运动，当OC与⊙A相切时，此时∠BOC最小，tAN∠BOC也最小，此

时∠BOC+∠AOC=∠AOC+∠CAO=90°，故∠BOC=∠CAO，此时tAN∠CAO=OC=5，

AC2

又因为角度越大，正切值越大，故tAN∠BOC=M≥5

2

11.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是？

12.

简答：

E是动点，导致EF、EC、EP都在变化，但是FP=FC=2不变，故P点到F点的距离永远等于2，故P在⊙F上运动，如图2。

由垂线段最短可知，FH⊥AB时，FH最短，当F、P、H三点共线时，PH最短，又因为△AFH∽△ABC，所以AF:

FH:

AH=5:

4:

3，又因为AF=5，故FH=4，又因为FP=2，故PH最短为2

13.如图，在□ABCD中，∠BCD＝30°，BC＝4，CD＝33，M是AD边的中点，N是

AB边上一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△PMN，连接PC，则PC长度的最小值是？

简答：

翻折过程中，MP=MA=2，故P在⊙M上运动，当M、P、C三点共线时，PC最短。

PC=MC-MP，要求MP需要过M作MH⊥CD于H，∠HDM=30°，故HM=1，HD=，

故HC=4，故易求MC=7，则PC=7-2=5

【模型三：

直角所对的是直径】

1.如图1，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且始终有

AP⊥BP，则线段CP长的最小值为？

简答：

如图2，因为AP⊥BP，∠P=90°（定角），AB=6（定弦），故P在以AB为直径的

⊙H上，当H、P、C三点共线时CP最短，HB=3，BC=4则HC=5，故CP=5-3=2

2.如图1，A（1,0）、B（3,0），以AB为直径作圆M，射线OF交圆M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为弦EF的中点，当射线绕O旋转时，CD的最小值为？

3.

简答：

因为D是EF中点，故MD⊥EF，故∠ODM始终等于90°，故D在以OM为直径的圆上，如图2。

易知A为圆心，当A、D、C三点共线时，CD最短，CD=AC-AD，又易

知C（2,1），故AC=，故CD=-1

4.在△ABC中,∠ABC=90,AB=6,BC=8,O为AC的中点,过O作OE⊥OF,OE、OF分别交

射线AB,BC于E、F，则EF的最小值为？

简答：

因为∠EOF=90°，∠C=90°，故C、O均在以EF为直径的圆上（也称四点共圆），因为EF是圆的直径，O、C均在圆上，且OC长度固定，要使得EF最短，则圆最小，要使圆最小，OC为固定长度，则OC为直径时，圆最小（此处比较难，思维量比较大，大家慢慢琢磨），此时CO=EF=OA=OB=5（斜边上中线等于斜边一半）

5.如图1，已知Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是边AB上的动点，Q是边BC上的动点，且∠CPQ＝90°，求线段CQ的取值范围．

简答：

以CQ为直径作⊙O，根据直径所对的圆周角是直角，若AB边上的动点P在圆上，

∠CPQ就为直角．当⊙O与AB相切时（如图2），直径CQ最小．由切线长定理，得AP＝

AC＝5，所以BP＝13―5＝8．再根据△BPO∽△BCA，所以OP＝10，CQ＝20．当点Q

33

与点B重合时（如图3），直径CQ最大，此时ＣＱ＝１２．综上所述，20≤CQ≤12

3

6.如图1，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动