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数学分析答案
数学分析答案
1反常积分分概念
1、讨论下列无穷积分是否收敛?
若收敛,则求其值:
(1);
(2);
(3);(4);
(5);(6);
(7);(8)
解
(1)因为
故收敛,其值为。
(2)
=
故收敛,其值为0。
(3)
因为最后的极限不存在,故不收敛
2、讨论下列瑕积分是否收敛?
若收敛,则求其值:
(1);
(2);
(3);(4);
(5);(6);
(7);(8);
解
(1)当时,有
=。
因最后的极限不存在,故当时,不收缴。
当时,有
故仅当时,收敛,其值为
(2)因为
。
因最后的极限不存在,故。
(3)因为
故收敛,其值为4。
(4)因为
故收敛,其值为1
(5)因为
因此收敛,其值为-1。
(6)因为
,
故收敛,其值为。
(7)因为
因此收敛,其值为。
(8)当时,
极限不存在。
当时,
极限不存在。
当时,
极限不存在。
综上可知:
不收敛。
3、举例说明:
瑕积分收敛时,不一定收敛。
解在习题2中,令,则收敛,但发散。
4、举例说明:
收敛且在上连续时,不一定有。
解令
则
但极限不存在。
5、证明:
若收敛,且存在极限则A=0
证因收敛,从而由Cauchy准则知:
令
。
则由推广的积分中值定理知:
存在使
=因此。
由于所以,使得当时,。
取N使,从而当时,有。
于是当时有
。
可见。
故。
6、证明:
若在]上可导,且与都收敛,则
。
证由收敛知,任给,存在,当时,有
,即
所以,存在,若记,则由上题知
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