树状图和表格法求概率Word下载.docx
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采用模拟试验的方法估计事件发生的概率。
替代物与被替代物的形状大小等可以差别很大,但是不能影响试验结果。
8、模拟试验的应用
(1)概率是对随机现象的一种数学描述,它可以帮助我们更好的认识随机现象,并对生活中的一些不确定情况作出自己的决策。
(2)在随机事件中,大量的偶然中存在着必然的规律,因此我们可以通过大量重复试验,用一个事件发生的频率来估计这个事件发生的概率。
(3)通过模拟试验能估计事件所有可能的结果总数n和其中事件A发生的可能的结果数m.
(4)估计概率时,要看频率随试验次数增加是否趋于稳定,不能随便取其中一个频率去估计。
题型一用频率估测概率
例1三张除字母外完全相同的纸牌,其正面上的字母分别是A、A、K,每次抽一张为试验一次,经过多次试验后,结果汇总表如下:
试验总次数
10
20
50
100
200
300
400
500
...
摸出A的频数
7
13
28
172
198
276
66
摸出A的频率
75%
62%
(1)将上述表格补充完整;
(2)观察表格,估计摸到A的概率;
(3)求摸到A的概率.
【过关练习】
1、一粒木质中国象棋子“兵”,它的正面雕刻一个“兵”字,它的反面是年平的.将它从一定高度下掷,落地反弹后可能是“兵”字面朝上,也可能是“兵”字面朝下.由于棋子的两面不均匀,为了估计“兵”字面朝上的概率,某实验小组做了棋子下掷实验,实验数据如下表:
实验次数
40
60
80
120
140
160
“兵”字面朝上频数
14
38
47
52
78
88
相应频率
0.7
0.45
0.63
0.59
0.52
0.56
0.55
(1)请将数据补充完整;
(2)画出“兵”字面朝上的频率分布折线图;
(3)如果实验继续进行下去,根据上表的数据,这个实验的频率将稳定在它的概率附近,请你估计这个概率是多少?
2、林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率,下表是这种幼树在移植过程中的一组数据:
移植的棵数n
1000
1500
2500
4000
8000
15000
20000
30000
成活的棵数m
865
1356
2220
3500
7056
13170
17580
26430
成活的频率
0.865
0.904
0.888
0.875
0.882
0.878
0.879
0.881
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为.
3、做重复试验:
抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次,经过统计得“凸面向上”的概率约为0.44,则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“四面向上”的概率约为().
A.0.22B.0.44C.0.50D.0.56
题型二抽取法估测数目
【例1】有1个不透明的口袋中有10个白球和若干个黑球,它们除颜色外完全相同,如果不允许将球倒出来数,如何估计其中黑球数呢?
两位同学是如下操作的.
小芳:
从口袋中随机摸出一球,记下其颜色,再把它放回口袋中,不断重复上述过程,她共摸了100次,其中有81次摸到黑球.
小明:
利用抽样调查方法,从口袋中一次摸出10个球,求出其中白球数与10的比值,再把球放回口袋中,不断重复上述过程,他总共摸了10次,白球数与10的比值如下:
问:
(1)小芳估计袋中黑球有多少个?
(2)小明估计袋中黑球有多少个?
(3)两位同学操作时每次摸球后,都要放回,如果不放回行吗?
为什么?
【例2】在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只,某学习小组做摸球实验,将球搅匀后从中随机摸出一球记下颜色,再把它放回袋中,不断重复.下表是活动进行中的一组统计数据:
摸球的次数n
150
800
摸到白球的次数m
58
96
116
295
484
601
摸到白球的频率
0.58
0.64
0.605
0.601
(1)请估计:
当n很大时,摸到白球的频率将会接近 _________ ;
(2)假如你去摸一次,你摸到白球的概率是 _________ ,摸到黑球的概率是 _________ ;
(3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只?
1、一个口袋中有8个黑球和若干个白球,若不许将球倒出来数,估计袋中的白球数,小亮采取了如下步骤,利用抽样调查的方法,从口袋中一次摸出10个球,求出黑球数与10的比值,再把球放回袋中,摇匀,不断重复上述过程,总共摸了20次,黑球数与10的比值的平均数为0.25,根据上述材料,你可以估计白球的数目吗?
2、一个不透明的口袋里装有若干除颜色外其他完全相同的小球,其中有6个黄球,将口袋中的球摇匀,从中任意摸出一个球,记下颜色后再放回,通过大量重复上述实验后发现,摸到黄球的频率稳定在30%,由此估计口袋中共有小球
个。
3、为估计鱼塘中鱼数,养鱼者先从鱼塘中捞20条鱼做上标记,然后放归鱼塘,经过一段时间,等有标记的鱼完全混合于鱼群中,再打捞100条鱼,发现其中带标记的鱼有5条,则鱼塘中估计有条鱼.
4、在一个不透明的口袋中,装有a个红球和4个黄球,它们除颜色外没有任何区别,摇匀后从中随机摸出一个球,记下颜色后放回口袋中,摸到黄球的概率是0.2,则a的值是(
)
A.16B.20C.25D.30
题型三模拟实验的选取
【例1】把图中四张纸片放在一个盒子里搅匀,任取两张,看能拼成菱形还是房子(如果是两张三角形,则能拼成菱形;
如果是一张三角形和一张正方形,则能拼成房子).想想看,哪些方法可以用来模拟试验?
通过模拟试验分别估计拼成菱形和拼成房子的概率.
【例2】在用摸球试验来模拟6人中有2人生肖相同的概率的过程中,有如下观点,其中正确的是()
A.摸出的球不能放回B.摸出的球一定放回
C.可放回,可不放回D.不能用摸球试验来模拟此事件
【例3】为验证“掷一枚质地均匀的骰子,向上点数为偶数的概率是0.5”,下列模拟试验中,不科学的是()
A.袋中装有1个红球和1个绿球,它们除颜色外都相同,计算随机摸出红球的概率
B.用计算机随机地取不大于10的正整数,计算取得奇数的概率
C.随机掷一枚质地均匀的硬币,计算正面朝上的概率
D.如图,将一个可自由旋转的转盘分成甲、乙、丙3个相同扇形,转动转盘,停止时计算指针指向甲的概率
1、某次抽签活动设置了如图所示的翻奖牌.
正面
反面
每次抽奖翻开一个数字.
(1)如果用实验进行估计,但又觉得制作翻奖牌太麻烦,能否用简便的模拟实验进行替代?
(2)估计“未中奖”的可能性有多大?
“中奖”的可能性有多大?
你能探索出它们之间的关系吗?
2、不透明的袋中装有3个大小相同的小球,其中2个白色球,1个红色球.从袋中摸出一个球,研究恰好摸出红色小球的机会.采用替代实验方法应选用(
A.用一枚硬币,正面表示“白”,反面表示“红”进行抛掷
B.用一张卡片,正面写上“白”,反面写上“红”进行抛掷
C.用三张卡片,分别写上“白”、“白”、“红”进行抽取
D.用一个盘面平均分成白、红两种颜色的转盘进行旋转
知识点二利用画树状图或列表法求概率
1.列举法
在一次试验中,如果可能出现的结果有两个基本特点:
有限性和等可能性.我们可以通过列举试验结果的方法,求出随机事件发生的概率,这种方法称为列举法.
用列举法求概率的基本步骤:
①列举出一次试验所有等可能的结果数n;
②数出满足要求的结果数m;
③概率
.
2.用树状图或表格求概率
利用树状图或表格,我们可以不重复、不遗漏地列出所有可能的结果,从而比较方便地求出某些事件发生的概率.
(1)画树状图是列举随机事件的所有可能结果的重要方法.树状图法是将试验中的第一步的结果写在第一层,第二步的结果写在第二层以此类推……把事件所有可能的结果一一列出,有利于帮助我们分析问题,并且可以避免出现重复或者遗漏,既形象直观又条理分明.
(2)列表法也是列举随机事件的所有可能结果的一种重要方法,当一次试验涉及两个步骤或两个因素时,将其中一个步骤或因素为行,另一个步骤或因素为列,列出表格,将事件所有可能的结果列在表格中.
用列举法计算概率,一般分为三种情况:
(1)随机事件只需一步步骤完成或只涉及一个因素,可以直接列举出所有等可能性结果,从中找出某事件可能发生的结果数,再利用概率计算公式求出这个事件的概率.
(2)随机事件要经过两步步骤完成或涉及两个因素,一般需要画树状图,或列表格不重复不遗漏地列举出所有等可能性结果,再利用公式计算概率,其中结果的总数较多时,列表格较为便捷.
(3)随机事件要经过三步及以上步骤完成或涉及三个及以上因素,只能画树状图列举出所有等可能结果.
(1)注意等可能性;
(2)注意结果数的变化.
题型一列举法求概率
【例1】在a
2□4a□4空格□中,任意填上“+”或“﹣”,在所有得到代数式中,能构成完全平方式概率是()
A.
B.
C.
D.
【例2】从如图所示的四个带圆圈的数字中,任取两个数字(既可以是相邻也可以是相对的两个数字)相互交换它们的位置,交换一次后能使①、②两数在相对位置上的概率是()
题型二列表法和树状图法求概率
【例1】飞飞和欣欣两位同学到某文具专卖店购买文具,恰好赶上“店庆购物送礼”活动,该文具店设置了A、B、C、D四种型号的钢笔作为赠品,购物者可随机抽取一支,抽到每种型号钢笔的可能性相同。
(1)飞飞购物后,获赠A型号钢笔的概率是多少?
(2)飞飞和欣欣购物后,两人获赠的钢笔型号相同的概率是多少?
1、某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人,则选出的恰为一男一女的概率是__________.
2、从1,2,3,4,5五个数中任意取出2个数做加法,其和为偶数的概率是()
A.
B.
C.
D.
3、学生甲与学生乙玩转盘游戏.如图是两个完全相同的转盘,每个转盘被分成面积相等的四个区域,分别用“1”“2”“3”“4”表示.固定指针,同时转动两转盘,任其自由停止,若两指针所指数字的积为奇数,则甲获胜;
若两指针所指数字的积为偶数,则乙获胜;
若指针指向扇形的分界线,则都重转一次.在该游戏中乙获胜的概率是()
4、掷一枚均匀的骰子,每次试验掷两次,用列表法求两次骰子的点数和为7的概率.
5、明华外出游玩时带了2件上衣(白色、米色)和3条裤子(蓝色、黑色、棕色),他任意拿出一件上衣和一条裤子恰好是白色和黑色的概率是多少?
6、甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛,要从中选出两位同学打第一场比赛。
(1)请用树状图法或列表法,求恰好选中甲、乙两位同学的概率。
(2)若已确定甲打第一场,再从其余三位同学中随机选取一位,求恰好选中乙同学的概率。
题型三游戏公平性
【例1】小明和小刚做摸纸牌游戏.如图,两组相同的纸牌,每组两张,牌面数字分别是2和3,将两组牌背面朝上洗匀后从每组牌中各摸出一张,称为一次游戏.当两张牌的牌面数字之积为奇数,小明得2分,否则小刚得1分.这个游戏对双方公平吗?
请说明理由.
【例2】一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球,分别标有数字1、2、3、4,另有一个可以自由旋转的圆盘。
被分成面积相等的3个扇形区,分别标有数字1、2、3(如图所示)。
小颖和小亮想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛,游戏规则为:
一人从口袋中摸出一个小球,另一个人转动圆盘,如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于4,那么小颖去;
否则小亮去.
(1)用树状图或列表法求出小颖参加比赛的概率;
(2)你认为该游戏公平吗?
请说明理由;
若不公平,请修改该游戏规则,使游戏公平.
1、甲、乙两人用如图所示的两个转盘(两个转盘被分成面积相等的3个扇形)做游戏。
游戏规则:
转动两个转盘各一次,当转盘停止后,指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜;
数字之和为奇数时乙获胜。
若指针落在分界线上,则需要重新转动转盘。
甲获胜的概率是()
2、在一个不透明的口袋中装有3个带号码的球,球号分别为2,3,4,这些球除号码不同外其它均相同.甲、乙两同学玩摸球游戏,游戏规则如下:
先由甲同学从中随机摸出一球,记下球号,并放回搅匀,再由乙同学从中随机摸出一球,记下球号.将甲同学摸出的球号作为一个两位数的十位上的数,乙同学的作为个位上的数.若该两位数能被4整除,则甲胜,否则乙胜.问:
这个游戏公平吗?
题型四概率在生活中的实际应用
【例1】下列说法正确的是()
A.随机抛一枚均匀的硬币,落地后反面一定朝上
B.从1,2,3,4,5中随机取一个数,取得奇数的可能性较大
C.某彩票中奖率为36%,说明买100张彩票,有36张中奖
D.打开电视,中央一套正在播放新闻联播
【例2】袋子里有5双红袜和5双黑袜散放在一起,要从中摸出一双相同颜色的袜子,则至少应摸出()
A.2只B.3只C.4只D.5只
【例3】某超市在“春节”期间开展有奖促销活动,每买100元商品,可参加抽奖一次,中奖的概率为
,小张这期间在该超市买商品获得了三次抽奖机会,则小张()
A.能中奖一次B.能中奖二次
C.至少能中奖一次D.中奖次数不能确定
【例4】某商场搞“真情回报社会”的幸运抽奖活动,最高奖金为每份l万元,平均奖金180元.下面是奖金的分配表:
奖金等级
一等奖
二等奖
三等奖
四等奖
五等奖
奖金额(元)
10000
5000
中奖人数
3
8
89
600
一名顾客抽到一张奖券,奖金数为10元,她调查了周围不少正在兑奖的其他顾客,很少有超过50元的,她气愤地去找商场的领导理论,领导解释说这不存在什么欺骗,平均奖金确实是180元,你认为商场所说的平均奖金是否欺骗了顾客?
此种说法是否能够很好地反映中奖的一般金额?
用你所学的统计与概率的有关知识做简要分析说明.以后再遇上类似抽奖活动的问题,你会更关心什么?
1、下列说法正确的是()
A.袋中有形状、大小、质地完全一样的5个红球和1个白球,从中随机抽出一个球,一定是红球
B.天气预报“明天降水概率10%”,是指明天有10%的时间会下雨
C.某地发行一种福利彩票,中奖率是千分之一,那么,买这种彩票1000张,一定会中奖
D.连续掷一枚均匀硬币,若5次都是正面朝上,则第6次仍然可能正面朝上
2、冰柜里装有四种饮料:
5瓶特种可乐、12瓶普通可乐、9瓶橘子水、6瓶啤酒,其中特种可乐和普通可乐是含有咖啡因的饮料,那么从冰柜里随机取一瓶饮料,该饮料含有咖啡因的概率是()
3、在如图所示的电路中,随机闭合开关
S1,S2,S3中的两个,能让灯泡L1发光的概率是__________.
4、用抽签的方法从3名同学中选1名去参加音乐会,事先准备3张相同的小纸条,并在其中1张纸条画上记号,其余张纸条不画.把3张纸条折叠后放入一个盒子中搅匀,然后让甲,乙,丙依次去抽纸条(抽出的纸条不放回),抽到纸条上画有记号的学生将参加这场音乐会.这样的抽签方法合理吗?
课后练习
【补救练习】
1、有一个不透明的布袋中有5个黑球和若干个白球,从布袋中任意摸出一球,记下颜色后再放回去,重复这样的试验共300次,结果有100次出现黑球,则布袋中共有个白球.
2、口袋中只有若干个白球,没有其他颜色的球,在不允许将球倒出来数的前提下,为了估计口袋中白球的数量,小亮设计了如下方案:
从口袋中抽出8个球,并将它们做上标记,放回口袋中,充分摇匀,然后从口袋中摸出10个球,求出其中做标记的球数与10的比值,再将球放回口袋中摇匀.不断重复上述过程20次,得到做标记的球数与10的比值的平均数为0.2.根据上述数据,可估计口袋中原来大约有个球.
3、如果手头没有硬币,下列方法可以模拟掷硬币实验的是(
)
掷一个瓶盖,盖面朝上代表正面,盖面朝下代表反面
B.
掷一枚图钉,钉尖着地代表正面,钉帽着地代表反面
C.
用计算器产生1和2两个随机整数,1代表正面,2代表反面
D.
转动如图所示的装盘,指针指向“红”代表正面,指针指向“蓝”代表反面
4、某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如表:
每批粒数n
2000
3000
发芽的频数m
284
380
571
948
1902
2848
发芽的频率
0.960
0.947
0.950
0.952
0.948
0.951
0.949
那么这种油菜籽发芽的概率是
(结果精确到0.01).
5、如图,现分别旋转两个标准的转盘,则转盘所转到的两个数字之积为奇数的概率是()
6、下列说法正确的是()
A.如果一件事不是必然发生的,那么它就不可能发生
B.人有可能得病,也有可能不得病,因此得病与不得病的概率各占50%
C.某抽奖箱中有100张抽奖券,中奖概率是25%,甲抽取一张没中,则乙抽剩下奖券,中奖的概率大于25%
D.某彩票的中奖机会是1%,买100张这种彩票一定是99张彩票不中奖,1张彩票中奖
7、在一个不透明的箱子中装有3个小球,分别标有A,B,C.这3个小球除所标字母外,其它都相同。
从箱子中随机地摸出一个小球,然后放回;
再随机地摸出一个小球.请你用画树形图(或列表)的方法,求两次摸出的小球所标字不同的概率.
8、网上购物已成为人们常用的一种购物方式,售后评价特别引人关注,消费者在网店购买某种商品后,对其有“好评”,“中评”,“差评”三种评价,假设这三种评价是等可能的。
(1)小明对一家网店销售某种商品显示的评价信息进行了统计,并列出了两幅不完整的统计图。
利用图中所提供的信息解决问题。
①小明一共统计了_____个评价。
②请将图1补充完整。
③图2中“差评”所占的百分比是_____
。
(2)若甲、乙两名消费者在该网站购买了同一商品,请你用列表格或画树状图的方法帮助店主求一下两人中至少有一个给“好评”的概率。
【巩固练习】
1、一个不透明的盒子里有4个除颜色外其他完全相同的小球,其中每个小球上分别标有1,-1,-2,-3四个不同的数字,每次摸球前先将盒子里的球摇匀,任意摸出一个球记下数字后再放回盒子,那么两次摸出的小球上两个数字乘积是负数的概率为__________.
2、学习掷硬币概率时,老师说:
"
掷一枚质地均匀的硬币,正面朝上概率是
小明做了三个模拟实验来验证.
(1)取一枚新硬币,在桌面上进行抛掷,计算正面朝上的次数与总次数的比值;
(2)把一个质地均匀的圆形转盘平均分成偶数份,并依次标上奇数和偶数,转动转盘,计算指针落在奇数区域的次数与总次数的比值;
(3)将一个圆形纸板放在水平的桌面上,纸板正中间放一个圆锥(如图),从圆锥的正上方往下撒米粒,计算其中一半纸板上的米粒数与纸板上总米粒数的比值.
上面的实验中,不科学的有()
A、0个B、1个C、2个D、3个
3、在某次试验数据整理过程中,某个事件发生的频率情况如下表所示.
试验次数
事件发生的频率
0.245
0.248
0.251
0.253
0.249
0.252
估计这个事件发生的概率是(精确到0.01),试举出一个随机事件的例子,使它发生的概率与上述事件发生的概率大致相同:
.
4、一个袋子里装有一双红色、一双绿色手套,两双手套除颜色外,其他完全相同,随机地从袋中摸出两只,恰好是一双的概率()
5、下列说法正确的是()
A.不可能事件发生的概率是0B.随机事件发生的概率为
C.概率很小的事件不可能发生D.投掷一枚质地均匀的硬币1000次,正面朝上的次数一定是500次
6、四件同型号的产品中,有1件不合格品和3件合格品.
(1)从这4件产品中随机抽取1件进行检测,求抽到的是不合格品的概率;
(2)从这4件产品中随机抽取2件进行检测,求抽到的都是合格品的概率;
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