图论习题及答案Word下载.docx

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ifv（i）>

=max（V_Left）

box_count=box_count+1;

x（i,box_count）=1;

V_Left=[V_LeftV-v（i）];

else

j=1;

while（v（i）>

V_Left（j））

j=j+1;

x（i,j）=1;

V_Left（j）=V_Left（j）-v（i）;

temp=find（x（i,:

）==1）;

fprintf（'

第%d个物品放在第%d个容器\n'

i,temp）

output:

第1个物品放在第1个容器

第2个物品放在第2个容器

第3个物品放在第1个容器

第4个物品放在第2个容器

第5个物品放在第2个容器

第6个物品放在第3个容器

解答三：

functionbox_count=FFD（x）

%降序首次适应算法

v=100;

x=fliplr（sort（x））;

%v=input（'

请输入箱子的容积:

'

n=length（x）;

I=ones（n）;

E=zeros（1,n）;

box=v*I;

box_count=0;

while（j<

=box_count）

ifx（i）>

box（j）

continue;

box（j）=box（j）-x（i）;

E（i）=j;

ifj>

box_count

box（box_count）=box（box_count）-x（i）;

disp（E）;

在命令窗口输入：

>

x=[60,45,35,20,20,20];

FFD（x）

121223

ans=

3

练习题5“超市大赢家”提供了50种商品作为奖品供中奖顾客选择,车的容量为1000dm3,奖品i占用的空间为widm3,价值为vi元,具体的数据如下:

vi={220,208,198,192,180,180,165,162,160,158,155,130,125,122,120,118,115,110,105,101,100,100,98,96,95,90,88,82,80,77,75,73,72,70,69,66,65,63,60,58,56,50,30,20,15,10,8,5,3,1}

wi={80,82,85,70,72,70,66,50,55,25,50,55,40,48,50,32,22,60,30,32,40,38,35,32,25,28,30,22,50,30,45,30,60,50,20,65,20,25,30,10,20,25,15,10,10,10,4,4,2,1}。

问如何装车才能总价值最大。

解答：

v=[220,208,198,192,180,180,165,162,160,158,155,130,125,122,120,118,115,110,105,101,100,100,98,96,95,90,88,82,80,77,75,73,72,70,69,66,65,63,60,58,56,50,30,20,15,10,8,5,3,1];

w=[80,82,85,70,72,70,66,50,55,25,50,55,40,48,50,32,22,60,30,32,40,38,35,32,25,28,30,22,50,30,45,30,60,50,20,65,20,25,30,10,20,25,15,10,10,10,4,4,2,1];

totalw=1000;

limitw=1000;

n=length（w）;

f（1,i）=v（i）/w（i）;

f（2,i）=w（i）;

f（3,i）=i;

（n-1）

forj=（i+1）:

iff（1,i）<

f（1,j）

t=f（1,i）;

f（1,i）=f（1,j）;

f（1,j）=t;

t=f（2,i）;

f（2,i）=f（2,j）;

f（2,j）=t;

t=f（3,i）;

f（3,i）=f（3,j）;

f（3,j）=t;

totalv=0;

a=[];

iff（2,i）<

=limitw

a=[a,f（3,i）];

%disp（f（3,i））;

limitw=limitw-f（2,i）;

totalv=totalv+f（1,i）*f（2,i）;

a

totalv

totalw=totalw-limitw

结果

a=

Columns1through21

10401725281619353782620131124279234114

Columns22through27

2263014247

totalv=

3103

totalw=

1000

练习题8对最后一个求有向圈的示例用matlab程序实现。

H=[01000;

00011;

11100;

00101;

01000];

n=size（H,1）;

%顶点个数

p=zeros（1,n）;

%存储搜索过的顶点

X=zeros（n,n）;

%用来设置禁止矩阵，往回返的时候设置此路已被搜索

k=1;

p

（1）=1;

%第一个点作为初始点开始搜索

whilep

（1）<

=n%每个顶点都作为初始点搜索包含p

（1）的有向圈，

i=p

（1）+1;

%当前点k往后搜索时都是从p

（1）+1开始，从而也可以搜索下标小于k的点

whilei<

=n%还有后续点没有搜索（这些点有可能比当前点k小）

if（H（p（k）,i）==1）&

（X（p（k）,i）==0）&

isempty（find（p==i））%满足三个条件

k=k+1;

%搜索路径上增加一个点

p（k）=i;

%搜索路径向前延伸一个点

i=i+1;

%当前被搜索点不满足条件，换下一个点

ifi>

n%k点往后的所有点都被搜索

ifH（p（k）,p

（1））==1%有圈，每次搜索的都是包含初始点的圈

disp（p（1:

k））;

%输出圈

%不管有没有圈，此时k点要往回返

ifk>

1%路径上不止出发点

forj=1:

X（p（k）,j）=0;

%取消以前的限制通行

X（p（k-1）,p（k））=1;

%增加此路已搜索

p（k）=0;

%撤销路径上的k点

k=k-1;

%返回上一个点作为当前点

else%返回到出发点了

p

（1）=p

（1）+1;

%换下一个出发点（初始点）

运行结果：

1243

245

243

25

练习题9选址问题现准备在7个居民点中设置一银行，路线与距离如下图，问设在哪个点，可使最大服务距离最小？

若设两个点呢？

第一步：

function[D,R]=floyd（A）

%用floyd算法实现求任意两点之间的最短路程。

可以有负权

%参数D为连通图的权矩阵

A=[03infinfinfinfinf

302infinf1.5inf

inf206inf2.54

infinf60infinf3

infinfinfinf01.5inf

inf1.52.5inf1.501.8

infinf43inf1.80

];

D=A;

n=length（D）;

n

R（i,j）=i;

%赋路径初值

fork=1:

fori=1:

ifD（i,k）+D（k,j）<

D（i,j）

D（i,j）=D（i,k）+D（k,j）;

%更新D（i,j），说明通过k的路程更短

R（i,j）=R（k,j）;

%更新R（i,j），需要通过k

hl=0;

ifD（i,i）<

hl=1;

%跳出内层的for循环

if（hl==1）

有负回路'

）

%跳出最外层循环

D

D=

03.00005.00009.30006.00004.50006.3000

3.000002.00006.30003.00001.50003.3000

5.00002.000006.00004.00002.50004.0000

9.30006.30006.000006.30004.80003.0000

6.00003.00004.00006.300001.50003.3000

4.50001.50002.50004.80001.500001.8000

6.30003.30004.00003.00003.30001.80000

第二步：

对于第一问

在矩阵D中每一个取大得到一列数，再在这列数中取小，

[m,n]=size（D）;

p=[];

m

p（i）=max（D（i,:

））;

end

ifp（i）==min（p）

disp（i）;

min（p）

在顶点6建立银行，最大服务距离最小，最小是4.8.

第三步：

对于第二问

任取两个点做集合，计算每个点到这个集合的最小值，再在这个最小值中取大，即在矩阵D中任取两行，对应比较取小得一向量，将所有这样的向量写成行向量构成一矩阵，然后用问题一的算法程序即可。

a=0;

b=[];

n=size（D,1）;

a=a+1;

fork=1:

s{a}=[ij];

b（a,k）=min（D（i,k）,D（j,k））;

m=size（b,1）;

p（i）=max（b（i,:

disp（s{i}）;

min（p）

结果，在顶点2,4或2,7点建立银行都使得最大服务距离最小，最小值是3

练习题10货物调运已知该地区有生产该物资的企业三家，大小物资仓库八个，国家级储备库两个，其分布情况见下面的附件1。

经核算该物资的运输成本为高等级公路2元/公里•百件，普通公路1.2元/公里•百件，假设各企业、物资仓库及国家级储备库之间的物资可以通过公路运输互相调运，请给出各个仓库应该从哪个企业调运。

首先建立各个交汇点的距离矩阵m。

然后建立函数文件。

%各仓库到各企业的最小运费

functionmin_spend（m）

c=[28,23,35,31,22,36,29,38];

%仓库

cc=[27,30];

%国家储存库

C=[c,cc];

g=[8,15,11,27,7,10,17,14,28,16,18,25,6,5,39,35,13,40,4,29];

%高级公路上的点

n=length（g）;

A=zeros（42）;

42

ifm（i,j）~=0

A（i,j）=1.2*m（i,j）;

%普通公路上每百件的运费

A（i,j）=inf;

A（g（i）,g（j））=2*A（g（i）,g（j））/1.2;

%高级公路上每百件的运费

A（i,i）=0;

[D,R]=floyd（A）;

10

3

X（i,j）=D（C（i）,q（j））;

[XX,INDEX]=min（X'

min_spend（m）

XX=

69.6000150.0000147.600090.0000156.0000174.0000189.6000111.6000120.0000122.4000

INDEX=

2133132313

XX为从各个仓库到三个企业中的最小费用，INDEX为最小费用的企业。

练习题14最小代价流将上题容量网络的边上增加另一个权数----代价，变为具有代价的容量网络，单位代价为容量数的十位上的数字，求比最大流少30单位的最小代价流。

由上题结果可知，最大流为142，则最小代价流的流量应该为112。

用迭代算法，预定流量值wf0=112。

方法一：

C=[025056610000;

00710036000;

0000000340;

00004907400;

024000725700;

003800005345;

00000380067;

0000000074;

000000000];

%弧容量

b=[020560000;

007003000;

000000030;

000040700;

020007500;

003000054;

000003006;

000000007;

%弧上单位流量的费用

n=9;

wf=0;

wf0=112;

%wf表示最大流量,wf0表示预定的流量值

for（i=1:

n）for（j=1:

n）f（i,j）=0;

end;

end%取初始可行流f为零流

while

（1）

for（i=1:

n）for（j=1:

n）if（j~=i）a（i,j）=Inf;

end%构造有向赋权图

n）if（C（i,j）>

0&

f（i,j）==0）a（i,j）=b（i,j）;

elseif（C（i,j）>

f（i,j）==C（i,j））a（j,i）=-b（i,j）;

0）a（i,j）=b（i,j）;

a（j,i）=-b（i,j）;

for（i=2:

n）p（i）=Inf;

s（i）=i;

end%用Ford算法求最短路,赋初值

for（k=1:

n）pd=1;

%求有向赋权图中vs到vt的最短路

for（i=2:

n）if（p（i）>

p（j）+a（j,i））p（i）=p（j）+a（j,i）;

s（i）=j;

pd=0;

if（pd）break;

end%求最短路的Ford算法结束

if（p（n）==Inf）break;

end%不存在vs到vt的最短路,算法终止.注意在求最小费用最大流时构造有向赋权图中不会含负权回路,所以不会出现k=n

dvt=Inf;

t=n;

%进入调整过程,dvt表示调整量

while

（1）%计算调整量

if（a（s（t）,t）>

0）dvtt=C（s（t）,t）-f（s（t）,t）;

%前向弧调整量

elseif（a（s（t）,t）<

0）dvtt=f（t,s（t））;

end%后向弧调整量

if（dvt>

dvtt）dvt=dvtt;

if（s（t）==1）break;

end%当t的标号为vs时,终止计算调整量

t=s（t）;

end%继续调整前一段弧上的流f

pd=0;

if（wf+dvt>

wf0）dvt=wf0-wf;

pd=1;

end%如果最大流量大于或等于预定的流量值

t=n;

while

（1）%调整过程

0）f（s（t）,t）=f（s（t）,t）+dvt;

%前向弧调整

0）f（t,s（t））=f（t,s（t））-dvt;

end%后向弧调整

end%当t的标号为vs时,终止调整过程

if（pd）break;

end%如果最大流量达到预定的流量值

wf=0;

for（j=1:

n）wf=wf+f（1,j）;

end%计算最大流量

zwf=0;

n）zwf=zwf+b（i,j）*f（i,j）;

end%计算最小费用

f%显示最小费用最大流

wf%显示最小费用最大流量

zwf%显示最小费用

f=

025026610000

0000036000

000000000

0000002600

01100094100

0000000045

0000000067

wf=

112

zwf=

1708

由程序运行结果可得：

比最大流少30单位的最小代价流为f，最小代价为1708。

方法二

在已知流量上限情况下的Lingo最小费用求解

sets:

nodes/1..9/:

;

arcs（nodes,nodes）:

c,b,f;

!

f为流，c为网络容量，b为费用;

endsets

data:

fmax=112;

流量上界;

c=025056610000

00710036000

0000000340

00004907400

024000725700

003800005345

00000380067

0000000074

000000000;

b=020560000

007003000

000000030

000040700

020007500

003000054

000003006

000000007

enddata

min=@sum（arcs:

b*f）;

@for（nodes（i）|i#ne#1#and#i#ne#@size（nodes）:

@sum（arcs（i,j）:

f（i,j））-@sum（arcs（j,i）:

f（j,i））=0）;

@sum（arcs（i,j）|i#eq#1:

f（i,j））=fmax;

@for（arcs:

@bnd（0,f,c））;

练习题20现在有8个城市，已知两个城市之间的路费如下表，现在有一个人从A城市出发旅行，应该选择怎样的路线才能刚好每个城市都到达一次又回到A城市，其总路费最少？

ABCDEFGH

A

B

C

E

F

G

56352151604339

215778706449

3668---7060

51616526

134562

5326

50

方法一

建立规划模型：

先将一般加权连通图转化成一个等价的加权完全图，设当从

到

时，

，否则，

，则得如下模型：

利用lingo求解：

model:

!

TSP问题;

cities/A,B,C,D,E,F,G,H/:

level;

link（cities,cities）|&

1#ne#&

2:

w,x;

W距离矩阵;

w=56352151604339

56215778706449

3521366810007060

21573