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②垂直于同一平面的两个平面互相平行
③若直线l1,l2与同一平面所成的角相等,则l1,l2互相平行
④若直线l1,l2是异面直线,则与l1,l2都相交的两条直线是异面直线
其中假命题的个数是().
A.1B.2C.3D.4
5.下列命题中正确的个数是().
①若直线l上有无数个点不在平面内,则l∥
②若直线l与平面平行,则l与平面内的任意一条直线都平行
③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条直线也与这个平面平行
④若直线l与平面平行,则l与平面内的任意一条直线都没有公共点
A.0个B.1个C.2个D.3个
6.两直线l1与l2异面,过l1作平面与l2平行,这样的平面().
A.不存在B.有唯一的一个C.有无数个D.只有两个
7.把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线BD和平面ABC所成的角的大小为().
A.90°
B.60°
C.45°
D.30°
8.下列说法中不正确的是().
A.空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形
B.同一平面的两条垂线一定共面
C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内
D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直
9.给出以下四个命题:
①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面
③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直
其中真命题的个数是().
A.4B.3C.2D.1
10.异面直线a,b所成的角60°
,直线a⊥c,则直线b与c所成的角的范围为( ).
A.[30°
,90°
]B.[60°
]C.[30°
,60°
]D.[30°
,120°
]
二、填空题
11.已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两相互垂直,且三个侧面的面积分别为S1,S2,S3,则这个三棱锥的体积为.
12.P是△ABC所在平面外一点,过P作PO⊥平面,垂足是O,连PA,PB,PC.
(1)若PA=PB=PC,则O为△ABC的心;
(2)PA⊥PB,PA⊥PC,PC⊥PB,则O是△ABC的心;
(3)若点P到三边AB,BC,CA的距离相等,则O是△ABC的心;
(4)若PA=PB=PC,∠C=90º
,则O是AB边的点;
(5)若PA=PB=PC,AB=AC,则点O在△ABC的线上.
13.如图,在正三角形ABC中,D,E,F分别为各边的中点,G,H,I,J分别为AF,AD,BE,DE的中点,将△ABC沿DE,EF,DF折成三棱锥以后,GH与IJ所成角的度数为.
14.直线l与平面所成角为30°
,l∩=A,直线m∈,则m与l所成角的取值范围
是.
15.棱长为1的正四面体内有一点P,由点P向各面引垂线,垂线段长度分别为d1,d2,d3,d4,则d1+d2+d3+d4的值为.
16.直二面角-l-的棱上有一点A,在平面,内各有一条射线AB,AC与l成45°
,AB
,AC
,则∠BAC=.
三、解答题
17.在四面体ABCD中,△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形.
(1)求证:
BC⊥AD;
(2)若点D到平面ABC的距离等于3,求二面角A-BC-D的正弦值;
(3)设二面角A-BC-D的大小为,猜想为何值时,四面体A-BCD的体积最大.(不要求证明)
18.如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=2,BB1=BC=1,E为D1C1的中点,连结ED,EC,EB和DB.
平面EDB⊥平面EBC;
(2)求二面角E-DB-C的正切值.
(第18题)
19*.如图,在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°
,
SA⊥面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=
.
(1)求四棱锥S—ABCD的体积;
(2)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.
(提示:
延长BA,CD相交于点E,则直线SE是
所求二面角的棱.)
(第19题)
20*.斜三棱柱的一个侧面的面积为10,这个侧面与它所对棱的距离等于6,求这个棱柱的体积.(提示:
在AA1上取一点P,过P作棱柱的截面,使AA1垂直于这个截面.)
(第20题)
参考答案
1.D
解析:
命题②有反例,如图中平面∩平面=直线n,
l
,
且l∥n,m⊥n,则m⊥l,显然平面不垂直平面,(第1题)
故②是假命题;
命题①显然也是假命题,
2.D
异面直线AD与CB1角为45°
3.D
在①、④的条件下,m,n的位置关系不确定.
4.D
利用特殊图形正方体我们不难发现①②③④均不正确,故选择答案D.
5.B
学会用长方体模型分析问题,A1A有无数点在平面ABCD外,但AA1与平面ABCD相交,①不正确;
A1B1∥平面ABCD,显然A1B1不平行于BD,②不正确;
A1B1∥AB,A1B1∥平面ABCD,但AB
平面ABCD内,③不正确;
l与平面α平行,则l与无公共点,l与平面内的所有直线都没有公共点,④正确,应选B.(第5题)
6.B
设平面过l1,且l2∥,则l1上一定点P与l2确定一平面,与的交线l3∥l2,且l3过点P.又过点P与l2平行的直线只有一条,即l3有唯一性,所以经过l1和l3的平面是唯一的,即过l1且平行于l2的平面是唯一的.
7.C
当三棱锥D-ABC体积最大时,平面DAC⊥ABC,取AC的中点O,则△DBO是等腰直角三角形,即∠DBO=45°
8.D
A.一组对边平行就决定了共面;
B.同一平面的两条垂线互相平行,因而共面;
C.这些直线都在同一个平面内即直线的垂面;
D.把书本的书脊垂直放在桌上就明确了.
9.B
因为①②④正确,故选B.
10.A
异面直线
所成的角为60°
,直线
⊥
,过空间任一点P,作直线a’∥a,b’∥b,c’∥c.若a’,b’,c’共面则b’与c’成30°
角,否则
’与
’所成的角的范围为(30°
],所以直线b与c所成角的范围为[30°
].
11.
设三条侧棱长为a,b,c.
则
ab=S1,
bc=S2,
ca=S3三式相乘:
∴
a2b2c2=S1S2S3,
∴abc=2
∵三侧棱两两垂直,
∴V=
abc·
=
12.外,垂,内,中,BC边的垂直平分.
(1)由三角形全等可证得O为△ABC的外心;
(2)由直线和平面垂直的判定定理可证得,O为△ABC的垂心;
(3)由直线和平面垂直的判定定理可证得,O为△ABC的内心;
(4)由三角形全等可证得,O为AB边的中点;
(5)由
(1)知,O在BC边的垂直平分线上,或说O在∠BAC的平分线上.
13.60°
将△ABC沿DE,EF,DF折成三棱锥以后,GH与IJ所成角的度数为60°
14.[30°
].
直线l与平面所成的30°
的角为m与l所成角的最小值,当m在内适当旋转就可以得到l⊥m,即m与l所成角的的最大值为90°
15.
作等积变换:
×
(d1+d2+d3+d4)=
·
h,而h=
16.60°
或120°
不妨固定AB,则AC有两种可能.
17.证明:
(1)取BC中点O,连结AO,DO.
∵△ABC,△BCD都是边长为4的正三角形,
∴AO⊥BC,DO⊥BC,且AO∩DO=O,
∴BC⊥平面AOD.又AD
平面AOD,
∴BC⊥AD.(第17题)
解:
(2)由
(1)知∠AOD为二面角A-BC-D的平面角,设∠AOD=,则过点D作DE⊥AD,垂足为E.
∵BC⊥平面ADO,且BC
平面ABC,
∴平面ADO⊥平面ABC.又平面ADO∩平面ABC=AO,
∴DE⊥平面ABC.
∴线段DE的长为点D到平面ABC的距离,即DE=3.
又DO=
BD=2
在Rt△DEO中,sin=
故二面角A-BC-D的正弦值为
.
(3)当=90°
时,四面体ABCD的体积最大.
18.证明:
(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BB1=BC=1,E为D1C1的中点.∴△DD1E为等腰直角三角形,∠D1ED=45°
.同理∠C1EC=45°
.∴
,即DE⊥EC.
在长方体ABCD-
中,BC⊥平面
,又DE
平面
∴BC⊥DE.又
,∴DE⊥平面EBC.∵平面DEB过DE,∴平面DEB⊥平面EBC.
(2)解:
如图,过E在平面
中作EO⊥DC于O.在长方体ABCD-
中,∵面ABCD⊥面
,∴EO⊥面ABCD.过O在平面DBC中作OF⊥DB于F,连结EF,∴EF⊥BD.∠EFO为二面角E-DB-C的平面角.利用平面几何知识可得OF=
,(第18题)
又OE=1,所以,tan
EFO=
19*.解:
(1)直角梯形ABCD的面积是M底面=
∴四棱锥S—ABCD的体积是V=
SA·
M底面=
1×
(2)如图,延长BA,CD相交于点E,连结SE,则SE是所求二面角的棱.
∵AD∥BC,BC=2AD,
∴EA=AB=SA,∴SE⊥SB
∵SA⊥面ABCD,得面SEB⊥面EBC,EB是交线.
又BC⊥EB,∴BC⊥面SEB,故SB是SC在面SEB
上的射影,
∴CS⊥SE,∠BSC是所求二面角的平面角.
∵SB=
,BC=1,BC⊥SB,
∴tan∠BSC=
,(第19题)
即所求二面角的正切值为
(第20题)
20*.解:
如图,设斜三棱柱ABC—A1B1C1的侧面BB1C1C的面积为10,A1A和面BB1C1C的距离为6,在AA1上取一点P作截面PQR,使AA1⊥截面PQR,AA1∥CC1,∴截面PQR⊥侧面BB1C1C,过P作PO⊥QR于O,则PO⊥侧面BB1C1C,且PO=6.
∴V斜=S△PQR·
AA1=
QR·
PO·
AA1
BB1
10×
6
=30.
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