北师七下数学第2章 能力培优Word格式文档下载.docx
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在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.
3.对顶角:
两条直线相交所构成的四个角中,有公共顶点但没有公共边的两个角是对顶
角;
一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线,这样的两个角是对顶角.
性质:
对顶角相等.
4.余角和补角:
如果两个角的和是直角,那么称这两个角互为余角,也可以说成一个角是
另一个角的余角;
如果两个角的和是平角,那么这两个角互为补角,也可以说成一个角是另一个角的补角.
同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等.
5.垂直:
两条直线相交成四个角,如果有一个角是直角,那么称这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线.它们的交点叫做垂足.通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直.
6.垂线的性质:
(1)平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
(2)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短.
7.垂线段、点到直线的距离:
(1)垂线段:
过直线外一点画已知直线的垂线,这点与垂足之间的线段叫做垂线段.
(2)点到直线的距离:
直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.
【温馨提示】
1.互为余角、补角的两个角,只与它们的和有关,而与它们的位置无关.
2.对顶角与互为余角、互为补角都是成对出现的.
3.对顶角相等,但相等的角不一定是对顶角.
4.垂线是相交线的特殊情况,今后如果遇到两线段垂直,两射线垂直,线段与射线垂直,线段或射线与直线垂直,都是指它们所在直线互相垂直.
5.过一点画一条线段的垂线,垂足可以在线段上,也可以在线段的延长线上.
6.点到直线的距离是垂线段的长度,是一个数量,不是图形.垂线段是一条线段,是图形,不能认为点到直线的距离就是垂线段.
【方法技巧】
1.在图形中准确地找出对顶角,需要看:
一看是不是两条直线相交所得的角;
二看是不是有公共顶点而没有公共边的两个角.
2.垂线的画法:
利用三角尺画垂线的基本要点:
“一靠、二过、三画”,即靠已知直线→过已知点→画垂线.
3.画一条线段或射线的垂线,只需画它们所在直线的垂线.
答案:
1.
(1)2
(2)6(3)12(4)(n-1)n(5)4054182【解析】
(1)如图1,图中共
有1×
2=2(对)对顶角;
(2)如图2,图中共有2×
3=6(对)对顶角;
(3)如图3,图中共有3×
4=12(对)对顶角;
(4)研究
(1)~(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系,
若有n条直线相交于一点,则可形成(n-1)n对对顶角;
(5)若有2014条直线相交于一点,则可形成(2014-1)×
2014=4054182(对)对顶角.
2.解:
(1)正面:
AB∥EF;
上面:
A'B'∥AB;
右面:
DD'∥HR;
(2)EF∥A'B',CC'⊥DH.
2.解:
设这个角为x°
,则(180-x)+(90-x)=
×
180+1,
化简得270-2x=135+1,
解得x=67.
答:
这个角为67°
.
4.解:
(1)∵两点之间线段最短,
∴连接AD,BC交于点H,则点H为蓄水池位置,它到四个村庄距离之和最小.
(2)过点H作HG⊥EF,垂足为点G.
根据过直线外一点与直线上各点的连线中,垂线段最短.
5.解:
(1)∵AC⊥BC,AC=9,BC=12,
∴点A到直线BC的距离为9,点B到直线AC的距离为12.
(2)设点C到直线AB的距离为h,则
△ABC的面积=
BC•AC=
AB•h,
∴15h=12×
9,
∴h=
.
∴点C到直线AB的距离为
2.2探索直线平行的条件
专题一同位角、内错角、同旁内角
1.如图,有四条互不平行的直线l1、l2、l3、l4所截出的八个角.请你任意选择其中的三个角(不可选择未标注的角),尝试找到它们的关系,并选择其中一组予以说明.
专题二与平行线相关的规律探究题
2.探索与发现:
(1)若直线a1⊥a2,a2∥a3,则直线a1与a3的位置关系是________,请说明理由;
(2)若直线a1⊥a2,a2∥a3,a3⊥a4,则直线a1与a4的位置关系是_________(直接
填结论,不需要证明);
(3)现有2013条直线a1,a2,a3,…,a2013,且有a1⊥a2,a2∥a3,a3⊥a4,a4∥a5…,
请你探索直线a1与a2013的位置关系.
专题三与直线平行条件相关的说理题
3.如图,已知,∠1=∠ABC=∠ADC,∠3=∠5,∠2=∠4,∠ABC+∠BCD=180°
.将下列推理过程.
补充完整:
(1)∵∠1=∠ABC(已知),
∴AD∥_______().
(2)∵∠3=∠5(已知),
∴AB∥__________().
(3)∵∠ABC+∠BCD=180°
(已知),
∴___∥___().
4.如图,台球运动中,如果母球P击中边上的点A,经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点B,两次反弹.那么母球P经过的路线BC与PA一定平行,请说明理由.
1.同位角:
如图,直线AB,CD与直线l相交(或者说两条直线AB,CD被第三条
直线l所截),构成八个角.
∠1与∠2这两个角分别在直线CD,AB的上方,并且都在直线l的右侧,像这样
具有相同位置的一对角称为同位角,∠3与∠4、∠5与∠6、∠7与∠8都是同位角.
2.内错角:
∠5与∠4这两个角都在直线AB,CD之间,并且∠5与∠4分别在直线l的左右两侧,具有这种位置关系的角称为内错角,∠7与∠2也是内错角.
3.同旁内角:
∠7与∠4这两个角都在直线AB,CD之间,在直线l的同一旁,具有这种位置关系的角称为同旁内角.
4.判定两直线平行的条件:
同位角相等,两直线平行;
内错角相等,两直线平行;
同旁内角互补,两直线平行.
5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.平行于同一条直线的两条直线平行.
【温馨提示】
1.辨认同位角时要注意位置上的两个“同”字,在第三条直线的同旁,被截两直线的同方向.
2.辨认内错角时,要看清两个角是否在被截两直线之间,是否在截线的两旁.
3.辨认同旁内角时要看两个角是否在截线的同旁,是否在被截两直线之间.
识别同位角(内错角、同旁内角)方法:
同位角可按下面的口诀来识别:
“一看三线,二找截线,三再根据位置来分辨”.所谓“看三线”:
因为同位角(内错角、同旁内角)是由两条直线被第三条直线所截而成的,所以,一对同位角(内错角、同旁内角)的四条边应分别在这三条直线上,否则,就一定不是同位角(内错角、同旁内角);
所谓“找截线”:
既然一对角的四条边分别在三条直线上,因此必定各有一条边共线,即在同一条直线上,这条直线就是截线;
“再以位置来分辨”:
同位角一定在截线的“同旁”,被截两直线的“同侧”.内错角一定在截线的“两侧”,被截两直线的“内部”.同旁内角一定在截线的“同旁”,被截两直线的“内部”.
1.解:
如∠2+∠4+∠6=360°
,∠1+∠5+∠7=180°
,∠2=∠5+∠7,∠3=∠1+∠8.
说明:
∠1+∠5+∠7=180°
,
∵∠DAC+∠7+∠5=180°
又∵∠1=∠DAC,
∴∠1+∠5+∠7=180°
(1)a1⊥a3.
理由:
如图1,∵a1⊥a2,a2∥a3,
∴∠2=∠1=90°
∴a1⊥a3;
(2)同
(1)的解法,如图2,直线a1与a4的位置关系是a1∥a4;
(3)直线a1与a3的位置关系是a1⊥a3,
直线a1与a4的位置关系是a1∥a4,
以此类推,直线a1与a2013的位置关系是a1⊥a2013.
3.解:
∴AD∥BC(同位角相等,两直线平行).
∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行).
∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行).
∵∠PAD=∠BAE,∠PAB=180°
-∠PAD-∠BAE,
∴∠PAB=180°
-2∠BAE.
同理,∠ABC=180°
-2∠ABE.
∵∠BAE+∠ABE=90°
∴∠PAB+∠ABC=360°
-2(∠BAE+∠ABE)=180°
∴BC∥PA.
3.平行线的性质
专题一与平行线性质相关的探究题
1.如图,直线AC∥BD,连接AB,直线AC,BD及线段AB把平面分成①、②、③、④
四个部分,规定:
线上各点不属于任何部分.当动点P落在某个部分时,连接PA,PB,构成∠PAC,∠APB,∠PBD三个角.(提示:
有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°
角)
(1)当动点P落在第①部分时,说明:
∠APB=∠PAC+∠PBD;
(2)当动点P落在第②部分时,∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立?
(直接回答成立或
不成立)
(3)当动点P落在第③部分时,全面探究∠PAC,∠APB,∠PBD之间的关系,并写
出动点P的具体位置和相应的结论,选择其中一种结论加以说明.
2.如图,CB∥OA,∠B=∠A=100°
,E,F在CB上,且满足∠FOC=∠AOC,OE平分
∠BOF.
(1)求∠EOC的度数;
(2)若平行移动AC,那么∠OCB∶∠OFB的值是否随之发生变化?
若变化,试说明理
由;
若不变,求出这个比值;
(3)在平行移动AC的过程中,是否存在某种情况,使∠OEB=∠OCA?
若存在,求出
∠OCA的度数;
若不存在,请说明理由.
专题二平行线性质与判定的综合
3.如图,AD⊥BC于点D,EG⊥BC于点G,∠E=∠1,可得AD平分∠BAC.
理由如下:
∵AD⊥BC于点D,EG⊥BC于点G(),
∴∠ADC=∠EGC=90°
(),
∴AD∥EG(),
∴∠1=∠2(),
______=∠3().
又∵∠E=∠1(已知),∴______=_____(),
∴AD平分∠BAC.
1.平行线的性质:
(1)两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.简称:
两直线平行,同位角相等.
(2)两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.简称:
两直线平行,内错角相等.
(3)两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.简称:
两直线平行,同旁内角互补.
2.在实际中,经常会综合应用平行线的性质与判定,通常有两种形式:
①由平行关系→角的相等或互补→直线平行;
②由角的相等或互补→直线平行→角的相等或互补.有时,也会反复利用平行线的性质与判定,得出最终结果.
1.同位角相等,内错角相等,同旁内角互补,都是平行线的性质,切记不可忽略前提条件
是“两直线平行”,不要一提及同位角、内错角,就认为是相等的.
2.平行线的性质以“两直线平行”为前提,得出“角的相等或互补”的关系,是由“位置关系”到“数量关系”,而平行线的判定是以“角的相等或互补”为前提,得到“两直线平行”的关系,是从“数量关系”到“位置关系”.
3.根据性质来解决一些与角度的计算以及探索角度关系的问题时,有时所求的角和已知平行线没有直接关系,可通过添加平行线,借助平行线的性质解决.添加辅助线应注意的问题:
(1)一道题有时可以添加多种辅助线,但应寻找使解题最简单的一种.
(2)辅助线要用虚线.(3)在解题时,将辅助线的作法写出.
选择平行线的性质、判定的技巧:
已知平行用性质,要证平行用判定,
(1)解法一:
如图1,延长BP交直线AC于点E.
∵AC∥BD,∴∠PEA=∠PBD.∵∠PAE+∠PEA+∠APE=180°
,∠APE+∠APB=180°
∴∠APB=∠PAE+∠PEA,
∴∠APB=∠PAC+∠PBD;
解法二:
如图2,
过点P作FP∥AC,
∴∠PAC=∠APF.
∵AC∥BD,∴FP∥BD.
∴∠FPB=∠PBD,
∴∠APB=∠APF+∠FPB
=∠PAC+∠PBD;
解法三:
如图3,
∵AC∥BD,
∴∠CAB+∠ABD=180°
∠PAC+∠PAB+∠PBA+∠PBD=180°
又∠APB+∠PBA+∠PAB=180°
∴∠APB=∠PAC+∠PBD.
(2)不成立.
(3)(a)当动点P在射线BA的右侧时,结论是
∠PBD=∠PAC+∠APB.
(b)当动点P在射线BA上,
结论是∠PBD=∠PAC+∠APB或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°
∠PAC=∠PBD(任写一个即可).
(c)当动点P在射线BA的左侧时,
结论是∠PAC=∠APB+∠PBD.
选择(a)证明:
连接PA,连接PB交AC于点M.
∵AC∥BD,
∴∠PMC=∠PBD.∵∠PMC+∠AMP=180°
,∠AMP+∠APB+∠PAC=180°
∴∠PMC=∠PAC+∠APB,
∴∠PBD=∠PAC+∠APB.
选择(b)证明:
∵点P在射线BA上,∴∠APB=0°
∵AC∥BD,∴∠PBD=∠PAC.
∴∠PBD=∠PAC+∠APB
或∠PAC=∠PBD+∠APB
或∠APB=0°
,∠PAC=∠PBD.
选择(c)证明:
连接PA,连接PB交AC于点F.
∵AC∥BD,∴∠PFA=∠PBD.∵∠PAC+∠PAF=180°
,∠PAF+∠APB+∠PFC=180°
∴∠PAC=∠APB+∠PFA,
∴∠PAC=∠APB+∠PBD.
(1)∵CB∥OA,
∴∠BOA+∠B=180°
∴∠BOA=80°
∵∠FOC=∠AOC,OE平分∠BOF,
∴∠EOC=∠EOF+∠FOC=
∠BOF+
∠FOA=
(∠BOF+∠FOA)=
80°
=40°
(2)不变.
∵CB∥OA,
∴∠OCB=∠COA,∠OFB=∠FOA.
∵∠FOC=∠AOC,
∴∠COA=
∠FOA,即∠OCB∶∠OFB=1∶2.
(3)在平行移动AC的过程中,存在∠OEB=∠OCA,且∠OCA=60°
设∠OCA=α,∠AOC=β,
∵∠OEB=∠COE+∠OCB=40°
+β,
∠ACO=80-β,
∴α=80°
-β,40°
+β=α,
∴β=20°
,α=60°
.∴∠OCA=60°
∵AD⊥BC于点D,EG⊥BC于点G(已知),
(垂直的定义),
∴AD∥EG(同位角相等,两直线平行),
∴∠1=∠2(两直线平行,内错角相等),
∠E=∠3(两直线平行,同位角相等).
又∵∠E=∠1(已知),
∴∠2=∠3(等量代换),
∴AD平分∠BAC(角平分线的定义).
2.4用尺规作角
专题一用尺规作角的和、差
1.已知∠1和∠2如图所示,用尺规作图画出∠AOB=∠1+∠2,保留作图痕迹.
2.如图,已知∠α,∠β,用直尺和圆规求作一个∠γ,使得∠γ=∠α-
∠β(只须作出正确图形,保留作图痕迹,不必写出作法).
3.已知∠AOB,点P在OA上,请以P为顶点,PA为一边作∠APC=∠O(不写作法,但必须保留作图痕迹).
问:
(1)PC与OB一定平行吗?
(2)简要说明理由:
4.已知:
△ABC,过点A画BC的平行线(说明:
只允许尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).
【知识要点】
1.尺规作图:
我们把只用没有刻度的直尺和圆规的作图称为尺规作图.
2.作一个角等于已知角:
(1)作一条射线;
(2)以已知角的顶点为圆心,以适当的长为半径作弧,假设这条弧与已知角的两边分别交于C,D两点,以所作的射线的端点为圆心,以同样的长度为半径作弧,假设这条弧与射线交于点C';
(3)以点C'为圆心,CD长为半径作弧,该弧与前面的弧交于点D';
(4)以第一步所作的射线的端点为端点,并过点D'作射线,说明哪个角是所要求作的角.
1.在尺规作图中,直尺的功能是作一条直线或射线,用直尺连接两点可以作一条线段或将线段向两方向延长;
圆规的功能是以任意一点为圆心,任意长为半径作一个圆;
或以任意一点为圆心,任意长为半径画一段弧.
2.尺规作图时注意保留作图痕迹,不要擦掉.
【方法技巧】
在写求作两角的和或差的作法时,一定要注明“外部”或“内部”,严谨的作法叙述是数学语言严密性的重要体现.
(1)作射线OA;
(2)以O为顶点作∠AOC=∠1;
(3)以点O为顶点,OC为一边在∠AOC同侧作∠COB=∠2.
则∠AOB为所求作的角(图略).
作图如下,∠BCD即为所求作的∠γ.
如图:
(1)PC与OB不一定平行;
(2)理由:
当PC与OB在直线OA同侧时两直线平行,根据同位角相等,两直线平行.在
两侧时不平行.
如图所示.
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