二元一次方程组竞赛题集Word格式.docx
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时,方程组无解。
(∵两个方程是矛盾的)
③当a1
(即a1b2-a2b1≠0)时,方程组有唯一的解:
c1b2
c2b1
x
a2b1
a1b2
(这个解可用加减消元法求得)
c2a1
c1a2
y
2.方程的个数少于未知数的个数时,一般是不定解,即有无数多解,若要求整数解,可按
二元一次方程整数解的求法进行。
3.求方程组中的待定系数的取值,一般是求出方程组的解(把待定系数当己知数),再解
含待定系数的不等式或加以讨论。
(见例2、3)
例题
5xy7
例1.选择一组a,c值使方程组1.有无数多解,2.无解,3.有唯一的
ax2yc
解
【例2】解方程组
【思考与分析】本例是一个含字母系数的方程组.解含字母系数的方程组同解含字母系
数的方程一样,在方程两边同时乘以或除以字母表示的系数时,也需要弄清字母的取值是否
为零.
解:
由①,得y=4-mx,③
把③代入②,得2x+5(4-mx)=8,
解得(2-5m)x=-12,当2-5m=0,
即m=时,方程无解,则原方程组无解.
当2-5m≠0,即m≠时,方程解为
将代入③,得
故当m≠时,
原方程组的解为
例3.a取什么值时,方程组
例4.m取何整数值时,方程组
a
5x
3y
的解是正数?
31
2xmy4
的解x和y都是整数?
x4y1
二元一次方程组的特殊解法
1.二元一次方程组的常规解法,是代入消元法和加减消元法。
这两种方法都是从“消元”这个基本思想出发,先把“二元”转化为“一元”把解二元一次方程组的问题归结为解一元一次方程,在“消元”法中,包含了“未知”转化到“已知”的重要数学化归思想。
2、灵活消元
(1)整体代入法
1
x2
1.解方程组4
3
2x
(2)先消常数法
4x
2.解方程组
2y
15
2
3x
(3)设参代入法
x3y
3.解方程组
4:
3
x:
y
(4)换元法
xy
4.解方程组2
6
3x
4xy
(5)简化系数法
5.解方程组4x3y
3x4y
4
课堂练习
1.不解方程组,判定下列方程组解的情况:
x2y3
2x
y3
5y
①
②
2y3
③
5y
3x6y9
4x
2.a取哪些正整数值,方程组
x2y5a
3x4y2a
的解x和y都是正整数?
xkyk
3.要使方程组的解都是整数,k应取哪些整数值?
x2y1
二元一次方程组应用探索
【知识链接】
列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步,即:
(1)审:
通过审题,把实际问题抽象成数学问题,分析已知数和未知数,并用字母表示其中的两个未知数;
(2)找:
找出能够表示题意两个相等关系;
(3)列:
根据这两个相等关系列出必需的代数式,从而列出方程组;
(4)解:
解这个方程组,求出两个未知数的值;
(5)答:
在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上,写出答案.
二元一次方程组是最简单的方程组,其应用广泛,尤其是生活、生产实践中的许多问题,
大多需要通过设元、布列二元一次方程组来加以解决,现将常见的几种题型归纳如下:
一、数字问题
例1一个两位数,比它十位上的数与个位上的数的和大9;
如果交换十位上的数与个位
上的数,所得两位数比原两位数大27,求这个两位数.
分析:
设这个两位数十位上的数为x,个位上的数为y,则这个两位数及新两位数及其
之间的关系可用下表表示:
十位上的数个位上的数对应的两位数相等关系
原两位数xy10x+y10x+y=x+y+9
新两位数yx10y+x10y+x=10x+y+27
10xyxy9
14.
解方程组
,得
,因此,所求的两位数是
10yx10xy27
点评:
由于受一元一次方程先入为主的影响,
不少同学习惯于只设一元,
然后列一元一
次方程求解,虽然这种方法十有八九可以奏效,但对有些问题是无能为力的,象本题,
如果
直接设这个两位数为x,或只设十位上的数为x,那将很难或根本就想象不出关于
x的方程.一
般地,与数位上的数字有关的求数问题,
一般应设各个数位上的数为“元”,然后列多元方程
组解之.
二、利润问题
例2一件商品如果按定价打九折出售可以盈利
20%;
如果打八折出售可以盈利
10元,
问此商品的定价是多少?
商品的利润涉及到进价、定价和卖出价,因此,设此商品的定价为
x元,进价为
y元,则打九折时的卖出价为
0.9x元,获利(0.9x-y)元,因此得方程0.9x-y=20%y;
打八折时
的卖出价为
0.8x元,获利(0.8x-y)元,可得方程0.8x-y=10.
0.9xy20%y
200
10
,解得
,
0.8xy
150
因此,此商品定价为
元.
商品销售盈利百分数是相对于进价而言的,
不要误为是相对于定价或卖出价.
利
润的计算一般有两种方法,一是:
利润
=卖出价-进价;
二是:
利润=进价×
利润率(盈利百分
数).特别注意“利润”和“利润率”是不同的两个概念.
三、配套问题
例3某厂共有120名生产工人,每个工人每天可生产螺栓
25个或螺母
20个,如果一
个螺栓与两个螺母配成一套,
那么每天安排多名工人生产螺栓,
多少名工人生产螺母,
才能
使每天生产出来的产品配成最多套?
要使生产出来的产品配成最多套,
只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套,
根据
题意,每天生产的螺栓与螺母应满足关系式:
每天生产的螺栓数
×
2=每天生产的螺母数×
1.因
此,设安排x人生产螺栓,y人生产螺母,则每天可生产螺栓
25x个,螺母
20y个,依题
意,得
120
20
50x
,解之,得
.
220y1
100
故应安排20人生产螺栓,100人生产螺母.
产品配套是工厂生产中基本原则之一,如何分配生产力,使生产出来的产品恰好
配套成为主管生产人员常见的问题,解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关
系,其中两种最常见的配套问题的等量关系是:
(1)“二合一”问题:
如果a件甲产品和b件乙产品配成一套,那么甲产品数的b倍等
甲产品数乙产品数
于乙产品数的a倍,即;
ab
(2)“三合一”问题:
如果甲产品a件,乙产品b件,丙产品c件配成一套,那么各种
甲产品数乙产品数丙产品数
产品数应满足的相等关系式是:
.
abc
四、行程问题
例4在某条高速公路上依次排列着A、B、C三个加油站,A到B的距离为120千米,
B到C的距离也是120千米.分别在A、C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时
以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场,正在B站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令
后立即以相同的速度分别往A、C两个加油站驶去,结果往B站驶来的团伙在1小时后就
被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住,而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶
上.问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少?
【研析】设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为x、y千米/时,则
y120
40
80
,整理,得
因此,巡逻车的速度是
80千米/时,犯罪团伙的车的速度是
40千米/时.
“相向而遇”和“同向追及”是行程问题中最常见的两种题型,在这两种题型中都存
在着一个相等关系,这个关系涉及到两者的速度、原来的距离以及行走的时间,具体表现在:
“相向而遇”时,两者所走的路程之和等于它们原来的距离;
“同向追及”时,快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离.
五、货运问题
典例5某船的载重量为300吨,容积为1200立方米,现有甲、乙两种货物要运,其中
甲种货物每吨体积为6立方米,乙种货物每吨的体积为2立方米,要充分利用这艘船的载重
和容积,甲、乙两重货物应各装多少吨?
“充分利用这艘船的载重和容积”的意思是“货物的总重量等于船的载重量”且“货物的体积等于船的容积”.设甲种货物装x吨,乙种货物装y吨,则
y300
300
6x
2y1200
600
因此,甲、乙两重货物应各装
吨.
由实际问题列出的方程组一般都可以再化简,因此,解实际问题的方程组时要注
意先化简,再考虑消元和解法,这样可以减少计算量,增加准确度.化简时一般是去分母或
两边同时除以各项系数的最大公约数或移项、合并同类项等.
六、工程问题
例6某服装厂接到生产一种工作服的订货任务,要求在规定期限内完成,按照这个服
装厂原来的生产能力,每天可生产这种服装150套,按这样的生产进度在客户要求的期限内
只能完成订货的
4;
现在工厂改进了人员组织结构和生产流程,
每天可生产这种工作服200
5
套,这样不仅比规定时间少用
1天,而且比订货量多生产25
套,求订做的工作服是几套?
要求的期限是几天?
设订做的工作服是
x套,要求的期限是
y天,依题意,得
150y
3375
200y
1x
25
18
工程问题与行程问题相类似,关键要抓好三个基本量的关系,即“工作量=工作时
间×
工作效率”以及它们的变式“工作时间=工作量÷
工作效率,工作效率=工作量÷
工作时
间”.其次注意当题目与工作量大小、多少无关时,通常用“1表”示总工作量.
【例7】某种商品价格为每件33元,某人身边只带有2元和5元两种面值的人民币
各若干张,买了一件这种商品.若无需找零钱,则付款方式有哪几种(指付出2元和5元钱
的张数)?
哪种付款方式付出的张数最少?
【思考与分析】本题我们可以运用方程思想将此问题转化为方程来求解.我们先找出
问题中的数量关系,再找出最主要的数量关系,构建等式.然后找出已知量和未知量设元,
列方程组求解.
最后,比较各个解对应的x+y的值,即可知道哪种付款方式付出的张数最少.
设付出2元钱的张数为x,付出5元钱的张数为y,则x,y的取值均为自然数.依
题意可得方程:
2x+5y=33.
因为5y个位上的数只可能是0或5,
所以2x个位上数应为3或8.
又因为2x是偶数,所以2x个位上的数是8,从而此方程的解为:
由得x+y=12;
由得x+y=15.所以第一种付款方式付
出的张数最少.
答:
付款方式有3种,分别是:
付出4张2元钱和5张5元钱;
付出9张2元钱和
3张5元钱;
付出14张2元钱和1张5元钱.其中第一种付款方式付出的张数最少.
【例8】某中学新建了一栋4层的教学大楼,每层楼有8间教室,这栋大楼共有4道门,
其中两道正门大小相同,两道侧门大小也相同.安全检查中,对4道门进行了训练:
当同时
开启一道正门和两道侧门时,2分钟内可以通过560名学生;
当同时开启一道正门和一道侧
门时,4分钟可以通过800名学生.
(1)求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生?
(2)检查中发现,紧急情况时因学生拥挤,出门的效率将降低20%.安全检查规定,在
紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离.假设这栋教学大楼每间教室
最多有45名学生,问:
建造的这4道门是否符合安全规定?
请说明理由.
【思考与解】
(1)设平均每分钟一道正门可通过x名学生,一道侧门可以通过y名学生.
根据题意,得
所以平均每分钟一道正门可以通过学生120人,一道侧门可以通过学生80人.
(2)这栋楼最多有学生4×
8×
45=1440(人).拥挤时5分钟4道门能通过
5×
2×
(120+80)×
(1-20%)=1600(人).
因为1600>
1440,所以建造的4道门符合安全规定.
答:
平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过120名学生、80名学生;
建造的这4道门
符合安全规定.
【例9】某水果批发市场香蕉的价格如下表:
张强两次共购买香蕉50千克(第二次多于第一次),共付款264元,请问张强第一次、
第二次分别购买香蕉多少千克?
【思考与分析】要想知道张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克,我们可以从香蕉
的价格和张强买的香蕉的千克数以及付的钱数来入手.通过观察图表我们可知香蕉的价格分
三段,分别是6元、5元、4元.相对应的香蕉的千克数也分为三段,我们可以假设张强两次
买的香蕉的千克数分别在某段范围内,利用分类讨论的方法求得张强第一次、第二次分别购
买香蕉的千克数.
设张强第一次购买香蕉x千克,第二次购买香蕉y千克.由题意,得0<
x<
25.
①当0<
x≤20,y≤40时,由题意,得
②当0<
x≤20,y>
40时,由题意,得(与0<
x≤20,y≤40相矛
盾,不合题意,舍去).
③当20<
25时,25<
y<
30.此时张强用去的款项为5x+5y=5(x+y)=5×
50=250<
264(不
合题意,舍去).
综合①②③可知,张强第一次购买香蕉14千克,第二次购买香蕉36千克.
张强第一次、第二次分别购买香蕉14千克、36千克.
【反思】我们在做这道题的时候,一定要考虑周全,不能说想出了一种情况就认为万事大
吉了,要进行分类讨论,考虑所有的可能性,看有几种情况符合题意.
【例10】用如图1中的长方形和正方形纸板做侧面和底面,做成如图2的竖式和横式两
种无盖纸盒.现在仓库里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板,问两种纸盒各做多少个,恰好将库存的纸板用完?
【思考与分析】我们已经知道已知量有正方形纸板的总数1000,长方形纸板的总数200
0,未知量是竖式纸盒的个数和横式纸盒的个数.而且每个竖式纸盒和横式纸盒都要用一定
数量的正方形纸板和长方形纸板做成,如果我们知道这两种纸盒分别要用多少张正方形纸板
和长方形纸板,就能建立起如下的等量关系:
每个竖式纸盒要用的正方形纸板数×
竖式纸盒个数+每个横式纸盒要用的正方形纸板
数×
横式纸盒个数=正方形纸板的总数
每个竖式纸盒要用的长方形纸板数×
竖式纸盒个数+每个横式纸盒要用的长方形纸板
横式纸盒个数=长方形纸板的总数
通过观察图形,可知每个竖式纸盒分别要用1张正方形纸板和4张长方形纸板,每个横式
纸盒分别要用2张正方形纸板和3张长方形纸板.
由题中的等量关系我们可以得到下面图表所示的关系.
设竖式纸盒做x个,横式纸盒做y个.根据题意,得
①×
4-②,得5y=2000,解得y=400.
把y=400代入①,得x+800=1000,解得x=200.
所以方程组的解为
因为200和400均为自然数,所以这个解符合题意.
竖式纸盒做200个,横式纸盒做400个,恰好将库存的纸板用完.
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- 二元 一次 方程组 竞赛题
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