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称为X的概率密度函数或密度函数,简称概率密度。
密度函数具冇下面性质:
/(X)X°
L‘⑴办=1
离散与连续型随机变量的关系
P(X=x)^P(x<
X<
x+dx)^f(x)dx枳分元f(x)clx/£
连续型随机变虽理论o
中所起的作用与P(X=汕)=Pk左离散型随机变虽理论中所起的作用相类似。
设X为随机变量,x是任意实数,则函数F(x)=P(X<
x)称为随机变量X的分布函数,本质上是一个累枳函数。
P(a<
b)=F(b)-F'
(a)可以得到X落入区间(a,b]的概率。
分布函数F(x)表示随机变量落入区间(・«
x]内的概率。
1.0<
F(x)<
1,—8VXV+S;
2。
F(x)是单调不减的函数,即xl<
X2时,有
尸(xi)<
Fg);
3oF(-qo)=lullF(x)=0,F(+qo)=lullF(x)=1:
4。
XT-3C.V—HOC
尸(x+0)=F(x),即F(x)是右连续的;
5.P(X=x)=F(x)-F(x-O).对于离散型X
随机变量,对于连续型随机变量,。
=Jf\x)dx
-Ua—8
泊松分布
2*
P(X=k)=^-e~\兄>
0.k=0,1,2A,
k\
则称随机变量X服从参数为;
1的泊松分布,记为X〜兀(兄)或
者P
(2)o
超几何分布
PZk』・C:
*Z2Z
C;
1=mui(Af,/?
)
随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布,记为H(n,N,M)。
几何分布
p(X=k)=qZp、k=L23,A,其中pNO,q二1-p。
随机变量X服从参数为p的几何分布,记为G(p)°
均匀分布
设随机变量X的值只落在[a,b]内,其密度函数/(X)在[a,b]上为常数,1,即
Ac
•
f(x)=<
h-a^
0,其他
当aWxKx:
Wb时,X落在区间
("
,心)内的概率为
P(X]<
Xvxj=——L
b—a
指数分布
正态分布
x>
I0,兀<
0.
其中久>
则称随机变量X服从参数为久的指数分布。
X的分布函数为
F(x)=
x<
Oo
设随机变最X的密度两数为
两数分布
离散型
记住枳分公式
Jxne~'
dx=n\
o
1.(•"
其中"
、b>
为常数,则称随机变最X服从参数为"
、<
7的正态分布或高斯(Gauss)分布,记为X°
/(X)具有如下性质:
rf(x)的图形是关干x=p对称的:
2。
当时,/(//)=为最大值;
、J2"
若X~N(“,b),则X的分布函数为
2a
1厂吻弘F1厂*
①(X)是不可求积函数,其函数值,己编制成衣可供査用。
<
p(-x)=l-<
I>
(x)且(D(0)=+。
如果X、则
~N(0,l)
Pg<
Xxz)
X
Xl.X2.A,Xn.A
P(X=x)
pi.PsA,pgA
己知X的分布列为
g(mg(r),A,g(Xn),A
y=g(X)的分布列(”=g(xj互不相等)如下:
Y
若:
某等,"
釦'
:
冷讪'
鋼"
偏加作为g(.®
的概率。
连续型
先利用X的概率密度fx(x)写出Y的分布函数Fv(y)=P(g(X)W
y),再利用变上下限积分的求导公式求出fy(y)。
第三章二维随机变量及其分布
对于二维随机向量歹=(X』),如果存在非负函数
/(.V,y)(-s<
x<
4-00,-00<
y<
+s),使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D,即D={(X,Y)|a<
b,c<
y<
d}
有
P{(X,Y)6D}=j]7(x,y)dxdy,则称?
为连续型随机向量:
D
并称f(x,y)为歹二(X,Y)的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。
分布密度f(x,y)具有下面两个性质:
(1)f(x,y)$0;
(2)匚匚f(x,y)dxdy=1.
离散型与连续型的关系
P(X=x,X=y)«
P(x<
x+dr,y<
Ky+dy)«
/(.v,y)dxdy
边缘分布
X的边缘分布为
£
・—P(X=兀)=工Ptj(i,j—1,2,A):
i
Y的边缘分布为
p.j=p(丫=yj)=Pijo’J=1,2,a)。
〔:
型
X的边缘分布密度为
AW=J3/("
)dy:
Y的边缘分布密度为fY(y)=匚/(利)力
Pq=Pi・P・j
有零不独立
f(x,y)=fx(x)fr(y)直接判断,充要条件:
①可分离变量②正概率密度区间为矩形
随机变量的
函数
若X:
&
…凡,j…人相互独立,h,g为连续函数,则:
h(Xx,X2,-X.)和g(人,・・%)相互独立。
特例:
若X与Y独立,则:
h(X)和区(Y)独立。
例如:
3X+1和5丫-2独立。
函数分布
Z=niaxjiini(
XX・・X』
才分布
t分布
根据定义计算:
rz(z)=p(z<
z)=p(x+r<
z)
态分布的和仍为正态分布(“i+M-cri+cr;
)。
n个相互独立的正态分布的线性组合,仍服从正态分布。
"
工以,宀工cp:
Ii
若X"
?
AX”相互独立,其分布函数分别为
FVi(x)tFx^(x)AFx(x),则Z-max.iuui(Xi•*Xn)的分布
函数为:
FM)=行⑴•(x)AFXu(x)
Fmm(x)=1-[1-FXi(x)]•[!
-FXz(x)]A[1-FXk(x)]
设n个随机变量X],X"
A,X”相互独立,且服从标准正态分布,町以证明它们的平方和
W=fX:
我们称随机变SW服从自由度为n的Z2分布记为
1-1
W〜F(〃)
所谓门由度足指独X:
态随机变也的个数,它是随机变量分布
中的一个重要参数。
才分布满足可加性:
设Yj-x\nS则
Z=D〜力"
竹+公+A+nk)./■I
12X.Y是两个相互独立的随机变量,且X~N(Od),Y~z2(/0,可
以证明函数T=-==我们称随机变量T服从自由度为n的t分布,
4y7h
记为T〜t(n)°
t^a(11)=-ta(7?
F分布
设X〜才〜才(心),且X与Y独立,可以证明F=X_ih_我们称随机变最f服从第一个自由度为m,第二个Yin.
mb
自由度为n:
的F分布,记为F~f(m,m).
e(w)-口t、
代⑺佔)
第四章随机变量的数字特征
期望
期望就是平均值
设X是离散型随机变最,其分布律为P(X=xk)=Pk,k=l,2,…,n,
(要求绝对收敛)
设X是连续型随机变量.其概率密度为f(x),
■KC
E(X)=J#(x)dx
函数的期塑
Y=g(X)
砒)=£
gam
k=l
砒)=Jg(x)m)dx
-X
方差
D(X)=E[X-E(X)]:
标准差
6X)=J0X),
D(X)=》E—E(X)]S
D(X)=][x-E(X)Y
-00
(1)E(C)二C
(2)E(CX)=CE(X)
nn
(3)E(X+Y)=E(X)+E(Y)•E(工XJ=工CtE(XJ
(4)E(XY)=E(X)E(Y),充分条件:
X和Y独立:
充要条件:
X和Y不相关。
f(x)dx
望性
随变的
⑴
-维机量数
字特征
(2)期的质
(3)方差的性质
(1)D(C)=O;
E(C)=C
(2)D(aX)=a:
D(X);
E(aX)=aE(X)
(3)D(aX+b)=a:
D(X):
E(aX+b)=aE(X)+b
(4)D(X)=E(X-)-E:
(X)
(5)D(X±
Y)=D(X)+D(Y),充分条件:
X和Y独立;
D(X±
Y)=D(X)+D(Y)±
2E[(X-E(X))(Y-E(Y))],无条件成立。
而E(X+Y)二E(X)+E(Y),无条件成立。
(4)常见分布的期望和方差
0-1分布3(1,p)
P
pQ-P)
二项分布B(n,p)
np
W(1-P)
泊松分布F(X)
A
几何分布G(p)
1
1一"
p2
H0MN)
nM
N
nML
n丿
均匀分布Ugb)
a+b
2
(b-a)2
12
指数分布讯刃
I
正态分布N(//,cr2)
b
力'
分布
n
2n
—(n>
2)n-2
二维随机变量
E(X)=±
XjPi・
r=l
E(Y)二
E(X)=jxfx(x)dx
_x
WO
E(Y)=jyfY(y)dy
E[G(X.Y)]=工工G(兀,儿也
iJ
E[G(X,Y)]=
4CD+x
JJG(x,y)/(x,刃厶心
_X—QD
数字特征
d(x)=》[e-e(x)Fp・
J
-WC
D(X)=J[x-E(X)FA(x)dx
•wo
D(Y)=j[y-E(Y)]2fY(y)dy
协方差
对于随机变量X与Y.称它们的一阶混介中心矩为X与Y的协方差或相关矩,记为bxy或COV(X,K),即
b灯=//11=^[(x-f(x)xy-E(n)].
与记号相对应,X与Y的方差D(X)与D(Y)也町分别记为丁茫与^YY。
相关系数
对于随机变量X与Y,如果D(X)>
0,D(Y)>
0,则称
_空为X弓Y的相关系数,记作卩紬(有时可简记为°
JD(X)JD(Y)
IplWl,当|p|二1时,称X与Y完全和关:
P(X=aY+h)=1完全正相关,肖p=ll甘(a>
0),
负相关,半0=-111寸(av0),
而当p=0时,称X与Y不相关。
以下五个命题是等价的:
®
pxr=0:
②cov(X,Y)=0;
③E(XY)二E(X)E(Y);
④D(X+Y)二D(X)+D(Y);
⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y).
协方差的性质
(i)cov(X,Y)=cov(Y,X):
(ii)cov(aX,bY)=abcov(X,Y);
(iii)cov(Xi+Xs,Y)=cov(Xi,Y)+cov(X;
Y);
(lv)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).
独立利不相关
若随机变量X与Y相互独立,则=0;
反之不真。
(2)中心极限定理
//
列维一
林德伯格定理
设随机变量XnX:
…相互独立,服从同一分布,且具有相同的数学期望和方差:
E(XQ=“,£
(XJ=/工0伙=1,2,A),则随机变量
ixk一叩
V—E
的分布函数EC0对任意的实数X,有
A■
乞Xk-Wy
InnFn(x)-lunP{_<
x-/_Ve^dt.
f"
txJ’QJ2rrJ'
x
■
此定理也称为独立同分布的中心极限定理。
棣莫弗一拉普拉斯定理
设随机变量X“为具有参数n,P(O<
P<
1)的二项分布,则对于任意实数X,有
-hinp\X"
~np<
4-[「£
%
[J〃〃(i一p)
第六章样本及抽样分布
样本k阶中心矩
E(X)=//,D(X)=—
1刀一
其中s*2=ly(xf-X)2,
E(S2)=cr2
(S*2)=^-o-2n
为二阶中心矩
设“,W,A,兀,为來自正态总体)的一个样本,而
儿,儿,人,儿为来自正态总体N(/la;
)的一个样本,则样本
defs2/a2
F—:
1~尸(心-Ln2_1),其中
S[/(T;
1ni-1n:
-
S:
=——£
(匕-审,s;
=——X(y,-y)2;
弘一1気”2-1辭
F(耳一1,n2-1)表示自由度为©
-1,
设xhx:
A,兀为来自正态总体的一个样本,则样
表示自由度为分
n—1MM卜命
当总体X为连续型随机变量时,设其分布密度为•其中为未知
参数。
又设坷宀A,£
为总体的-个样本,荊g,G,A,/)=h/(»
q,d,A,色
为样本的似然函数,简记为Ln.,=1
当总体X为离型随机变量时,设其分布律为P{X=x}=p(x^[,6>
:
A,盅),则
L(jhx:
A,兀;
q,&
A,0”)=fj"
a;
q,&
-A,&
)为样本的似然两数。
若似然两数
人A人AAA
厶,%)在扒小4九处取到Ai人值,则称8-2A,&
刃分别为q,2,A,盅的最人似然估计值,相应的统计量称为最人似然估计量。
=0j=L2.Am若5为&
的极大似然估.
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