高中北师版数学必修5课时分层作业22 简单线性规划的应用Word文件下载.docx
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4
10
托运能力
24
13
A.4,1B.3,2
C.1,4D.2,4
A [设托运货物甲x箱,托运货物乙y箱,由题意,得
利润为z=20x+10y.
由线性规划知识可得x=4,y=1时利润最大,
故选A.]
3.某公司有60万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的
倍,且对每个项目的投资不能低于5万元,对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润,对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润,该公司正确规划投资后,在这两个项目上共可获得的最大利润为( )
A.36万元B.31.2万元
C.30.4万元D.24万元
B [设投资甲项目x万元,投资乙项目y万元,可获得利润为z万元,则
z=0.4x+0.6y.
由图像知,目标函数z=0.4x+0.6y在A点取得最大值.
∴ymax=0.4×
24+0.6×
36=31.2(万元).]
4.某同学拿50元钱买纪念邮票,票面8角的每套5张,票面2元的每套4张,如果每种至少买2套,问共有买法种数为( )
A.14B.15
C.16D.17
C [设票面8角的买x套,票面2元的买y套,由题意得
即
由25-2x≥4y≥8,得2x≤17,所以2≤x≤8,x∈N+.当y=2时,2≤x≤8,共7种;
当y=3时,2≤x≤6,有5种;
当y=4时,2≤x≤4,共3种;
当y=5时,x=2,有一种.
故共有7+5+3+1=16(种)不同的买法.]
5.某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表
每亩年产量
每亩年种植成本
每吨售价
黄瓜
4吨
1.2万元
0.55万元
韭菜
6吨
0.9万元
0.3万元
为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:
亩)分别为( )
A.50,0B.30,20
C.20,30D.0,50
B [设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x亩,y亩,则总利润z=4×
0.55x+6×
0.3y-1.2x-0.9y=x+0.9y.
此时x,y满足条件
画出可行域如图,得最优解为A(30,20).
]
二、填空题
6.铁矿石A和B的含铁率为a,冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表:
a
b(万吨)
c(百万元)
A
50%
1
3
B
70%
0.5
6
某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁,若要求CO2的排放量不超过2(万吨),则购买铁矿石的最少费用为________(百万元).
15 [设购买铁矿石A、B分别为x,y万吨,购买铁矿石的费用为z(百万元),
则
目标函数z=3x+6y,
由
得
可行域如图中阴影部分所示.
记P(1,2),画出可行域可知,当目标函数z=3x+6y过点P(1,2)时,z取得最小值15.]
7.如图,△ABC及其内部的点组成的集合记为D,P(x,y)为D中任意一点,则z=2x+3y的最大值为________.
7 [把z=2x+3y变形为y=-
x+
z,通过平移直线y=-
x知,
当过点A(2,1)时,
z=2x+3y取得最大值为zmax=2×
2+3×
1=7.]
8.某企业拟用集装箱托运甲、乙两种产品,甲种产品每件体积为5m3,重量为2吨,运出后,可获利润10万元;
乙种产品每件体积为4m3,重量为5吨,运出后,可获利润20万元,集装箱的容积为24m3,最多载重13吨,装箱可获得最大利润是________.
60万元 [设甲种产品装x件,乙种产品装y件(x,y∈N),总利润为z万元,
且z=10x+20y.作出可行域,如图中的阴影部分所示.
作直线l0:
10x+20y=0,即x+2y=0.当l0向右上方平移时z的值变大,平移到经过直线5x+4y=24与2x+5y=13的交点(4,1)时,zmax=10×
4+20×
1=60(万元),即甲种产品装4件、乙种产品装1件时总利润最大,最大利润为60万元.]
三、解答题
9.制造甲、乙两种烟花,甲种烟花每枚含A药品3g、B药品4g、C药品4g,乙种烟花每枚含A药品2g、B药品11g、C药品6g.已知每天原料的使用限额为A药品120g、B药品400g、C药品240g.甲种烟花每枚可获利2元,乙种烟花每枚可获利1元,问每天应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大.
[解] 设每天生产甲种烟花x枚,乙种烟花y枚,获利为z元,则目标函数为:
z=2x+y.
线性约束条件为
作出可行域如图所示.
作直线l:
2x+y=0,将直线l向右上方平移至l1的位置时,直线经过可行域上的点A时纵截距z最大,即z=2x+y取最大值.解方程组
故每天生产甲、乙两种烟花各24枚才能使获利最大.
10.医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐.甲种原料每10g含5单位蛋白质和10单位铁质,售价3元;
乙种原料每10g含7单位蛋白质和4单位铁质,售价2元.若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质.试问:
应如何使用甲、乙原料,才能既满足营养,又使费用最省?
[解] 将已知数据列成下表:
原料/10g
蛋白质/单位
铁质/单位
7
费用
设甲、乙两种原料分别用10xg和10yg,总费用为z,那么
目标函数为z=3x+2y,作出可行域如图所示:
把z=3x+2y变形为y=-
,得到斜率为-
,在y轴上的截距为
,随z变化的一簇平行直线.
由图可知,当直线y=-
经过可行域上的点A时,截距
最小,即z最小.
得A
,∴zmin=3×
+2×
3=14.4.
∴甲种原料
×
10=28(g),乙种原料3×
10=30(g),费用最省.
[能力提升练]
1.为支援灾区人民,某单位要将捐献的100台电视机运往灾区,现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用400元,可装电视机20台;
每辆乙型货车运输费用300元,可装电视机10台,若每辆车至多只运一次,则该厂所花的最少运输费用为( )
A.2800元B.2400元
C.2200元D.2000元
C [设调用甲型货车x辆,乙型货车y辆,则0≤x≤4,0≤y≤8,20x+10y≥100,即2x+y≥10,设运输费用为t,则t=400x+300y,线性约束条件为
作出可行域如图,
则当直线y=-
经过可行域内点A(4,2)时,t取最小值2200,故选
C.]
2.某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品,由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时,可加工出7千克A产品,每千克A产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时,可加工出4千克B产品,每千克B产品获利50元,甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工,每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时,甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( )
A.甲车间加工原料10箱,乙车间加工原料60箱
B.甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55箱
C.甲车间加工原料18箱,乙车间加工原料50箱
D.甲车间加工原料40箱,乙车间加工原料30箱
B [设甲车间加工x箱原料,乙车间加工y箱原料,总获利为z,
目标函数z=280x+200y,
画出可行域,平移7x+5y=0,知z在点A处取得最大值,联立
故计划甲车间15箱,乙车间55箱时,每天获利最大.]
3.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时;
生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A,产品B的利润之和的最大值为________元.
216000 [设生产A产品x件,B产品y件,根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件,得线性约束条件为
目标函数z=2100x+900y.
作出可行域为图中的四边形,包括边界,顶点为(60,100),(0,200),(0,0),(90,0),在(60,100)处取得最大值,zmax=2100×
60+900×
100=216000(元).]
4.设函数f(θ)=
sinθ+cosθ,其中角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边经过点P(x,y),且0≤θ≤π.若点P(x,y)为平面区域Ω:
上的一个动点,则函数f(θ)的最大值和最小值分别为__________.
2,1 [作出平面区域Ω(即三角形区域ABC),如图中阴影部分所示,其中A(1,0),B(1,1),C(0,1),于是0≤θ≤
.
又f(θ)=
sinθ+cosθ=2sin
,且
≤θ+
≤
,故当θ+
=
,即θ=
时,f(θ)取得最大值,且最大值等于2;
当θ+
,即θ=0时,f(θ)取得最小值,且最小值等于1.]
5.某人有楼房一幢,室内面积共180m2,拟分隔成两类房间作为旅游客房,大房间每间面积为18m2,可住游客5名,每名游客每天住宿费为40元,小房间每间面积为15m2,可住游客3名,每名游客每天住宿费为50元,装修大房间每间需要1000元,装修小房间每间需要600元,如果此人只能筹8000元用于装修,且游客能住满客房,他应隔出大房间和小房间各多少间,能获最大利益?
[解] 设应隔出大房间x间和小房间y间,则
目标函数为z=5×
40x+3×
50y,
作出约束条件可行域:
根据目标函数z=200x+150y,
作出一组平行线200x+150y=t,
当此线经过直线18x+15y=180和直线1000x+600y=8000的交点C
时,目标函数取最大值为
,
由于
不是整数,所以经过整点(3,8)时,才是它的最优解,同时经过整点(0,12)也是最优解,即应隔大房间3间,小房间8间,或者隔大房间0间,小房间12间,所获利益最大.如果考虑到不同客人的需要,应隔大房间3间,小房间8间.
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