突破01 集合中的含参问题举一反三解析版Word格式.docx
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看是否满足集合中元素的特点:
互异性,以此来获得最终答案.
由于5∈A,且A={2,3,a2+2a﹣3},
∴a2+2a﹣3=5,即a2+2a﹣8=0解得a=2或﹣4,
又当a=2时,B={5,2}不符合条件5∉B,所以a=2不符合题意;
当a=﹣4时,B={1,2},符合条件5∉B,所以a=﹣4为所求.
故答案为a=﹣4.
【练1.3】已知集合A={(x,y)|2x﹣y+m>0},B={(x,y)|x+y﹣n≤0},若点P(2,3)
∈A,且P(2,3)∉B,求m、n的取值范围.
【思路分析】将P(2,3)的坐标代入不等式从而求出m,n的范围即可.
将点(2,3)代入A中的不等式得到:
4﹣3+m>0,解得:
m>﹣1;
因为点(2,3)不在B中,
所以将点(2,3)代入B中的不等式得到:
2+3﹣n≤0不成立,
即2+3﹣n>0,
解得:
n<5.
【考查角度2集合中元素个数的含参问题】
此类题型一般为已知一元一次或二次方程解集中元素个数求参,常利用根的判别式求解.
第1步,对方程的二次项系数是否为零进行讨论;
第2步,当方程的二次项系数不为零时,利用根的判别式进行求解;
要注意两点,一是解集是否可能为空集,二是二次项系数是否为0.
【例2】若集合A={x|x2+ax+b=x}中,仅有一个元素a,求a、b的值.
【思路分析】根据集合中有一个元素a可知a是方程x2+ax+b=x的根,建立等式关系,然后再
根据“仅有”,利用判别式建立等式关系,解之即可.
∵集合A={x|x2+ax+b=x}中,仅有一个元素a,
∴a2+a2+b=a且△=(a﹣1)2﹣4b=0
解得a=
,b=
.
故a、b的值分别为
,
.
【练2.1】设集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}
(1)当A中元素个数为1时,求:
a和A;
(2)当A中元素个数至少为1时,求:
a的取值范围;
(3)求:
A中各元素之和.
(1)推导出a=0或
,由此能求出a和A.
(2)当A中元素个数至少为1时,a=0或
,由此能求出a的取值范围.
(3)当a=0时,A中元素之和为
;
当a<1且a≠0时,A中元素之和为
当a=1时,A中元素之和为﹣1;
当a>1时,A中无元素.
(1)∵集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R},A中元素个数为1,
∴a=0或
解得a=0,A={
}或a=1,A={﹣1}.
(2)当A中元素个数至少为1时,
a=0或
,解得a≤1,
∴a的取值范围是(﹣∞,1].
【练2.2】已知集合A={x∈R|ax2﹣3x+2=0,a∈R}.
(1)若A是空集,求a的取值范围;
(2)若A中只有一个元素,求a的值,并把这个元素写出来;
(3)若A中至多只有一个元素,求a的取值范围.
(1)A为空集,表示方程ax2﹣3x+2=0无解,根据一元二次方程根的个数与△的关系,我们易得到一个关于a的不等式,解不等式即可得到答案.
(2)若A中只有一个元素,表示方程ax2﹣3x+2=0为一次方程,或有两个等根的二次方程,分别构造关于a的方程,即可求出满足条件的a值.
(3)若A中至多只有一个元素,则集合A为空集或A中只有一个元素,由
(1)
(2)的结论,将
(1)
(2)中a的取值并进来即可得到答案.
(1)若A是空集,
则方程ax2﹣3x+2=0无解
此时△=9﹣8a<0
即a>
(2)若A中只有一个元素
则方程ax2﹣3x+2=0有且只有一个实根
当a=0时方程为一元一次方程,满足条件
当a≠0,此时△=9﹣8a=0,解得:
a=
∴a=0或a=
若a=0,则有A={
};
若a=
,则有A={
(3)若A中至多只有一个元素,
则A为空集,或有且只有一个元素
由
(1),
(2)得满足条件的a的取值范围是:
a=0或a≥
【练2.3】已知集合A={x|ax2﹣2x+1=0}.
(1)若A中恰好只有一个元素,求实数a的值;
(2)若A中至少有一个元素,求实数a的取值范围.
(1)讨论当a=0和a≠0时对应的条件.
(2)根据A中至少有一个元素,转化为方程至少含有一个根进行求解.
(1)若A中恰好只有一个元素,则方程ax2﹣2x+1=0只有一个解.
当a=0时,方程ax2﹣2x+1=0等价为﹣2x+1=0,即x=
,满足条件.
当a≠0,判别式△=4﹣4a=0,解得a=1.
所以a=0或a=1.
(2)若A中至少有一个元素,则由
(1)知,当集合只有一个元素时a=0或a=1.
当集合A有2个元素时,满足条件a≠0且△=4﹣4a>0,解得a<1且a≠0.
综上实数a的取值范围a≤1.
【考查角度3集合基本关系中的含参问题】
由两个集合间的包含关系求参是一种常见题型,常利用子集的知识将问题转化为解方程(组)或不等式(组)求解.
第1步确定两个集合中谁是谁的子集;
第2步,若集合是有限极或离散型无限极,常依据集合间的包含关系,转化为解方程(组)求解,若集合是连续型无限极,常借助数轴转化为不等式(组)求解;
第3步,综合各分类讨论的结果,得到最终参数的取值;
要注意两点,一是注意对子集是否为空集进行讨论,二是注意集合中元素的互异性及端点值能否取到.
【例3】已知集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},C={x|x<a}.
(1)求A∪B;
(2)若A⊆C,求a的取值范围.
(1)根据集合的基本运算即可求A∪B;
(2)根据A⊆C,数形结合即可求实数a
的取值范围.
(1)集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},借助于数轴和集合并集的定义知A∪B={x|2<x<10};
(2)若A⊆C,集合C中包含集合A的所有元素,由数轴可知:
a≥7;
故答案为:
(1)A∪B={x|2<x<10};
(2)若A⊆C,a的取值范围是{a|a≥7};
【练3.1】设集合A={x|a﹣1<x<2a,a∈R},不等式x2﹣2x﹣8<0的解集为B.
(1)当a=0时,求集合A,B;
(2)当A⊆B时,求实数a的取值范围.
(1)由二次不等式的解法得:
A=
,B=
(2)由集合间的包含关系及空集的定义得:
讨论①A=∅,即2a≤a﹣1,即a≤﹣1,符合题意,②A≠∅,有
,解得:
﹣1<a≤2,综合①②得:
a≤2,得解
(1)当a=0时,A=
解不等式x2﹣2x﹣8<0得:
﹣2<x<4,即B=
(2)若A⊆B,则有:
①A=∅,即2a≤a﹣1,即a≤﹣1,符合题意,
②A≠∅,有
﹣1<a≤2,
综合①②得:
a≤2
【练3.2】方程x2﹣x﹣m=0在(﹣1,1)上有解.
(1)求满足题意的实数m组成的集合M;
(2)设不等式(x﹣a)(x+a﹣2)<0的解集为N,若M⊆N,求a的取值范围.
(1)根据方程有解转化为一元二次函数,求出对应的值域即可
(2)结合一元二次不等式的解法求出对应的解集N,结合集合关系进行求解即可
(1)∵x2﹣x﹣m=0在(﹣1,1)上有解.
∴x2﹣x=m在(﹣1,1)上有解.
设f(x)=x2﹣x=(x﹣
)2﹣
∵﹣1<x<1,∴最小值为﹣
最大值为f(﹣1)=2,即﹣
≤f(x)<2,
即﹣
≤m<2
(2)当a=1时,解集N为空集,不满足题意.
当a>1时,a>2﹣a,此时集合N=(2﹣a,a),若M⊆N
则
,解得a>
当a<1时,a<2﹣a,此时集合N=(a,2﹣a),若M⊆N
,解得a<﹣
综上,a>
或a<﹣
【练3.3】已知集合A={x|2a≤x≤a2+1},B={x|x2﹣3(a+1)x+2(3a+1)≤0},其中a∈R.
(Ⅰ)若4∈A,5∉A,求a的取值范围;
(Ⅱ)若A⊆B,求a的取值范围.
(1)由题意知,4∈A,5∉A,代入A集合得a的取值范围
(2)先讨论两根大小得B集合,再由包含关系得a的取值范围
【答案】
(Ⅰ)因为4∈A,所以2a≤4≤a2+1,解得a≤﹣√3或√3≤a≤2.
若5∈A,2a≤5≤a2+1,解得a≤﹣2或2≤a≤
又5∉A,所以﹣2<a<2或a>
故﹣2<a≤﹣√3或√3≤a<2.
(Ⅱ)B={x|(x﹣2)[x﹣(3a+1)]≤0
当3a+1=2,即a=
时,B={2},不合题意.
当3a+1<2,即a<
时,
,解得a=﹣1.
当3a+1>2,即a>
,解得1≤a≤3.
综上知,a=﹣1或1≤a≤3.
【考查角度4集合基本运算中的含参问题】
这类问题一般通过观察得到不同集合间元素之间的关系,再列方程组或不等式组求解.
第1步,通过集合运算得到各集合间的关系;
第2步利用各集合间的关系列方程组或不等式组求解;
第3步综合各分类讨论的结果得到最终参数的取值.
要注意对求解结果进行检验,防止违背集合中元素有关特性,尤其是互异性.
【例4】已知集合A={x|x≤﹣3或x≥2},B={x|1<x<5},C={x|m﹣1≤x≤2m}
(1)求A∩B,(∁RA)∪B;
(2)若B∩C=C,求实数m的取值范围.
(1)根据交集、补集和并集的定义计算即可;
(2)由B∩C=C知C⊆B,讨论m的取值情况,求出满足条件的m取值范围.
(1)集合A={x|x≤﹣3或x≥2},B={x|1<x<5},
∴A∩B={x|2≤x<5},
∁RA={x|﹣3<x<2},
∴(∁RA)∪B={x|﹣3<x<5};
(2)∵B∩C=C,∴C⊆B,
又C={x|m﹣1≤x≤2m},
①当C=∅时,m﹣1>2m,解得m<﹣1;
②当C≠∅时,
,2<m<
【练4.1】已知集合A={x|﹣3<x<2},B={x|0≤x<5},C={x|x<m},全集为R.
(1)求A∩(∁RB);
(2)若(A∪B)⊆C,求实数m的取值范围.
(1)进行补集、交集的运算即可;
(2)可求出A∪B={x|﹣3<x<5},根据(A∪B)⊆C即可得出m≥5,即得出m的范围.
(1)∁RB={x|x<0,或x≥5};
∴A∩(∁RB)={x|﹣3<x<0};
(2)A∪B={x|﹣3<x<5};
∴(A∪B)⊆C;
∴m≥5;
【练4.2】设全集为U=R,集合A={x|(x+3)(x﹣6)≥0},B={x||x﹣6|<6}.
(Ⅰ)求A∩∁RB;
(Ⅱ)已知C={x|2a<x<a+1},若C∪B=B,求实数a的取值范围.
(Ⅰ)由二次不等式的解法、绝对值不等式的解法得:
A={x|x≤﹣3或x≥6},B={x|0<x<12},由集合的交、并、补运算得:
∁RB={x|x≤0或x≥12},即A∩∁RB={x|x≤﹣3或x≥12},
(Ⅱ)由集合间的包含关系得:
因为C∪B=B,即C⊆B,讨论①若C=φ时,②若C≠φ时,即可得解.
(Ⅰ)解二次不等式(x+3)(x﹣6)≥0得:
x≤﹣3或x≥6,
即A={x|x≤﹣3或x≥6},
解绝对值不等式|x﹣6|<6得:
0<x<12,
即B={x|0<x<12},
所以∁RB={x|x≤0或x≥12},
所以A∩∁RB={x|x≤﹣3或x≥12},
{x|x≤﹣3或x≥12};
(Ⅱ)因为C∪B=B,即C⊆B
①若C=φ时,即2a≥a+1即a≥1满足题意.
②若C≠φ时,2a<a+1即a<1,
若C⊆B,则
,即0≤a≤11,
又a<1,
所以0≤a<1,
综合①②可得:
实数a的取值范围为:
a≥0,
a≥0.
【练4.3】已知全集U=R,集合A={x|(x﹣2)(x﹣9)<0},B={x|﹣2﹣x≤0≤5﹣x}.
(1)求A∩B,B∪(∁UA).
(2)已知集合C={x|a≤x≤2﹣a},若C∪(∁UB)=R,求实数a的取值范围.
(1)可解出A={x|2<x<9},B={x|﹣2≤x≤5},然后进行交集、补集和并集的运算即可;
(2)可得出∁UB={x|x<﹣2,或x>5},这样根据C∪(∁UB)=R即可得出
,解出a的范围即可.
(1)A={x|2<x<9},B={x|﹣2≤x≤5};
∴A∩B={x|2<x≤5},∁UA={x|x≤2,或x≥9},B∪(∁UA)={x|x≤5,或x≥9};
(2)∁UB={x|x<﹣2,或x>5},C={x|a≤x≤2﹣a},且C∪(∁UB)=R;
∴
解得a≤﹣3;
【趁热打铁】
1.已知集合M={﹣2,3x2+3x﹣4,x2+x﹣4},若2∈M,求x的值.
【思路分析】由已知2是集合M的元素,分类讨论列出方程,求出x的值,将x的值代入集合,检验集合的元素需满足互异性.
当3x2+3x﹣4=2时,3x2+3x﹣6=0,x2+x﹣2=0,
x=﹣2或x=1.经检验,x=﹣2,x=1均不合题意.
当x2+x﹣4=2时,x2+x﹣6=0,x=﹣3或2.经检验,x=﹣3或x=2均合题意.
∴x=﹣3或x=2.
2.已知不等式3x+2>0的解集为M.
(1)试判断元素﹣1,0与集合M的关系;
(2)若a﹣1是集合M中的元素,求a的取值范围.
(1)据题意即可得出,从而可判断元素﹣1,0和集合M的关系;
(2)若a﹣1是集合M的元素,则a满足
(1)
∴﹣1∉M,0∈M;
(2)∵a﹣1∈M;
3.已知集合M={x∈R,|px2﹣2x+3=0,x∈R}.
(1)若M中只有一个元素,求实数p的值,并求出相应的集合M;
(2)若M中最多有一个元素,求实数p的取值范围.
(1)当p=0时,解得x=
,符合题意,当p≠0时,只需△=0,求解即可得答案;
(2)M中最多有一个元素包括M中只有一个元素和M空集两种情况,分类讨论即可求得答案.
(1)若M中只有一个元素,当p=0时,原方程化为﹣2x+3=0,解得x=
,符合题意,
当p≠0时,只需△=4﹣12p=0,即p=
,由
x2﹣2x+3=0,解得x=3,即M={3}.
当p=0时,M={x|
},
综上,p=
时,M={3}或p=0时,M={
}.
(2)若M中最多有一个元素,当p=0时,解得
当p≠0时,△≤0,即4﹣12p≤0,解得p≥
综上,实数p的取值范围为:
p=0或p≥
4.已知集合A={x|ax2+2x+1=0,x∈R},a为实数.
(2)若A是单元素集,求a的值;
(1)解集是空集,即方程无解,所以判别式小于零;
(2)分a=0与a≠0两种情况讨论;
(3)可考虑研究有两个元素的情况,求其补集即可.
【答案】解
(1)若A=Φ,则只需ax2+2x+1=0无实数解,显然a≠0,所以只需△=4﹣4a<0,即a>1即可.
(2)当a=0时,原方程化为2x+1=0解得x=﹣
当a≠0时,只需△=4﹣4a=0,即a=1,故所求a的值为0或1;
(3)综合
(1)
(2)可知,A中至多有一个元素时,a的值为0或a≥1.
【点评】本题以集合为载体,考查了一元二次方程的解得个数的判断问题,要注意对最高次数项是否为零的讨论.
5.已知命题A={x|x2﹣2x﹣8<0},B=
(1)若A∩B=(2,4),求m的值;
(2)若B⊆A,求m的取值范围.
【思路分析】分别化简得A={x|﹣2<x<4},B={x|m﹣3<x<m}.
(1)由A∩B=(2,4)可得m﹣3=2且m≥4,解出即可.
(2)由B⊆A,即
,解得即可.
化简得A={x|﹣2<x<4},B={x|m﹣3<x<m}.
(1)∵A∩B=(2,4),∴m﹣3=2且m≥4,则m=5.
(2)∵B⊆A,即
,解得1≤m≤4.
∴m的取值范围是1≤m≤4.
6.已知集合M={x|x2﹣(a+1)x+a<0},N={x|1<x<3},且M⊊N,求实数a的取值范围.
【思路分析】由题意可知,M={x|(x﹣a)(x﹣1)<0}且M⊆N,分类讨论①当M=∅时,②当M≠∅时,分别进行求解
由题意可知,M={x|(x﹣a)(x﹣1)<0}
∵N={x|1<x<3},且M⊆N,
①当M=∅时,a=1,满足题意
②当M≠∅时,由M⊆N,可知M={x|1<x<a}
∴1<a<3
综上可得,实数a的取值范围{a|1≤a<3}
7.已知集合A={x|a﹣1<x<a+3},B={x|﹣2≤x≤1}
(1)当a=0时,求A∪B;
(2)若B⊆(A∩B),求实数a的取值范围.
(1)根据集合的基本运算及a=0即可求A∪B,
(2)根据B⊆(A∩B),则有:
B⊆A,建立条件关系即可求实数a的取值范围.
已知集合A={x|a﹣1<x<a+3},B={x|﹣2≤x≤1}
(1)当a=0时,有:
A={x|﹣1<x<3},
A∪B={x|﹣1<x<3}∪{x|﹣2≤x≤1}={x|﹣2≤x<3};
(2)若B⊆(A∩B),则有:
B⊆A,
所以:
a﹣1<﹣2,且a+3>1;
﹣2<a<﹣1;
实数a的取值范围是:
{a|﹣2<a<﹣1}.
8.已知全集U=R,集合A={x|﹣3≤x<5},B={x|a+1<x≤2a﹣1}
(1)若A∩B=∅,求a的取值范围
(2)若B≠∅,(∁UA)∩(∁UB)=∁UA,求a的取值范围
(1)根据题意,分2种情况讨论:
①,当a+1≥2a﹣1,即a≤2时,此时B=∅,满足A∩B=∅,②,当a+1<2a﹣1,即a>2时,B≠∅,有a+1≥5或2a﹣1<﹣3,求出a的取值范围,综合即可得答案;
(2)根据题意,先利用B≠∅可得a+1<2a﹣1,由集合的包含关系可得(∁UA)∩(∁UB)=∁UA,则∁UA⊆∁UB,即B⊆A,思路分析可得a+1≥﹣3或2a﹣1<5,解可得a的取值范围,综合即可得答案.
(1)分2种情况讨论:
①,当a+1≥2a﹣1,即a≤2时,此时B=∅,满足A∩B=∅,
②,当a+1<2a﹣1,即a>2时,有a+1≥5或2a﹣1<﹣3,
解可得a≥4,
综合可得:
a≤2或a≥4;
(2)若B≠∅,则有a+1<2a﹣1,解可得a>2;
若(∁UA)∩(∁UB)=∁UA,则∁UA⊆∁UB,即B⊆A,
则有a+1≥﹣3或2a﹣1<5,
解可得:
2<a<3.
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