全国高中数学联赛加试平面几何汇编Word文件下载.docx
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C
O2
3
B
1991年
二.设凸四边形ABCD的面积为1,求证:
在它的边上(包括顶点)或内部可以找出四个1
点,使得以其中任意三点为顶点所构成的四个三角形的面积大于.
4
证明:
考虑四边形的四个顶点A、B、C、D,若△ABC、△BCD、△CDA、△DAB的面积,设其中面积最小的三角形为△ABD.
1
⑴若S△ABDA、B、C、D即为所求.
13
⑵若S△ABD&
lt;
S△BCD,取△BCD的重心G,则以B、C、D、G这4点中的任意
441
3点为顶点的三角形面积.
11
⑶若S△ABD=S△ABD=.
4413
由于S△ABC+S△ACD=1,而S△ACD,故S△ABC&
=S△BCD.
44∴过A作AE∥BC必与CD相交,设交点为E.
BC
111
则∵S△ABCS△ABD,从而S△ABES△ABD=.S△ACE=S△ABES△BCE=S△ABC.即A、B、
444C、E四点即为所求.
11
⑷若S△ABD==,这个三角形不
4411
可能是△BCD,(否则ABCD的面积=,不妨设S△ADC=S△ABD=.则AD∥
24BC,四边形ABCD为梯形.
由于S△ABD=,S△ABC=AD=a,则BC=3a,设梯形的高=h,
44
3a
AE
a
则2ah=1.设对角线交于O,过O作EF∥BC分别交AB、CD于E、F.
∴AE∶EB=AO∶OC=AD∶BC=1∶3.
a·
3+3a·
13133991
∴EF=A.S△EFB=S△EFC=h=
1+3222416324
13991
S△EBC=S△FBC=·
3aah=.于是B、C、F、E四点为所求.综上可知所
248162证成立.
又证:
当ABCD为平行四边形时,A、B、C、D四点即为所求.
当ABCD不是平行四边形,则至少有一组对边的延长线必相交,设延长AD、BC交于E,且设D与AB的距离&
C与AB的距离,
⑴若ED≤AE,取AE中点P,则P在线段AD上,作PQ∥AB交BC于Q.若
2333
PQ=a,P与AB距离=h.则AB=2a,SABQP=ABEABCD=.
444
131
即a+2a)h,ah242
1111
∴S△APQ=S△BPQ=.S△PAB=S△QAB=ah.即A、B、Q、P为所求.
24241
⑵若EDAE,取AE中点P,则P在线段DE上,作PR∥BC交CD于R,
2
NAE
D
CQ
EFCQSB
AN∥BC,交CD于N,由于∠EAB+∠EBA&
π,故R在线段CD上.N在DC延长线上.作1
RS∥AB,交BC于S,则RS=AB,延长AR交BC于F,则S△FAB=SABCNSABCD=1.问题化
2为上一种情况.
1992年
四、(20分)设l,m是两条异面直线,在l上有A,B,C三点,且AB=BC,过A,B,C分
7
别作m的垂线AD,BE,CF,垂足依次是D,E,F,已知AD=15,BE=10,求l
2与m的距离.
解:
过m作平面α∥l,作AP⊥α于P,AP与l确定平面β,β∩α=l?
,l?
∩m=K.作BQ⊥α,CR⊥α,垂足为Q、R,则Q、R∈l?
,且AP=BQ=CR=l与m的距离d.?
连PD、QE、RF,则由三垂线定理之逆,知PD、QE、RF都⊥m.PD=15-d,QE=
492
d,RF=10-d.4
l&
#39;
m
KF
当D、E、F在K同侧时2QE=PD+RF,
E?
49-4d=15-d+10-d.解之得d=6
当D、E、F不全在K同侧时2QE=PD-RF,?
49-4d=15-d-10-d.无实解.
∴l与m距离为6.
1993年
三、(35分)
水平直线m通过圆O的中心,直线l?
m,l与m相交于M,点M在圆心的右侧,直线l上不同的三点A,B,C在圆外,且位于直线m上方,A点离M点最远,C点离M点最近,AP,BQ,CR为圆O的三条切线,P,Q,R为切点.试证:
(1)l与圆O相切时,AB?
CR+BC?
AP=AC?
BQ;
(2)l与圆O相交时,AB?
AP<AC?
(3)l与圆O相离时,AB?
AP>AC?
BQ.
设MA=a,MB=b,MC=c,OM=d,⊙O的半径=r.
且设k=d2-r2.则当k0时,点M在⊙O外,此时,直线l与⊙O相离;
当k=0时,点M在⊙O上,此时,直线l与⊙O相切;
当k&
0时,点M在⊙O内,此时,直线l与⊙O相交.∴AP=a+d-r=a+k,同理,BQ=b+k,CR=c+k.
则AB?
AP-AC?
BQ=AB?
AP-(AB+BC)?
BQ=BC×
(AP-BQ)-AB×
(BQ-CR)
AP2-BQ2BQ2-CR2
=BC×
AB×
AP+BQBQ+CR(b-c)(a-b)(a+b)(a-b)(b-c)(b+c)
=AP+BQBQ+CRa+bb+c=(a-b)(b-c)()
AP+BQBQ+CR=(a-b)(b-c)
BQ+a·
CR+b·
CR-b·
AP-c·
BQ
.
(AP+BQ)(BQ+CR)
a2·
BQ2-b2·
AP2(a2-b2)k
注意到a?
BQ-b?
AP=.
b·
AP+a·
BQb·
故k0时,a?
AP0,k=0时,a?
AP=0,k&
0时,a?
AP&
0;
同理可得,k0时,b?
CR-c?
BQ0,k=0时,b?
BQ=0,k&
0时,b?
BQ&
k0时,a?
AP=0,k&
AP&
即当k0时,AB?
BQ0;
当k=0时,AB?
BQ=0,
当k&
0时,AB?
BQ&
0.故证.、
1994年
三、(本题满分35分)如图,设三角形的外接圆O的半径为R,内心为I,∠B=60?
∠A&
∠C,∠A的外角平分线交圆O于E.
证明:
(1)IO=AE;
(2)2R&
IO+IA+IC&
(1+3)R.证明:
∵∠B=60°
,∴∠AOC=∠AIC=120°
.B∴A,O,I,C四点共圆.圆心为弧AC的中点F,半径为R.
∴O为⊙F的弧AC中点,设OF延长线交⊙F于H,AI延长线交弧BC于D.由∠EAD=90°
(内外角平分线)知DE为⊙O的直径.∠OAD=∠ODA.
但∠OAI=∠OHI,故∠OHI=∠ADE,于是RtΔDAE≌RtΔHIO
∴AE=IO.
由ΔACH为正三角形,易证IC+IA=IH.由OH=2R.∴IO+IA+IC=IO+IHOH=2R.设∠OHI=α,则0&
α&
30°
.∴IO+IA+IC=IO+IH=2R(sinα+cosα)=2R2sin(α+45°
)又α+45°
&
75°
,故IO+IA+IC&
22R(6+2)/4=R(1+3)
1995年
三、(35分)如图,菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E,F,G,H,
在弧EF与GH上分别作圆O的切线交AB于M,交BC于N,交CD于P,
交DA于Q,求证:
MQ∥NP.
分析要证MQ∥NP,因AB∥DC,故可以考虑证明∠AMQ=∠CPN.现∠A=∠C,故可证ΔAMQ∽ΔCPN.于是要证明AM∶AQ=CP∶CN.
证明设∠ABC=2?
,∠BNM=2?
,∠BMN=2γ.则1
由ON平分∠ONM,得∠ONC=∠ONM=(180?
-2?
)=90?
-?
;
2同理,∠OMN=∠OMA=90?
-γ.
而∠CON=180?
-∠OCN-∠ONC=?
+?
=90?
-γ,于是ΔCON∽ΔAMO,
∴AM∶AO=CO∶CN,即AM·
CN=AO2.同理,AQ·
CP=AO2,∴AM·
CN=AQ·
CP.∴ΔAMQ∽ΔCPN,∴∠AMQ=∠CPN.∴MQ∥NP.
A
HDC
BN
1996年
三、(本题满分35分)
如图,圆O1和圆O2与△ABC的三边所在的三条直线都相切,E、F、G、H为切点,并且EG、FH的延长线交于P点。
求证直线PA与BC垂直。
证明设⊿ABC的三边分别为a、b、c,三个角分别为A、B、C,则
CE=BF=CG=BH=a+b+c).
2
E
∴BE=a+b+c)-a=(b+c-a).
2211
∴EF=a+b+c)+b+c-a)=b+c.
22
连CO1,则CO1平分∠ECG,CO1⊥EG,?
∠FEP=90?
-C.
211
同理∠EFP=90?
-∠B,∠EPF=(B+C).
cos2EPEF
∵=,∴EP=(b+c)。
1B+CB+C
sin(90?
-B)sinsin
222
cossin22
设P、A在EF上的射影分别为M、N,则EM=EPcos∠FEP=(b+c).
B+Csin
2BCcossin221
又BN=ccosB,故只须证ccosB+(b+c-a)=(b+c),
2B+C
sin
2BCcossin221
即sinCcosB+(sinB+sinC-sin(B+C))=(sinB+sinC)就是
sin2
B-CB-CBC11B+C2coscossin=sinCcosB-sinBcosC-cosBsinC+sincos
2222222B-CB-CB-C1B+CB+C
右边=sin(C-B)+sincos=cos(sin-sin)
222222=2cos
B-CBC
cossin。
故证。
1997年
一、(本题50分)如图,已知两个半径不相等的⊙O1与⊙O2相交于M、N两点,且⊙O1、
⊙O2分别与⊙O内切于S、T两点。
求证:
OM⊥MN的充分必要条件是S、N、T三点共线。
过S、T分别作相应两圆的公切线,交于点P,则PS=PT,点P在直线MN上(根轴).且O、S、P、T四点共圆.
⑴若S、N、T三点共线,
连O1N,O2N,则OS=OT,O1S=O1N,
于是∠S=∠T,∠S=∠O1NS,∴∠O1NS=∠T,O1N∥OT,同理,O2N∥OS,即OS=O2N+O1S.即⊙O的半径=⊙O1与⊙O2的半
径的和.
O∴∠PTS=∠TSP=∠NMS,∴S、P、T、M共圆,故O、S、P、T、M五点共圆.∠OMS=∠OTS=∠OST.
∴∠OMN=∠OMS+∠SMN=∠OST+∠TSP=∠OSP=90°
.
S
M
P
篇二:
∠A&
∴A,O,I,C四点共圆.圆心为弧AC的中点F,半径为R.B∴O为⊙F的弧AC中点,设OF延长线交⊙F于H,AI延长线交弧BC于D.由∠EAD=90°
Q
DBN
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