信号与系统习题答案710.docx
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信号与系统习题答案710
7.22信号y(t)由两个均为带限的信号Xi(t)和X2(t)卷积而成,即
y(t)xi(t)X2(t)其中
Xi(j)0,||1000
X2(j)0,2000
现对y(t)作冲激串采样,以得到
yp(t)y(nT)(tnT)
请给出y(t)保证能从yp(t)中恢复出来的采样周期T的范围
解:
根据傅立叶变换性质,可得
Y(j)Xi(j)X2(j)
因此,有
当1000时,Y(j)0
yp(t)中恢复出来
1.画出输出X2t的频谱X2j
2.确定最大采样周期T,以使得xt可以从Xpt恢复;
图7.27(a)
j
、
•①L
1
蚀ar
图7.27(b)
HO
解:
1、x(t)经复指数调制后的X1(t)x(t)ej0t,其傅立叶变换为
X1(j)X(j(0))
经低通滤波器H(j)的输出X2(t)的频谱X2(j)如图(b)所示。
Xmax
8.3设xt是一实值信号,并有Xj0,
2000,现进行幅度调制以产
21
生信号gtxtsin2000t,图4-1给出一种解调方法,其中gt是输入,yt
是输出,理想低通滤波器截止频率为2000,通带增益为2,试确定yto
理想低通
滤波器
cos2000t
图4-1
解:
w(t)gtcos(2000)
sin2000tcos(2000)1xtsin4000t
对w(t)进行傅立叶变换
W(j)
j(4000
)—Xj(4000)4j
因为Xj
0,
2000
很明显,
W(j)
0,
2000,所以w(t)通过截止频率为2000的理想
低通滤波器后的输出
y(t)
9.17
解:
系统可以看作是由H1
s和H2s的并联构成
H1
H2
1
4(2s)s
8
1s
1
1
2(1s)s
2
H1
sH2s
i
2
s
Y(s)3s
12
2s
2
s
s
Hs
10s
X(s)
12
16
s210s16
Y(s)(s210s
16)X(s)(3s12)
求上式反变换,有
2
警10竽16y(t)12x(t)
3购
dt
9.28考虑一LTI系统,其系统函数Hs的零极点图如图9.28所示。
1.指出与该零极点图有关的所有可能的收敛域ROC。
2.
'/
V
V.
-2
-1
+1
Re
Im
+2
图9.28
对于1中所标定的每个ROC,给出有关的系统是否是稳定和/或因果的
解:
1.可能的收敛域ROC为:
(1)Re{s}2
(2)2Re{s}1
(3)1Re{s}1
(4)Re{s}1
2.
(1)Re{s}2,不稳定和反因果的。
(2)2Re{s}1,不稳定和非因果的
(3)1Re{s}1,稳定和非因果的。
(4)Re{s}1,不稳定和因果的。
9.31有一连续时间LTI系统,其输入xt和输出yt由下列微分方程所关联:
设Xs和Ys分别是xt和yt的拉普拉斯变换,Hs是系统单位冲激响
应ht的拉普拉斯变换
1.求Hs,画出Hs的零极点图。
2.对下列每一种情况求ht:
(1)系统是稳定的。
(2)系统是因果的。
(3)系统既不稳定又不是因果的解:
1、对给出的微分方程两边作拉普拉斯变换,得
s2Ys
sYs
2YsX
所以得
Y(s)
X(s)
1
s2s2
其零一极点图如图
(a)所示。
2、Hs
Y(s)
X(s)
1
~2
ss2(s2)(s1)
Im(s)
7
1
2
图
(a)
1111
3s23s1
(s2)(S1)
所以有
2,
s
e(s)
(1)当系统是稳定时,其收敛域为
ht3e2tu(七)
ht】e2tu(t)1etu(t)
33
10.18
解:
(a)
12
HZ丄空也(此为直接型U结构,详见第二章课件分析)
彳2112
1zz
39
由HZ
Y(Z)
X(Z)
16z18z2
得
2112
zz
39
12、
9z)
求上式z反变换,得
21
y[n]§y[n1]
(b)
Y(Z)(1
X(Z)(16z18z2)
2]x[n]6x[n1]8x[n2]
系统有一个二阶极点z
1
§,由于系统是因果的,所以收敛域为
1
3,包括单位圆'故系统是稳定的
10.28已知序列xnn0.95n6
a.求该序列的Z变换X(z)0
b.画出X(z)零极点图。
c.利用考虑极点向量和零点向量沿单位圆横穿一周时的特性,近似画出xn傅里
叶变换的模特性。
解:
a、Xn的Z变换为
6Z0.95
X(z)10.956—,|z|0z
b、由X(z)可知,在z0处有一6阶极点,
其零点为
.k
zk(0.95/^3,k0,1,ggg5
其零一极点图如图(a)所示
图(a)
c、傅氏变换的幅值近似图如图(b)所示。
X(ej)
■*_---I一_■j.I__]_.一—
**7小・加/30JT/32JT/3n
图(b)
10.34(P583)有一个因果LTI系统,其差分方程为
ynyn1yn2xn1
1.求该系统的系统函数,画出Hz的零极点图,指出收敛域
2.求系统的单位脉冲响应。
3.判断该系统是不是稳定的?
如果是不稳定的,试求一个满足该差分方程的稳定
(非因果)单位脉冲响应。
解:
1、1、对所给的差分方程两边进行z变换,得
Y(z)z1Y(z)zVzg
z1
所以得
||175
12|z|——
X(z)1z1z2(zJ©2),2
1515
其中,1
1.6220.62
2,2
系统函数H⑵的零点为z0,极点为zi和z2
所以
1岳
3、系统是不稳定的,因为系统的收敛域为|z|可,不包括单位圆。
若要使系
51
「15
统稳定,则收敛域应包括单位圆,即收敛域为
2
|z|2
此时有
11n1
hn爲丁SnU71
1、5
n
u[n]
2
10.59一个数字滤波器的结构如图10.59所示
x[n]y[n]
1
z
~k\
-•►
4
图10.59—
a.求这个因果滤波器的Hz,画出零极点图,并指出收敛域
b.当k为何值时,该系统是稳定的。
n
2
c.如果k1且对所有的n,x[n],确定y[n]。
3
解:
a.由图
(1)得
Y(z)W(z)W2(z)
W(z)X(z)fzWdz)
3
所以
1kz1W(z)X(z)
3
得Y(z)W(z)
她(z)
X(z)
1
kz1X(z)
4
彳ki
1z
3
.k
1z
_4_
彳k1
1z
3
其零极点图和收敛域示意图如图
(2)
(a)
(b)
图
(2)
b.只有k3时,
k4
所示。
收敛域才包含单位圆,系统才能是稳定的。
2
c.由于x[n]3
n
是LTI系统的特征函数,所以输出
y[n]H(z)|
k1时,代入得
52n
123
1咕y[n]
11z1z
3
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