函数的单调性及最值知识点习题.docx

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函数的单调性及最值知识点习题

1.3.1函数的单调性与最大（小）值

1、函数单调性的定义设函数y=f（x）的定义域为I：

如果对于属于定义域I某个区间D上的任意两个自变量的值，

（1）当时，都有，那么就说函数f（x）在区间D上是增函数：

（2）当时，都有，那么就说函数f（x）在区间D上是减函数。

注意：

具有三个特征：

①属于同一区间②任意性③有大小:

通常规定练习：

若定义在R上的函数f（x）对任意两个不相等的实数，总有，则必有（）

A．函数f（x）是先增后减B.函数f（x）是先减后增

C.函数f（x）在R上是增函数D.函数f（x）在R上是减函数

2、函数的单调性区间

如果函数y=f（x）在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f（x）的单调区间。

3、基本初等函数的单调性

（1）一次函数

（2）反比例函数

（3）二次函数

练习：

（1）函数的单调递增区间是

（2）函数在实数集R上是增函数，则（）

A．B.C.D.

练习：

下列四个函数中，在上是增函数的是（）

A．B.C.D.

4、利用定义证明函数的单调性的步骤

（1）取值：

（2）作差：

（3）变形：

（4）判断差的符号：

（5）下结论

5、常用的单调性的结论

6、函数的最大（小）值的方法

1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值

2.利用图象求函数的最大（小）值：

作出函数的图像，尤其是分段函数或解析式含有绝对值的函数，从图像直接观察可得最值

3.利用函数单调性的判断函数的最大（小）值

如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递增，则函数y=f（x）在x=a处有最小值f（a）,在x=b处有最大值f（b）；

如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f（x）在x=b处有最小值f（b）。

练习：

（1）已知，则函数的最小值为，最大值为。

考点1：

函数单调性的证明

例1、判断函数在上是的单调性，并用单调性定义证明。

练习：

（1）证明函数在R上是增函数

（2）求证函数上是减函数，在上是增函数

考点2：

求函数的单调区间

①利用图像求函数的单调区间

例2：

画出函数的图像，并指出函数的单调区间。

变式：

（1）作出函数的图像，并指出其单调区间。

（2）求函数的单调区间

②直接求函数的单调区间：

利用已知函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等的单调性，直接写出所求函数的单调区间，或者将所给函数通过适当地变形，转化为可以利用已知函数的单调性进行判断的形式。

例3：

求函数的单调区间

变式：

求函数的单调区间

③利用定义求函数的单调区间

例4：

求函数的单调区间

④求复合函数的单调区间

例5：

求函数在定义域上的单调性

变式：

（1）求函数的单调区间

（2）已知函数，试求函数的单调区间。

考点3：

利用函数的单调性求函数的最值

例6：

已知函数，求当时的值域。

例7：

求函数上的最值。

变式：

（1）已知函数，，数a的取值围，使在区间上是单调函数.

（2）求函数的最大值

（3）已知.

①当时，判断并证明的单调性

②当，求函数的最小值

考点4：

利用函数的单调性比较大小

例8：

已知函数对任意实数t都有，试比较的大小

练习：

已知函数对任意实数t都有，试比较的大小的大小为。

考点5：

利用函数的单调性解不等式与求参数的取值围

例9：

已知函数在上是减函数，不等式恒成立，则实数a的取值围是。

变式：

已知函数是定义在上的单调增函数，不等式的x的取值围是（）

A．B.C.D.