动态几何之双多动点形成的最值问题Word文档下载推荐.docx
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F′C″+F′P′+P′C′>C′C″,即△P′CF′的周长大于△PCE的周长。
)
如答图③所示,连接C′E,
∵C,C′关于直线QE对称,△QCE为等腰直角三角形,
∴△QC′E为等腰直角三角形。
∴△CEC′为等腰直角三角形。
∴点C′的坐标为(4,5)。
∵C,C″关于x轴对称,∴点C″的坐标为(﹣1,0)。
过点C′作C′N⊥y轴于点N,则NC′=4,NC″=4+1+1=6,
在Rt△C′NC″中,由勾股定理得:
综上所述,在P点和F点移动过程中,△PCF的周长存在最小值,最小值为。
2.(2013年山东济宁12分)如图,直线与坐标轴分别交于点A、B,与直线y=x交于点C.在线段OA上,动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动,同时动点P从点A出发向点O做匀速运动,当点P、Q其中一点停止运动时,另一点也停止运动.分别过点P、Q作x轴的垂线,交直线AB、OC于点E、F,连接EF.若运动时间为t秒,在运动过程中四边形PEFQ总为矩形(点P、Q重合除外).
(1)求点P运动的速度是多少?
(2)当t为多少秒时,矩形PEFQ为正方形?
(3)当t为多少秒时,矩形PEFQ的面积S最大?
并求出最大值.
【答案】解:
(1)∵直线与坐标轴分别交于点A、B,
∴x=0时,y=4;
y=0时,x=8。
∴BO=4,AO=8。
∴。
当t秒时,QO=FQ=t,则EP=t,
∵EP∥BO,∴△ABO∽△ARP。
∴,即。
∴AP=2t。
∵动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动,
∴点P运动的速度是每秒2个单位长度。
(3)同
(2)分0<t<和<t≤4两种情况讨论:
如图1,当0<t<时,Q在P点的左边
∵OQ=t,PA=2t,∴QP=8-t-2t=8-3t,
3.(2013年江苏连云港12分)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A、B的坐标分别为(8,0)、(0,6).动点Q从点O、动点P从点A同时出发,分别沿着OA方向、AB方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动,运动时间为t(秒)(0<t≤5).以P为圆心,PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为点C、D,连结CD、QC.
(1)求当t为何值时,点Q与点D重合?
(2)设△QCD的面积为S,试求S与t之间的函数关系,并求S的最大值?
(3)若⊙P与线段QC只有一个交点,请直接写出t的取值范围.
、
②点Q、D重合后,即时,,
∴△QCD的面积为。
∵,∴当时,S随t的增大而增大。
∴当t=5时,S有最大值为:
综上所述,S与t的函数关系式为。
∵15>,∴S的最大值为15。
(3)或。
4.(2013年贵州遵义12分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°
,AC=4cm,BC=3cm.动点M,N从点C同时出发,均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A,B移动,同时动点P从点B出发,以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动,连接PM,PN,设移动时间为t(单位:
秒,0<t<2.5).
(1)当t为何值时,以A,P,M为顶点的三角形与△ABC相似?
(2)是否存在某一时刻t,使四边形APNC的面积S有最小值?
若存在,求S的最小值;
【考点】多动点问题,相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例的性质,勾股定理,由实际问题列函数关系式,二次函数的最值,分类思想的应用。
【分析】根据勾股定理求得AB=5cm。
(1)分△AMP∽△ABC和△APM∽△ABC两种情况讨论:
利用相似三角形的对应边成比例来求t的值。
(2)如图,过点P作PH⊥BC于点H,构造平行线PH∥AC,由平行线分线段成比例求得以t表示的PH的值;
然后根据“S=S△ABC﹣S△BPH”列出S与t的关系式,则由二次函数最值的求法即可得到S的最小值。
5.(2013年海南省14分)如图,二次函数的图象与x轴相交于点A(﹣3,0)、B(﹣1,0),与y轴相交于点C(0,3),点P是该图象上的动点;
一次函数y=kx﹣4k(k≠0)的图象过点P交x轴于点Q.
(1)求该二次函数的解析式;
(2)当点P的坐标为(﹣4,m)时,求证:
∠OPC=∠AQC;
(3)点M,N分别在线段AQ、CQ上,点M以每秒3个单位长度的速度从点A向点Q运动,同时,点N以每秒1个单位长度的速度从点C向点Q运动,当点M,N中有一点到达Q点时,两点同时停止运动,设运动时间为t秒.连接AN,当△AMN的面积最大时,
①求t的值;
②直线PQ能否垂直平分线段MN?
若能,请求出此时点P的坐标;
若不能,请说明你的理由.
(1)∵二次函数的图象与x轴相交于点A(﹣3,0)、B(﹣1,0),
∴设二次函数的解析式为:
y=a(x+3)(x+1)。
∵二次函数的图象经过点C(0,3),∴3=a×
3×
1,解得a=1。
∴二次函数的解析式为:
y=(x+3)(x+1),即y=x2+4x+3。
(2)证明:
在二次函数解析式y=x2+4x+3中,当x=﹣4时,y=3,∴P(﹣4,3)。
∵P(﹣4,3),C(0,3),∴PC=4,PC∥x轴。
∵一次函数y=kx﹣4k(k≠0)的图象交x轴于点Q,当y=0时,x=4,∴Q(4,0),OQ=4。
∴PC=OQ。
又∵PC∥x轴,∴四边形POQC是平行四边形。
∴∠OPC=∠AQC。
(3)①在Rt△COQ中,OC=3,OQ=4,由勾股定理得:
CQ=5.
如答图1所示,过点N作ND⊥x轴于点D,则ND∥OC,
∴△QND∽△QCO。
∴,即,
解得:
设S=S△AMN,则:
又∵AQ=7,点M的速度是每秒3个单位长度,
∴点M到达终点的时间为t=,
∴(0<t≤)。
∵<0,<,且x<时,y随x的增大而增大,
∴当t=时,△AMN的面积最大。
②假设直线PQ能够垂直平分线段MN,则有QM=QN,且PQ⊥MN,PQ平分∠AQC。
由QM=QN,得:
7﹣3t=5﹣t,解得t=1。
此时点M与点O重合,如答图2所示,
设PQ与OC交于点E,由
(2)可知,四边形POQC是平行四边形,
∴OE=CE。
∵点E到CQ的距离小于CE,
∴点E到CQ的距离小于OE。
而OE⊥x轴,
∴PQ不是∠AQC的平分线,这与假设矛盾。
∴直线PQ不能垂直平分线段MN。
【考点】二次函数综合题,双动点问题,二次函数的图象和性质,待定系数法的应用,曲线上点的坐标与方程的关系,平行四边形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,角平分线的性质,反证法的应用。
【分析】
(1)利用交点式求出抛物线的解析式。
(2)证明四边形POQC是平行四边形,则结论得证。
(3)①求出△AMN面积的表达式,利用二次函数的性质,求出△AMN面积最大时t的值。
②由于直线PQ上的点到∠AQC两边的距离不相等,则直线PQ不能平分∠AQC,所以直线PQ不能垂直平分线段MN。
6.(2013年四川攀枝花12分)如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是梯形,AB∥CD,点B(10,0),C(7,4).直线l经过A,D两点,且sin∠DAB=.动点P在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动,同时动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度沿B→C→D的方向向点D运动,过点P作PM垂直于x轴,与折线A→D→C相交于点M,当P,Q两点中有一点到达终点时,另一点也随之停止运动.设点P,Q运动的时间为t秒(t>0),△MPQ的面积为S.
(1)点A的坐标为 ▲ ,直线l的解析式为 ▲ ;
(2)试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式,并写出相应的t的取值范围;
(3)试求
(2)中当t为何值时,S的值最大,并求出S的最大值;
(4)随着P,Q两点的运动,当点M在线段DC上运动时,设PM的延长线与直线l相交于点N,试探究:
当t为何值时,△QMN为等腰三角形?
请直接写出t的值.
(1)(﹣4,0);
y=x+4。
(2)在点P、Q运动的过程中:
①当0<t≤1时,如图1,
过点C作CF⊥x轴于点F,则CF=4,BF=3,由勾股定理得BC=5。
过点Q作QE⊥x轴于点E,则BE=BQ•cos∠CBF=5t•=3t。
∴PE=PB﹣BE=(14﹣2t)﹣3t=14﹣5t,
S=PM•PE=×
2t×
(14﹣5t)=﹣5t2+14t。
②当1<t≤2时,如图2,
过点C、Q分别作x轴的垂线,垂足分别为F,E,则CQ=5t﹣5,PE=AF﹣AP﹣EF=11﹣2t﹣(5t﹣5)=16﹣7t。
(16﹣7t)=﹣7t2+16t。
③当点M与点Q相遇时,DM+CQ=CD=7,
即(2t﹣4)+(5t﹣5)=7,解得t=。
当2<t<时,如图3,
MQ=CD﹣DM﹣CQ=7﹣(2t﹣4)﹣(5t﹣5)=16﹣7t,
S=PM•MQ=×
4×
(16﹣7t)=﹣14t+32。
综上所述,点Q与点M相遇前S与t的函数关系式为。
(3)①当0<t≤1时,,
∵a=﹣5<0,抛物线开口向下,对称轴为直线t=,
∴当0<t≤1时,S随t的增大而增大。
∴当t=1时,S有最大值,最大值为9。
②当1<t≤2时,,
(3)根据
(2)中求出的S表达式与取值范围,逐一讨论计算,最终确定S的最大值。
(4)△QMN为等腰三角形的情形有两种,需要分类讨论:
①如图4,点M在线段CD上,
MQ=CD﹣DM﹣CQ=7﹣(2t﹣4)﹣(5t﹣5)=16﹣7t,MN=DM=2t﹣4,
由MN=MQ,得16﹣7t=2t﹣4,解得t=。
②如图5,当点M运动到C点,同时当Q刚好运动至终点D,
此时△QMN为等腰三角形,t=。
∴当t=或t=时,△QMN为等腰三角形。
7.(2013福建龙岩14分)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC与BD交于点O,且AC=80,BD=60.动点M、N分别以每秒1个单位的速度从点A、D同时出发,分别沿A→O→D和D→A运动,当点N到达点A时,M、N同时停止运动.设运动时间为t秒.
(1)求菱形ABCD的周长;
(2)记△DMN的面积为S,求S关于t的解析式,并求S的最大值;
(3)当t=30秒时,在线段OD的垂直平分线上是否存在点P,使得∠DPO=∠DON?
若存在,这样的点P有几个?
并求出点P到线段OD的距离;
(1)在菱形ABCD中,
∵AC⊥BD,AC=80,BD=60,∴。
∴菱形ABCD的周长为200。
(2)过点M作MP⊥AD,垂足为点P.
①当0<t≤40时,如答图1,
当0<t≤40时,S随t的增大而增大,当t=40时,最大值为480;
当40<t≤50时,S随t的增大而减小,最大值不超过480。
综上所述,S的最大值为480。
(3)存在2个点P,使得∠DPO=∠DON。
如答图3所示,过点N作NF⊥OD于点F,
则NF=ND•sin∠ODA=30×
=24,
DF=ND•cos∠ODA=30×
=18。
∴OF=12。
作∠NOD的平分线交NF于点G,过点G作GH⊥ON于点H,
则FG=GH。
∴S△ONF=OF•NF=S△OGF+S△OGN=OF•FG+ON•GH=(OF+ON)•FG。
设OD中垂线与OD的交点为K,由对称性可知:
∠DPK=∠DPO=∠DON=∠FOG,
∴PK=。
根据菱形的对称性可知,在线段OD的下方存在与点P关于OD轴对称的点P′。
∴存在两个点P到OD的距离都是。
由①、②可得:
∴PE=PI+IE=。
根据对称性可得,在BD下方还存在一个点P′也满足条件。
∴存在两个点P,到OD的距离都是。
8.(2013年广西柳州12分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(1,0),(5,0),(3,﹣4).
(2)当y>﹣3,写出x的取值范围;
(3)A、B为直线y=﹣2x﹣6上两动点,且距离为2,点C为二次函数图象上的动点,当点C运动到何处时△ABC的面积最小?
求出此时点C的坐标及△ABC面积的最小值.
(1)∵点(1,0),(5,0),(3,﹣4)在抛物线上,
∴,解得。
y=x2﹣6x+5。
(2)在y=x2﹣6x+5中,令y=﹣3,即x2﹣6x+5=﹣3,
整理得:
x2﹣6x+8=0,解得x1=2,x2=4。
结合函数图象,可知当y>﹣3时,x的取值范围是:
x<2或x>4。
(3)设直线y=﹣2x﹣6与x轴,y轴分别交于点M,点N,
令x=0,得y=﹣6;
令y=0,得x=﹣2,
∴M(﹣3,0),N(0,﹣6)。
∴OM=3,ON=6,由勾股定理得:
MN=,
设点C坐标为(x,y),则y=x2﹣6x+5。
过点C作CD⊥y轴于点D,
则CD=x,OD=﹣y,DN=6+y。
过点C作直线y=﹣2x﹣6的垂线,垂足为E,交y轴于点F,
【考点】二次函数综合题,多动点问题,曲线上点的坐标与方程的关系,解一元二次方程,勾股定理,锐角三角函数定义,由实际问题列函数关系式,二次函数的最值。
(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式。
(2)求出y=3时x的值,结合函数图象,求出y>﹣3时x的取值范围。
(3)△ABC的底边AB长度为2,是定值,因此当AB边上的高最小时,△ABC的面积最小.如解答图所示,由点C向直线y=﹣2x﹣6作垂线,利用三角函数(或相似三角形)求出高CE的表达式,根据表达式求出CE的最小值,这样问题得解。
9.(2013年青海西宁12分)如图,正方形AOCB在平面直角坐标系中,点O为原点,点B在反比例函数(>)图象上,△BOC的面积为.
(1)求反比例函数的关系式;
(2)若动点E从A开始沿AB向B以每秒1个单位的速度运动,同时动点F从B开始沿BC向C以每秒个单位的速度运动,当其中一个动点到达端点时,另一个动点随之停止运动.若运动时间用t表示,△BEF的面积用S表示,求出S关于t的函数关系式,并求出当运动时间t取何值时,△BEF的面积最大?
(3)当运动时间为秒时,在坐标轴上是否存在点P,使△PEF的周长最小?
若存在,请求出点P的坐标;
(3)存在。
当时,点E的坐标为(,4),点F的坐标为(4,),
【考点】反比例函数综合题,双动点问题,正方形的性质,待定系数法的应用,曲线上点的坐标与方程的关系,由实际问题列函数关系式,二次函数的最值,轴对称的应用(最短线路问题),分类思想的应用。
(1)根据正方形的性质和△BOC的面积为8,列式求出点B的坐标,代入,即可求得k,从而求得反比例函数的关系式。
(2)根据双动点的运动时间和速度表示出BF和BE,即可求得S关于t的函数关系式,化为顶点式即可根据二次函数的最值原理求得△BEF的面积最大时t的值。
(3)根据轴对称的原理,分F点关于轴的对称点F1和E点关于轴的对称点E1两种情况讨论。
10.(2013年内蒙古呼和浩特12分)如图,已知二次函数的图象经过点A(6,0)、B(﹣2,0)和点C(0,﹣8).
(2)设该二次函数图象的顶点为M,若点K为x轴上的动点,当△KCM的周长最小时,点K的坐标为 ▲ ;
(3)连接AC,有两动点P、Q同时从点O出发,其中点P以每秒3个单位长度的速度沿折线OAC按O→A→C的路线运动,点Q以每秒8个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的路线运动,当P、Q两点相遇时,它们都停止运动,设P、Q同时从点O出发t秒时,△OPQ的面积为S.
①请问P、Q两点在运动过程中,是否存在PQ∥OC?
若存在,请求出此时t的值;
若不存在,请说明理由;
②请求出S关于t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围;
③设S0是②中函数S的最大值,直接写出S0的值.
(1)∵二次函数的图象经过点A(6,0)、B(﹣2,0),
∴设二次函数的解析式为y=a(x+2)(x﹣6)。
∵图象过点(0,﹣8),∴﹣8=a(0+2)(0﹣6),解得a=。
∴二次函数的解析式为y=(x+2)(x﹣6),即。
(2)(,0)。
(3)①不存在PQ∥OC,
若PQ∥OC,则点P,Q分别在线段OA,CA上,此时,1<t<2。
∵PQ∥OC,∴△APQ∽△AOC。
∵AP=6﹣3t,AQ=18﹣8t,∴,解得t=。
∵t=>2不满足1<t<2,∴不存在PQ∥OC。
②分三种情况讨论如下,
情况1:
当0≤t≤1时,如图1,
S=OP•OQ=×
3t×
8t=12t2。
情况2:
当1<t≤2时,如图2,
作QE⊥OA,垂足为E,
S=OP•EQ=×
情况3:
作OF⊥AC,垂足为F,则OF=。
S=QP•OF=×
(24﹣11t)×
综上所述,S关于t的函数关系式
③。
(3)①如果DE∥OC,此时点D,E应分别在线段OA,CA上,先求出这个区间t的取值范围,然后根据平行线分线段成比例定理,求出此时t的值,然后看t的值是否符合此种情况下t的取值范围.如果符合则这个t的值就是所求的值,如果不符合,那么就说明不存在这样的t。
②本题要分三种情况进行讨论:
当E在OC上,D在OA上,即当0≤t≤1时,此时S=OE•OD,由此可得出关于S,t的函数关系式;
11.(2012广东湛江12分)如图,在平面直角坐标系中,直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上.O为原点,点A的坐标为(6,0),点B的坐标为(0,8).动点M从点O出发.沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动,同时动点N从点A出发,沿AB向终点B以每秒个单位的速度运动.当一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动,设动点M、N运动的时间为t秒(t>0).
(1)当t=3秒时.直接写出点N的坐标,并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式;
(2)在此运动的过程中,△MNA的面积是否存在最大值?
若存在,请求出最大值;
(3)当t为何值时,△MNA是一个等腰三角形?
(1)N(3,4)。
∵A(6,0)
∴可设经过O、A、N三点的抛物线的解析式为:
y=ax(x﹣6),则将N(3,4)代入得
4=3a(3﹣6),解得a=﹣。
∴抛物线的解析式:
【考点】二次函数综合题,动点问题,勾股定理,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,锐角三角函数定义,二次函数的最值,等腰三角形的性质。
(1)由A、B的坐标,可得到OA=6,OB=8,根据勾股定理可得AB=10。
当t=3时,AN=t=5=AB,即N是AB的中点,由此得到点N的坐标N(3,4)。
利用待定系数法,设交点式求出抛物线的解析式。
(2)△MNA中,过N作MA边上的高NC,先由∠BAO的正弦值求出NC的表达式,而AM=OA-OM,由三角形的面积公式可得到关于S△MNA关于t的函数关系式,由二次函数的最值原理即可求出△MNA的最大面积。
(3)首先求出N点的坐标,然后表示出AM、MN、AN三边的长。
由于△MNA的腰和底不确定,若该三角形是等腰三角形,可分三种情况讨论:
①MN=NA、②MN=MA、③NA=MA;
直接根据等量关系列方程求解即可。
12.(2012江苏连云港12分)如图,甲、乙两人分别从A(1,)、B(6,0)两点同时出发,点O为坐标原点,甲沿AO方向、乙沿BO方向均以4km/h的速度行驶,th后,甲到达M点,乙到达N点.
(1)请说明甲、乙两人到达O点前,MN与AB不可能平行.
(2)当t为何值时,△OMN∽△OBA?
(3)甲、乙两人之间的距离为MN的长,设s=MN2,求s与t之间的函数关系式,并求甲、乙两人之间距离的最小值.
综上所述,在甲、乙两人到达O点前,MN与AB不可能平行。
(2)由
(1)知,当t≤时,△OMN不相似△OBA。
当t>时,OM=4t-2,ON=4t-6,
由解得t=2>,
∴当t=2时,△OMN∽△OBA。
【考点】反证法,坐标与图形性质,平行的判定和性质,相似三角形的判定和性质,三角形外角性质,勾股定理,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,二次函数的最值。
(1)用反证法说明.根据已知条件分别表示相关线段的长度,根据三角形相似得比例式说明。
(2)根据两个点到达O点的时间不同分段讨论解答。
(3)在不同的时间段运用相似三角形的判定和性质分别求解析式,运用函数性质解答问题。
13.(2012福建漳州14分)如图,在OABC中,点A在x轴上,∠AOC=60o,OC=4cm.OA=8cm.动
点P从点O出发,以1cm/s的速度沿线段OA→AB运动;
动点Q同时从点O出发,以
acm/s的速度沿线段OC→CB运动,其中一点先到达终点B时,另一点也随之停止运动.
设运动时间为t秒.
(1)填空:
点C的坐标是(______,______),对角线OB的长度是_______cm;
(2)当a=1时,设△OPQ的面积为S,求S与t的函数关系式,并直接写出当t为何值时,S的值最大?
(3)当点P在OA边上,点Q在CB边上时,线段PQ与对角线OB交于点M.若以O、M、P为顶点的三角形与△OAB相似,求a与t的函数关系式,并直接写出t的取值范围.
(1)C(2,2),OB=4cm。
(2)①当0<
t≤4时,
过点Q作QD⊥x轴于点D(如图1),则QD=t。
∴S=OP·
QD=t2。
②当4<
t≤8时,
作QE⊥
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