二次函数学案(全章).doc
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北师大版二次函数学案
第1课时二次函数的概念
【学习目标】1.经历探索,分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系;
2.探索并归纳二次函数的定义;
3.能够表示简单变量之间的二次函数关系。
【学习重点】掌握二次函数的概念并能利用概念解答相关的题型。
【课时类型】概念课
【学习过程】
一、学习准备
1.函数的定义:
在某个变化过程中,有两个变量x和y,如果给定一个x值,相应地就确定了一个y值,那么我们称是的函数,其中是自变量,是因变量。
2.一次函数的关系式为y=(其中k、b是常数,且k≠0);正比例函数的关系式为y=(其中k是的常数);反比例函数的关系式为y=(k是的常数)。
二、解读教材——数学知识源于生活
3.某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子。
现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。
根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子。
假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有棵橙子树,这时平均每棵树结个橙子,如果果园橙子的总产量为y个,那么y=。
4.如果你到银行存款100元,设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。
那么你能写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)吗?
。
5.能否根据刚才推导出的式子y=-5x2+100x+60000和y=100x2+200x+100猜想出二次函数的定义及一般形式吗?
注意:
(1)关于x的代数式一定是整式,其中a,b,c为常数且a≠0;
(2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项哟!
一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数。
它就是二次函数的一般形式,理解并熟记几遍。
例1下列函数中,哪些是二次函数?
(1)
(2)
(3)(4)
(5)(6)
即时练习:
下列函数中,哪些是二次函数?
(1)
(2)(3)
(4)(5)(6)
三、挖掘教材
6.对二次函数定义的深刻理解及运用
例2若函数是二次函数,求k的值。
分析:
x的最高次数等于2,即k2-3k+2=2,求出k的值即可。
解:
即时练习:
若函数是二次函数,则k的值为。
四、反思小结
1.我们通过观察、思考、合作,交流,归纳出二次函数的概念,并从中体会函数的建模思想。
2.定义:
一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数。
3.二次函数y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:
(1)y=ax²(a≠0);
(2)y=ax²+c(a≠0且c≠0);(3)y=ax²+bx(a≠0且b≠0)。
4.二次函数定义的核心是关键字“二”,即必须满足自变量最高次项的指数为_____,且______项系数不为_____的整式。
【达标测评】
1.下列函数不属于二次函数的是()
A.y=(x-1)(x+2) B.y=(x+1)2C.y=2(x+3)2-2x2 D.y=1-x2
2.在边长为6cm的正方形中间剪去一个边长为xcm(x<6)的小正方形,剩下的四方框形的面积为y,则y与x之间的函数关系是。
3.用总长为60m的篱笆围成矩形场地,场地面积S(m²)与矩形一边长a(m)之间的关系式是,它是函数。
4.正方形的边长是5,若边长增加x,面积增加y,则y与x之间的函数表达式为。
5.当m=时,是二次函数;若函数是二次函数,则m=。
6.已知函数y=ax2+bx+c(其中a,b,c都是常数):
当a时,它是二次函数;当a,b时,它是一次函数;当a,b,c时,它是正比例函数。
7.若函数y=(k2-4)x2+(k+2)x+3是二次函数,则k。
第2课时二次函数y=ax2的图象与性质
【学习目标】1.能够利用描点法做出函数y=ax2的图象,能根据图象认识和理解二次函数y=ax2的性质;
2.理解二次函数y=ax2中a对函数图象的影响。
【学习重点】经历探索二次函数y=ax2的图象的作法和性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验。
【学习难点】能够利用描点法作出函数的图象,并能根据图象认识和理解二次函数y=ax2的性质。
【学习过程】
一、学习准备
1.正比例函数y=kx(k≠0)是图像是。
2.一次函数y=kx+b(k≠0)的图像是。
3.反比列函数y=(k≠0)的图像是。
4.当我们还不了解一种函数图像的形状时,只能用描点法研究,描点法的一般步骤是:
,,。
二、解读教材
x
y
O
5.试作出二次函数y=x2的图象。
(1)画出图象:
①列表:
(注意选择适当的x值,并计算出相应的y值)
x
……
……
y=x2
……
……
②描点:
(在右图坐标系中描点)
③连线:
(应注意用光滑的曲线连接各点)
(2)根据图像,进行小结:
①y=x2的图像是,且开口方向是。
这就是回答最值的标准格式。
②它是对称图像,对称轴是轴。
在对称轴的左侧(x>0),y随x的增大而;在对称轴的右侧(x<0),y随x的增大而。
③图像与对称轴有交点,称为抛物线的顶点,从图中可以看出也是图像的最低点,
x
y
O
此时,坐标为(,)。
④因为图像有最低点,所以函数有最值,当x=0时,y最小=。
6.变式训练1作出二次函数y=-x2的图象。
x
……
……
y=-x2
……
……
小结:
①y=-x2的图像是,且开口向。
②对称轴是,在对称轴左右的增减性分别是:
在对称轴左侧,y随x的增大,在对称轴的右侧,y随x的增大。
③顶点坐标是:
(,),且从图像看出它有最点,所以函数有最值。
当x=0时,。
x
y
O
7.变式训练2作出y=2x2,y=0.5x2的图像。
x
y=2x2
y=0.5x2
三、挖掘教材
8.根据上面的图象,从图象的开口方向、对称轴、增减性、顶点坐标、最值等五个方面进行归纳。
表达式
草图
开口
对称轴
顶点
最值
增减性
x>0
x<0
y=ax2(a>0)
y=ax2(a<0)
同时,a决定图象在同一直角坐标系中的开口方向,|a|越小图象开口。
9.例已知:
抛物线,当x>0时,y随x的增大而增大,求m的值。
分析:
①函数的图象是抛物线,则它是二次函数,所以m2+m-10=2,且m≠0;
②当x>0时,y随x的增大而增大,所以m>0。
解:
由题意得:
解得:
又∵当x>0时,y随x的增大而增大,所以m>0。
∴m=3
10.已知抛物线y=ax2经过点A(-2,-8),
(1)求此抛物线的函数解析式;
(2)判断点B(-1,-4)是否在此抛物线上;(3)求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。
四、反思小结
二次函数的y=ax2(a≠0)的图象与性质:
五个方面理解:
,,,,。
【达标测评】
1.抛物线y=2x2的顶点坐标是,对称轴是,在侧,y随着x的增大而增大;在侧,y随着x的增大而减小。
当x=时,函数y的值最小,最小值是。
抛物线y=2x2的图象在方(除顶点外)。
2.函数y=x2的顶点坐标为,若点(a,4)在其图象上,则a的值是。
3.函数y=x2与y=-x2的图象关于对称,也可以认为y=-x2是函数y=x2的图象绕旋转得到的。
4.求出函数y=x+2与函数y=x2的图象的交点坐标。
5.若a>1,点(a-1,y1),(a,y2),(a+1,y3)都在函数y=x2的图象上,判断y1,y2,y3的大小关系是。
第3课时二次函数y=ax2+k的图象与性质
【学习目标】1.会用描点法作出函数y=ax2+k的图象,能根据图象认识和理解二次函数y=ax2+k的性质;
2.理解二次函数y=ax2+k中a和k对函数图象的影响;
3.理解二次函数y=ax2与y=ax2+k的关系。
【学习重点】理解二次函数y=ax2+k的性质。
【学习难点】理解二次函数y=ax2与y=ax2+k的关系。
【学习过程】一、学习准备1.画出两条抛物线的草图并填空。
抛物线
y=x2
y=-x2
开口方向
对称轴
增减性
在对称轴左侧,y随x的增大而。
在对称轴右侧,y随x的增大而。
顶点坐标
最值
当x=0时,ymax=。
x
y
O
x
y
O
二、解读教材2.用描点法作出二次函数y=2x2+1的图像。
x
……
0
……
y=2x2+1
……
……
小结:
①y=2x2+1的图像是,且开口向。
②对称轴是,在对称轴左右的增减性分别是:
在对称轴左侧,y随x的增大而;在对称轴的右侧,y随x的增大而。
③顶点是:
(,),且从图像看它
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- 二次 函数