创新方案第十二章 第1讲 机械振动Word格式文档下载.docx
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运动学表达式x=Asin(ωt+φ)。
3.描述简谐运动的物理量
(1)位移x:
由平衡位置指向质点所在的位置的有向线段表示振动位移,是矢量。
(2)振幅A:
振动物体离开平衡位置的最大距离,表示振动的强弱,是标量。
(3)周期T和频率f:
做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间叫周期,而频率则等于单位时间内完成全振动的次数,它们是表示振动快慢的物理量,二者互为倒数关系。
4.简谐运动的图象
(1)物理意义:
表示振动物体的位移随时间变化的规律。
(2)从平衡位置开始计时,函数表达式为x=Asin_ωt,图象如12-1-1甲图所示。
从正的最大位移处开始计时,函数表达式为x=Acos_ωt,图象如图乙所示。
图12-1-1
5.简谐运动的能量
简谐运动过程中动能和势能相互转化,机械能守恒,振动能量与振幅有关,振幅越大,能量越大。
1.简谐运动的五个特征:
(1)动力学特征:
F=-kx,“-”表示回复力的方向与位移方向相反,k是比例系数,不一定是弹簧的劲度系数。
(2)运动学特征:
简谐运动的加速度大小与物体偏离平衡位置的位移大小成正比,而方向与位移方向相反,为变加速运动。
远离平衡位置时,x、F、a、Ep均增大,v、Ek均减小,靠近平衡位置时则相反。
(3)运动的周期性特征:
相隔T或nT的两个时刻振子处于同一位置且振动状态相同。
(4)对称性特征:
①相隔
或
(n为正整数)的两个时刻,振子位置关于平衡位置对称,位移、速度、加速度大小相等,方向相反。
②如图12-1-2所示,振子经过关于平衡位置O对称的两点P、P′(OP=OP′)时,速度的大小、动能、势能相等,相对于平衡位置的位移大小相等。
图12-1-2
③振子由P到O所用时间等于由O到P′所用时间,即tPO=tOP′。
④振子往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等,即tOP=tPO。
(5)能量特征:
振动的能量包括动能Ek和势能Ep。
简谐运动过程中,系统动能与势能相互转化,系统的机械能守恒。
2.对简谐运动的图象的理解
(1)图象的意义:
①简谐运动的图象是一条正弦或余弦曲线,如图12-1-3所示。
图12-1-3
②图象反映的是位移随时间的变化规律,随时间的增加而延伸,图象不代表质点运动的轨迹。
③任一时刻图线上过该点切线的斜率数值表示该时刻振子的速度大小。
正负表示速度的方向,正时沿x正方向,负时沿x负方向。
(2)由图象获得的信息:
①由图象可以看出振幅、周期。
②可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移。
③可以根据图象确定某时刻质点回复力、加速度和速度的方向。
回复力和加速度的方向总是与位移的方向相反,指向平衡位置;
速度的方向可以通过下一时刻位移的变化来判定,下一时刻位移若增加,则质点的运动方向就远离平衡位置;
下一时刻的位移若减小,则质点的运动方向就指向平衡位置。
1.如图12-1-4所示为弹簧振子P在0~4s内的振动图象,从t=4s开始( )
图12-1-4
A.再过1s,该振子的位移是正的最大
B.再过1s,该振子的速度方向沿正方向
C.再过1s,该振子的加速度方向沿正方向
D.再过1s,该振子的加速度最大
解析:
选AD 振动图象描述质点在各个时刻离开平衡位置的位移的情况。
依题意,再经过1s,将振动图象延伸到正x最大处。
这时振子的位移为正的最大,速度为0,故A项正确,B项错误;
因为回复力与位移成正比且方向与位移方向相反,所以此时回复力最大且方向为负方向,故振动物体的加速度最大且方向为负方向,故C项错误,D项正确。
单 摆
图12-1-5
1.定义
在细线的一端拴一个小球,另一端固定在悬点上,如果线的伸长和质量都不计,球的直径比摆线短得多,这样的装置叫做单摆。
2.视为简谐运动的条件
摆角小于10°
。
3.回复力
小球所受重力沿切线方向的分力,即:
F=G2=Gsinθ=
x,F的方向与位移x的方向相反。
4.周期公式
T=2π
5.单摆的等时性
单摆的振动周期取决于摆长l和重力加速度g,与振幅和振子(小球)质量都没有关系。
1.单摆的回复力
是重力沿切线方向的分力,并非重力和拉力的合力。
但在最大位移处回复力也可以说成是拉力和重力的合力,其他位置,拉力与重力沿摆线方向的分力不平衡,它们的合力充当向心力,故不能说回复力是拉力和重力的合力。
2.平衡位置
是回复力为零的位置,但单摆在摆动过程中该位置受力并不平衡,其合力为向心力。
这一点与弹簧振子不同。
3.周期公式T=2π
的理解与运用
(1)l为等效摆长,表示从悬点到摆球重心的距离,要区分摆长和摆线长,悬点实质为摆球摆动所在圆弧的圆心。
(2)测重力加速度g。
只要测出单摆的摆长l,周期T,就可以根据g=4π2
,求出当地的重力加速度g。
2.(2011·
上海高考)两个相同的单摆静止于平衡位置,使摆球分别以水平初速v1、v2(v1>
v2)在竖直平面内做小角度摆动,它们的频率与振幅分别为f1、f2和A1、A2,则( )
A.f1>
f2,A1=A2 B.f1<
f2,A1=A2
C.f1=f2,A1>
A2D.f1=f2,A1<
A2
选C 单摆的频率由摆长决定,摆长相等、频率相等,故A、B错误;
由于机械能守恒,小球在平衡位置速度越大,其振幅也越大,故C正确,D错误。
受迫振动和共振
1.受迫振动
(1)概念:
振动系统在周期性外力作用下的振动。
(2)特点:
受迫振动的频率等于驱动力的频率,跟系统的固有频率无关。
2.共振
(1)现象:
当驱动力的频率等于系统的固有频率时,受迫振动的振幅最大。
(2)条件:
驱动力的频率等于振动系统的固有频率。
(3)特征:
共振时振幅最大。
(4)共振曲线:
如图12-1-6所示
图12-1-6
(1)共振曲线的理解:
如图12-1-7所示,横坐标为驱动力频率f驱,纵坐标为振幅A。
它直观地反映了驱动力频率对受迫振动振幅的影响。
由图可知,f驱与f固越接近,振幅A越大,当f驱=f固时,振幅A最大。
图12-1-7
(2)受迫振动中系统能量的转化:
受迫振动系统机械能不守恒,系统与外界时刻进行能量交换。
(3)发生共振时,驱动力对振动系统总是做正功,总是向系统输入能量,使系统的机械能逐渐增加,振动物体的振幅逐渐增大。
当驱动力对系统做的功与系统克服阻力做的功相等时,振动系统的机械能不再增加,振幅达到最大。
(4)几种振动形式的比较:
振动
类型
项目
自由振动
受迫振动
共振
受力情况
仅受回复力
周期性驱动力作用
振动周期或频率
由系统本身性质决定,即固有周期或固有频率
由驱动力的周期或频率决定,即T=T驱或f=f驱
T驱=T固或f驱=f固
振动能量
振动物体的机械能不变
由产生驱动力的物体提供
振动物体获得的能量最大
常见例子
弹簧振子或单摆(θ<
5°
)
机械工作时底座发生的振动
共振筛、转速计等
3.某振动系统的固有频率为f0,在周期性驱动力的作用下做受迫振动,驱动力的频率为f。
若驱动力的振幅保持不变,下列说法正确的是( )
A.当f<
f0时,该振动系统的振幅随f增大而减小
B.当f>
f0时,该振动系统的振幅随f减小而增大
C.该振动系统的振动稳定后,振动的频率等于f0
D.该振动系统的振动稳定后,振动的频率等于f
选BD 受迫振动的振幅A随驱动力的频率变化规律如图所示,显然A错,B对。
稳定时系统的频率等于驱动力的频率,即C错,D对。
简谐运动的公式和图象
[命题分析] 本考点为高考Ⅱ级要求,是高考热点,主要考查简谐运动的公式和对图象的理解,以选择题或计算题呈现。
[例1] 有一弹簧振子在水平方向上的BC之间做简谐运动,已知BC间的距离为20cm,振子在2s内完成了10次全振动。
若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t=0),经过
周期振子有正向最大加速度。
图12-1-8
(1)求振子的振幅和周期;
(2)在图12-1-8中作出该振子的位移—时间图象;
(3)写出振子的振动方程。
[解析]
(1)振幅A=10cm,T=
=0.2s。
(2)四分之一周期时具有正的最大加速度,故有负向最大位移,如图所示
(3)设振动方程为y=Asin(ωt+φ)
当t=0时,y=0,则sinφ=0
得φ=0,或φ=π,当再过较短时间,y为负值,所以φ=π
所以振动方程为y=10sin(10πt+π)cm
[答案]
(1)10cm 0.2s
(2)图见解析
(3)y=10sin(10πt+π)cm
—————
———————————————————————————
作简谐运动的图象或写出简谐运动的方程,需知道三个条件:
即振幅、周期及初始位置(即初相位)。
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[互动探究]
本题中振子从t=0时刻到t=0.05s时刻这段时间内,其加速度、动能和弹性势能各是怎样变化的?
该振子在前2s内的总位移是多少?
通过的路程是多少?
振子在t=0到t=0.05s内,离平衡位置的位移越来越大,故加速度越来越大,动能越来越小,弹性势能越来越大。
经2s振子完成10次全振动,回到原位置。
故总位移为零,通过的路程为10×
4A=10×
4×
0.1m=4m。
答案:
加速度变大,动能变小,弹性势能变大 2s内位移是零,路程是4m
简谐运动的周期性与对称性
[命题分析] 本考点为高考热点,主要考查对简谐运动的周期性和对称性的理解,以选择题呈现。
[例2] 一简谐振子沿x轴振动,平衡位置在坐标原点。
t=0时刻振子的位移x=-0.1m;
t=
s时刻x=0.1m;
t=4s时刻x=0.1m。
该振子的振幅和周期可能为( )
A.0.1m,
s B.0.1m,8s
C.0.2m,
sD.0.2m,8s
[解析] 若振子的振幅为0.1m,
(s)=(n+
)T,则周期最大值为
s,A项正确,B项错;
若振子的振幅为0.2m,由简谐运动的对称性可知,当振子由x=-0.1m处运动到负向最大位移处再反向运动到x=0.1m处,再经n个周期时所用时间为
s,则(
+n)T=
(s),所以周期的最大值为
s,且t=4s时刻x=0.1m,故C项正确;
当振子由x=-0.1m经平衡位置运动到x=0.1m处,再经n个周期时所用时间为
(s),所以此时周期的最大值为8s,且t=4s时,x=0.1m,故D项正确。
[答案] ACD
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(1)由于简谐运动具有周期性、往复性、对称性,因此涉及简谐运动时,往往出现多解。
分析此类问题时,特别应注意,物体在某一位置时,位移是确定的,而速度不确定,时间也存在周期性关系。
(2)相隔(2n+1)
的两个时刻振子的位置关于平衡位置对称,位移、速度、加速度等大反向。
[变式训练]
1.某质点做简谐运动,其位移随时间变化的关系式为x=Asin
t,则质点( )
A.第1s末与第3s末的位移相同
B.第1s末与第3s末的速度相同
C.3s末至5s末的位移方向都相同
D.3s末至5s末的速度方向都相同
选AD 由x=Asin
t知周期T=8s。
第1s末、第3s末、第5s末分别相差2s,恰好是
个周期。
根据简谐运动图象中的对称性可知A、D选项正确。
受迫振动与共振
[命题分析] 本考点考纲Ⅰ级要求,主要考查对受迫振动与共振的概念的理解,以选择题形式呈现。
[例3] (2013·
江西重点中学联考)如图12-1-9所示,曲轴上挂一个弹簧振子,转动摇把,曲轴可带动弹簧振子上下振动。
开始时不转动摇把,让振子自由振动,测得其频率为2Hz。
现匀速转动摇把,转速为240r/min。
则( )
图12-1-9
A.当振子稳定振动时,它的振动周期是0.5s
B.当振子稳定振动时,它的振动频率是4Hz
C.当转速增大时,弹簧振子的振幅增大
D.当转速减小时,弹簧振子的振幅增大
[解析] 摇把匀速转动的频率f=n=
Hz=4Hz,周期T=
=0.25s,当振子稳定振动时,它的振动周期及频率均与驱动力的周期及频率相等,A错误,B正确。
当转速减小时,其频率将更接近振子的固有频率2Hz,弹簧振子的振幅将增大,C错误,D正确。
[答案] BD
(1)无论发生共振与否,受迫振动的频率都等于驱动力的频率,但只有发生共振现象时振幅才能达到最大。
(2)受迫振动系统中的能量转化不再只有系统内部动能和势能的转化,还有驱动力对系统做正功补偿系统因克服阻力而损失的机械能。
[变式训练]
2.如图12-1-10所示,两个弹簧振子悬挂在同一支架上,已知甲弹簧振子的固有频率为8Hz,乙弹簧振子的固有频率为72Hz,当支架在受到竖直方向且频率为9Hz的驱动力作用下做受迫振动时,两个弹簧振子的振动情况是( )
图12-1-10
A.甲的振幅较大,且振动频率为8Hz
B.甲的振幅较大,且振动频率为9Hz
C.乙的振幅较大,且振动频率为9Hz
D.乙的振幅较大,且振动频率为72Hz
选B 甲、乙两个弹簧振子均做受迫振动,其振动频率为驱动力的频率9Hz,又因甲的固有频率为8Hz,接近驱动力的频率,故甲的振幅较大。
B正确。
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