高考调研理科数学课时作业讲解课时作业51Word文件下载.docx

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∴周长为2×

（4＋6）＝20.

5．（2013·

衡水调研卷）已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线l的直线（　　）

A．只有一条，不在平面α内

B．有无数条，不一定在平面α内

C．只有一条，且在平面α内

D．有无数条，一定在平面α内

解析　由直线l与点P可确定一个平面β，则平面α，β有公共点，因此它们有一条公共直线，设该公共直线为m，因为l∥α，所以l∥m，故过点P且平行于直线l的直线只有一条，且在平面α内，选C.

6．下列命题中，是假命题的是（　　）

A．三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面

B．平面α∥平面β，a⊂α，过β内的一点B有唯一的一条直线b，使b∥a

C．α∥β，γ∥δ，α、β分别与γ、δ的交线为a、b、c、d，则a∥b∥c∥d

D．一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件

解析　D错误．当两个平面平行时，则该直线与两个平面成等角；

反之，如果一条直线与两个平面成等角，这两个平面可能是相交平面．如下图，α⊥β，直线AB与α、β都成45°

角，但α∩β＝l.

7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝

，则MN与平面BB1C1C的位置关系是（　　）

A．相交　　　　　　　B．平行

C．垂直　　　　　　　D．不能确定

解析　连接CD1，在CD1上取点P，使D1P＝

，∴MP∥BC，PN∥AD1.

∴MP∥面BB1C1C，PN∥面AA1D1D.

∴面MNP∥面BB1C1C，∴MN∥面BB1C1C.

8．设α、β、γ为两两不重合的平面，l、m、n为两两不重合的直线．给出下列四个命题：

①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；

②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；

③若α∥β，l⊂α，则l∥β；

④若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.

其中真命题的是________．

答案　③④

解析　①∵垂直于同一个平面的两个平面也可以相交，如墙角，∴该命题不对；

②m、n相交时才有α∥β，此命题不对；

③由面面平行的性质定理可知该命题正确；

④∵l∥γ，β∩γ＝m，l⊂β，∴l∥m.又α∩β＝l，且m⊂β，∴m∥α.又m⊂γ且γ∩α＝n，∴m∥n，故④对．

9．如图所示，四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是________（写出所有符合要求的图形序号）．

答案　①③

10.棱锥P－ABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点，则BE与平面PAD的位置关系为________．

答案　平行

解析　取PD的中点F，连接EF.

在△PCD中，EF綊

CD.

又∵AB∥CD且CD＝2AB，∴EF＝

CD且CD＝2AB.

∴EF綊AB，∴四边形ABEF是平行四边形，∴EB∥AF.

又∵EB⊄平面PAD，AF⊂平面PAD，

∴BE∥平面PAD.

11.如图所示，ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝

，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.

答案　

a

解析　如图，连接AC，易知MN∥平面ABCD.

∴MN∥PQ.

又∵MN∥AC，∴PQ∥AC.

又∵AP＝

，∴

＝

.

∴PQ＝

AC＝

a＝

a.

12．考察下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中l、m为直线，α、β为平面），则此条件为________．

①

⇒l∥α；

②

⇒l∥α；

③

⇒l∥α.

答案　l⊄α

解析　①体现的是线面平行的判定定理，缺的条件是“l为平面α外的直线”，即“l⊄α”，它也同样适合②③，故填l⊄α.

13．在四面体ABCD中，M、N分别是面△ACD、△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．

答案　平面ABC和平面ABD

解析　连接AM并延长交CD于E，连接BN并延长交CD于F.由重心的性质可知，E、F重合为一点，且该点为CD的中点E.由

，得MN∥AB.因此，MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.

14．过三棱柱ABC—A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．

答案　6

解析　过三棱柱ABC—A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，EF1，EE1，FF1，E1F，E1F1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共6条．

15.如图所示，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点．

（1）求证：

E、B、F、D1四点共面；

（2）求证：

平面A1GH∥平面BED1F.

解析　

（1）连接FG.

∵AE＝B1G＝1，∴BG＝A1E＝2.

∴BG綊A1E，∴A1G∥BE.

又∵C1F綊B1G，

∴四边形C1FGB1是平行四边形，∴FG綊C1B1綊D1A1.

∴四边形A1GFD1是平行四边形．

∴A1G綊D1F，∴D1F綊EB.

故E、B、F、D1四点共面．

（2）∵H是B1C1的中点，

∴B1H＝

.又B1G＝1，

∴

又

，且∠FCB＝∠GB1H＝90°

，

∴△B1HG∽△CBF.

∴∠B1GH＝∠CFB＝∠FBG，∴HG∥FB.

又由

（1）知，A1G∥BE，

且HG∩A1G＝G，FB∩BE＝B，

∴平面A1GH∥平面BED1F.

16.

如图，三棱柱ABC－A1B1C1，底面为正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，点E、F分别是棱CC1、BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB.

当点M在何位置时，BM∥平面AEF?

解析　方法一　如图，取AE的中点O，连接OF，过点O作OM⊥AC于点M.

∵侧棱A1A⊥底面ABC，

∴侧面A1ACC1⊥底面ABC.

∴OM⊥底面ABC.

又∵EC＝2FB，

∴OM∥FB綊

EC.

∴四边形OMBF为矩形．

∴BM∥OF.

又∵OF⊂面AEF，BM⊄面AEF，

故BM∥平面AEF，此时点M为AC的中点．

方法二　如图，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ、PB、BQ.

∴PQ∥AE.∵EC＝2FB，

∴PE綊BF，PB∥EF.

∴PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF.

又PQ∩PB＝P，

∴平面PBQ∥平面AEF.

又∵BQ⊂面PQB，

∴BQ∥平面AEF.

故点Q即为所求的点M，此时点M为AC的中点．

17.

如图，在底面是平行四边形的四棱锥P—ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？

证明你的结论．

解析　当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC.

证明：

取PE的中点M，连接FM，则FM∥CE.①

由EM＝

PE＝ED，知E是MD的中点．

连接BM，BD，设BD∩AC＝O，

则O为BD的中点，连接OE，

所以BM∥OE.②

由①，②知，平面BFM∥平面AEC.

又BF⊂平面BFM，所以BF∥平面AEC.

18.

（2012·

山东）如图，几何体E—ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.

BE＝DE；

（2）若∠BCD＝120°

，M为线段AE的中点，求证：

DM∥平面BEC.

解析　

（1）如图，取BD的中点O，连接CO，EO.

由于CB＝CD，所以CO⊥BD.

又EC⊥BD，EC∩CO＝C，

CO，EC⊂平面EOC，

所以BD⊥平面EOC.

因此BD⊥EO.

又O为BD的中点，

所以BE＝DE.

（2）方法一　如图，取AB的中点N，连接DM，DN，MN.

因为M是AE的中点，

所以MN∥BE.

又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，

所以MN∥平面BEC.

又因为△ABD为正三角形，

所以∠BDN＝30°

又CB＝CD，∠BCD＝120°

因此∠CBD＝30°

所以DN∥BC.

又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，

所以DN∥平面BEC.

又MN∩DN＝N，

故平面DMN∥平面BEC.

又DM⊂平面DMN，

所以DM∥平面BEC.

方法二　如图，延长AD，BC交于点F，连接EF.

因为CB＝CD，∠BCD＝120°

所以∠CBD＝30°

因为△ABD为正三角形，

所以∠BAD＝60°

，∠ABC＝90°

因此∠AFB＝30°

所以AB＝

AF.

又AB＝AD，

所以D为线段AF的中点．

连接DM，由于点M是线段AE的中点，

因此DM∥EF.

又DM⊄平面BEC，EF⊂平面BEC，

1．设x，y，z为空间不同的直线或不同的平面，且直线不在平面内，下列说法中能保证“若x⊥z，y⊥z，则x∥y”为真命题的序号有________．（把所有的真命题全填上）

①x为直线，y，z为平面；

②x，y，z都为平面；

③x，y为直线，z为平面；

④x，y，z都为直线，⑤x，y为平面，z为直线．

答案　③⑤

解析　①直线x可能在平面y内；

②平面x与y可能相交；

④直线x与y可能相交，也可能异面，故③⑤正确．

2．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，ABCD是平行四边形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：

MN∥平面PAD.

证明　方法一　取CD中点E，

连接NE、ME.

∵M、N分别是AB、PC的中点，

∴NE∥PD，ME∥AD.

∴NE∥平面PAD，ME∥平面PAD.

又NE∩ME＝E，

∴平面MNE∥平面PAD.

又MN⊂平面MNE，

∴MN∥平面PAD.

方法二　取PD中点F，连接AF、NF.

∵M、N分别为AB、PC的中点，

∴NF綊

CD，AM綊

∴AM綊NF.

∴四边形AMNF为平行四边形．

∴MN∥AF.

又AF⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，

3.

如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D.

AD⊥平面BCC1B1；

（2）设E是B1C1上的一点，当

的值为多少时，A1E∥平面ADC1？

请给出证明．

解析　

（1）在正三棱柱中，CC1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，∴AD⊥CC1.

又AD⊥C1D，CC1交C1D于C1，且CC1和C1D都在平面BCC1B1内，∴AD⊥平面BCC1B1.

（2）由

（1）得AD⊥BC.在正三角形ABC中，D是BC的中点．

当

＝1，即E为B1C1的中点时，A1E∥平面ADC1.

在正三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形BCC1B1是矩形，且D、E分别是BC、B1C1的中点，∴B1B∥DE，B1B＝DE.

又B1B∥AA1，且B1B＝AA1，

∴DE∥AA1，且DE＝AA1.

∴四边形ADEA1为平行四边形，∴A1E∥AD.

而A1E⊄平面ADC1，故A1E∥平面ADC1.