二次函数考点、知识点、例题(全).doc
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二次函数考点、知识点、例题(全).doc
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二次函数
命题点
年份
各地命题形式
考查频次
2015考查方向
二次函数的图象和性质
2014
云南(T12填)
填空1个
近3年考查2次,主要考查对图象的认识与性质的理解,预计2015年考查的可能性较大.
2013
昭通(T9选)
选择1个
确定二次函数的解析式
2014
昆明(T23解),曲靖(T24解)
解答2个
高频考点:
近3年考查12次,主要考查求二次函数的解析式,一般出现在压轴题中,预计2015年考查的可能性很大.
2013
昆明(T23解),曲靖(T24解),大理(T23解),昭通(T25解),玉溪(T23解),普洱(T23解),德宏(T23解),红河(T23解),西双版纳(24解)
解答9个
2012
云南(T23解)
解答1个
考点1二次函数的概念
一般地,形如①(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量,a、b、c分别为函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.
考点2二次函数的图象和性质
函数
二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
a
a>0
a<0
图象
开口方向
抛物线开口向②,并向上无限延伸
抛物线开口向③,并向下无限延伸
对称轴
直线x=-
直线x=-
顶点坐标
(-,)
(-,)
最值
抛物线有最低点,当x=-时,y有最小值,y最小值=
抛物线有最高点,当x=-时,y有最大值,y最大值=
增减性
在对称轴的左侧,即当x<-时,y随x的增大而④;在对称轴的右侧,即当x>-a时,y随x的增大而⑤,简记左减右增
在对称轴的左侧,即当x<-时,y随x的增大而⑥;在对称轴的右侧,即当x>-时,y随x的增大而⑦,简记左增右减
【易错提示】二次函数的增减性一定要分在对称轴的左侧或右侧两种情况讨论.
考点3二次函数的图象与字母系数的关系
字母或代数式
字母的符号
图象的特征
a
a>0
开口向⑧
|a|越大开口越⑩
a<0
开口向⑨
b
b=0
对称轴为⑪轴
ab>0(b与a同号)
对称轴在y轴⑫侧
ab<0(b与a异号)
对称轴在y轴⑬侧
c
c=0
经过⑭
c>0
与y轴⑮半轴相交
c<0
与y轴⑯半轴相交
b2-4ac
b2-4ac=0
与x轴有交点(顶点)
b2-4ac>0
与x轴有不同交点
b2-4ac<0
与x轴交点
特殊关系
当x=1时,y=
当x=-1时,y=
若a+b+c>0,即当x=1时,y0
若a+b+c<0,即当x=1时,y0
考点4确定二次函数的解析式
方法
适用条件及求法
一般式
若已知条件是图象上的三个点或三对自变量与函数的对应值,则可设所求二次函数解析式为.
顶点式
若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(最小值),可设所求二次函数为.
交点式
若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1,0),(x2,0),可设所求的二次函数为.
【易错提示】
(1)用顶点式代入顶点坐标时横坐标容易弄错符号;
(2)所求的二次函数解析式最后要化成一般式.
考点5二次函数与一元二次方程以及不等式之间的关系
二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2+bx+c的图象与轴的交点的坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
二次函数与不等式
抛物线y=ax2+bx+c在x轴上方的部分点的纵坐标都为正,所对应的x的所有值就是不等式ax2+bx+c0的解集;在x轴下方的部分点的纵坐标均为负,所对应的x的值就是不等式ax2+bx+c0的解集.
考点6二次函数的应用
利用二次函数解决实际问题的步骤
(1)通过阅读理解题意;
(2)分析题目中的变量与常量,以及它们之间的关系;
(3)依据数量关系或图形的有关性质列出函数表达式;
(4)根据问题的实际意义或具体要求确定自变量的取值范围;
(5)利用二次函数的有关性质,在自变量的取值范围内.
1.二次函数y=(x-h)2+k的图象平移时,主要看顶点坐标的变化,一般按照“横坐标加减左右移”、“纵坐标加减上下移”的方法进行.
2.二次函数的图象由对称轴分开,在对称轴的同侧具有相同的性质,在顶点处有最大值或最小值,如果自变量的取值中不包含顶点,那么在取最大值或最小值时,要依据其增减性而定.
3.求二次函数图象与x轴的交点的方法是令y=0解关于x的方程;求函数图象与y轴的交点的方法是令x=0得y的值,最后把所得的数值写成坐标的形式.
命题点1二次函数的图象和性质
例1(2013·昭通)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论中正确的是()
A.a>0B.3是方程ax2+bx+c=0的一个根
C.a+b+c=0D.当x<1时,y随x的增大而减小
方法归纳:
解决此类问题应注意观察所给抛物线的特征,逐个排除不符合的选项.
1.(2014·上海)如果将抛物线y=x2向右平移1个单位,那么所得的抛物线的表达式是()
A.y=x2-1B.y=x2+1C.y=(x-1)2D.y=(x+1)2
2.(2012·巴中)对于二次函数y=2(x+1)(x-3),下列说法正确的是()
A.图象的开口向下B.当x>1时,y随x的增大而减小
C.当x<1时,y随x的增大而减小D.图象的对称轴是直线x=-1
3.(2014·云南)抛物线y=x2-2x+3的顶点坐标为.
4.(2014·珠海)如图,对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1,0),(3,0)两点,则它的对称轴为.
5.(2014·滨州)已知二次函数y=x2-4x+3.
(1)用配方法求其函数的顶点C的坐标,并描述该函数的函数值随自变量的增减而增减的情况;
(2)求函数图象与x轴的交点A,B的坐标(A在B的左侧),及△ABC的面积.
命题点2二次函数的图象与系数的关系
例2抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列说法正确的是()
A.b2-4ac<0B.abc<0C.-<-1D.a-b+c<0
方法归纳:
解决此类问题应当了解a,b,c,Δ=b2-4ac,a+b+c,a-b+c的符号判定的方法,同时还要观察对称轴x=.
1.(2014·黔东南)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列4个结论:
①abc<0;②b<a+c;③4a+2b+c>0;④b2-4ac>0.
其中正确结论的有()
A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④
2.(2014·陕西)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,则下列结论中正确的是()
A.c>-1B.b>0C.2a+b≠0D.9a+c>3b
3.(2014·巴中)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则下列叙述正确的是()
A.abc<0B.-3a+c<0
C.b2-4ac≥0D.将该函数图象向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为y=ax2+c
命题点3确定二次函数的解析式
例3(2013·泰州)如图,在平面直角坐标系xOy中,边长为2的正方形OABC的顶点A,C分别在x轴、y轴的正半轴上,二次函数y=x2+bx+c的图象经过B,C两点.
(1)求该二次函数的解析式;
(2)结合函数的图象探索:
当y>0时x的取值范围.
【思路点拨】
(1)通过正方形的边长得出点B,C的坐标,然后代入函数解析式列方程求解;
(2)求出函数图象与x轴的交点坐标,结合图象求解.
【解答】
方法归纳:
求二次函数的解析式,通常采用待定系数法,根据题目给出的条件选择不同的函数表达式,这样便于计算.
1.(2013·安徽)已知二次函数图象的顶点坐标为(1,-1),且经过原点(0,0),求该函数的解析式.
2.(2014·宁波)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A(2,0),B(0,-1)和C(4,5)三点.
(1)求二次函数的解析式;
(2)设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D,求点D的坐标;
(3)在同一坐标系中画出直线y=x+1,并写出当x在什么范围内时,一次函数的值大于二次函数的值.
1.(2013·益阳)抛物线y=2(x-3)2+1的顶点坐标是()
A.(3,1)B.(3,-1)C.(-3,1)D.(-3,-1)
2.(2014·宿迁)若将抛物线y=x2向右平移2个单位,再向上平移3个单位,则所得抛物线的解析式为()
A.y=(x+2)2+3B.y=(x-2)2+3C.y=(x+2)2-3D.y=(x-2)2-3
3.(2013·泰安)设A(-2,y1),B(1,y2),C(2,y3)是抛物线y=-(x+1)2+m上的三点,则y1,y2,y3的大小关系为()
A.y1>y2>y3B.y1>y3>y2C.y3>y2>y1D.y2>y1>y3
4.(2014·东营)若函数y=mx2+(m+2)x+m+1的图象与x轴只有一个交点,那么m的值为()
A.0B.0或2C.2或-2D.0,2或-2
5.(2014·毕节)抛物线y=2x2,y=-2x2,y=x2共有的性质是()
A.开口向下B.对称轴是y轴C.都有最低点D.y随x的增大而减小
6.(2014·黄石)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则函数值y>0时,x的取值范围是()
A.x<-1B.x>3C.-1<x<3D.x<-1或x>3
7.(2014·新疆)对于二次函数
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