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1、关系、关系矩阵与关系图
2、复合关系与逆关系
3、关系的性质(自反性、对称性、反对称性、传递性)
4、关系的闭包(自反闭包、对称闭包、传递闭包)
5、等价关系与等价类
6、偏序关系与哈斯图(Hasse)、极大/小元、最大/小元、上/下界、最小上界、最大下界
二元关系的概念、关系的性质、关系的闭包、等价关系、偏序关系
[复习要求]
1、理解关系的概念:
二元关系、空关系、全关系、恒等关系;
掌握关系的集合表示、关系矩阵和关系图、关系的运算。
2、掌握求复合关系与逆关系的方法。
3、理解关系的性质(自反性、对称性、反对称性、传递性),掌握其判别方法(定义、矩阵、图)。
4、掌握求关系的闭包(自反闭包、对称闭包、传递闭包)的方法。
5、理解等价关系和偏序关系的概念,掌握等价类的求法和偏序关系做哈斯图的方法,极大/小元、最大/小元、上/下界、最小上界、最大下界的求法。
[疑难解析]
1、关系的概念
关系的概念是全章的基础,又是集合概念的应用。
因此,学生应该真正理解并熟练掌握二元关系的概念及关系矩阵、关系图表示。
2、关系的性质及其判定
关系的性质既是对关系概念的加深理解与掌握,又是关系的闭包、等价关系、偏序关系的基础。
对于四种性质的判定,从概念上掌握,可以利用关系图和关系矩阵综合判定。
如空关系具有传递性,同时空关系具有对称性与反对称性,但是不具有自反性。
3、关系的闭包
在理解掌握关系闭包概念的基础上,主要掌握闭包的求法。
关键是熟记三个定理的结论:
定理,
;
定理3,
定理4,推论
。
4、偏序关系及偏序集中特殊元素的确定
理解与掌握偏序关系与偏序集概念的关键是哈斯图。
哈斯图画法掌握了,对于确定任一子集的最大(小)元,极大(小)元也就容易了。
这里要注意,最大(小)元与极大(小)元只能在子集内确定,而上界与下界可在子集之外的全集中确定,最小上界为所有上界中最小者,最小上界再小也不小于子集中的任一元素,可以与某一元素相等,最大下界也同样。
例1设集合
,判定下列关系,哪些是自反的,对称的,反对称的和传递的:
解:
均不是自反的;
R4是对称的;
R1,R2,R3,R4,R5是反对称的;
R1,R2,R3,R4,R5是传递的。
例2设集合
,A上的二元关系R为
(1)写出R的关系矩阵,画出R的关系图;
(2)R是A上的偏序关系,画出其哈斯图;
(3)若
,且
,求B的最大元,最小元,极大元,极小元,最小上界和最大下界。
解
(1)R的关系矩阵为
R的关系图略
(2)(A,R)为偏序集,(A,R)的哈斯图如下
4
1
3
2
5
(3)当
,B的极大元为2,4;
极小元为2,5;
B无最大元与最小元;
B也无上界与下界,更无最小上界与最大下界。
例3设R={1,2,3},S={a,b},则
=。
例4设A={1,2,3},则A上的二元关系有个。
A.23;
B.32;
C.
例5设A={1,2,3},R是A上的二元关系,当a,b∈A且a<
b时,<
a,b>
∈R,则R的前域为,R的值域为。
例6设集合A={1,2,3,4},A上的关系R={<
1,1>
<
2,2>
},则R不具有性质。
A.自反性B.对称性C.传递性D.反对称性
例7集合A={a,b,c,d},集合A上的二元关系R={<
a,a>
b,c>
c,d>
d,d>
b,d>
},试画出关系R的关系图,并求出R的自反闭包,对称闭包和传递闭包。
例8设A={1,2,3,4,5,6,7,8,9},R为集合A上模4同余关系(即R={<
x,y>
|y-x能被4整除}),求出A中各元素关于R的等价类,并写出该等价关系对应的划分。
例9集合{a,b,c}上共有个不同的等价关系。
例10设集合
,A上的关系
,则
=()。
A
例11设集合A={a,b,c},A上的关系R={(a,b),(a,c),(b,a),(b,c),(c,a),(c,b),(c,c)},则R具有关系的()性质。
A.自反B.对称C.传递D.反对称
例12设R和S是集合
上的关系,其中
,试求:
(1)写出R和S的关系矩阵;
(2)计算
(1)
(2)
={(1,2),(3,4)}
={(1,1),(1,2),(1,3),(2,3),(2,4),
(3,4),(4,4)}
={(1,1),(3,1),(3,2),(4,3)}
={(2,1),(4,3)}
例13设A={a,b,c,d},R1,R2是A上的关系,其中R1={(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(c,c),(c,d),(d,c),(d,d)},R2={(a,b),(b,a),(a,c),(c,a),(b,c),(c,b),(a,a),(b,b),(c,c)}。
(1)画出R1和R2的关系图;
(2)判断它们是否为等价关系,是等价关系的求A中各元素的等价类。
R1和R2的关系图略。
由关系图可知,R1是等价关系。
R1不同的等价类有两个,即{a,b}和{c,d}。
由于R2不是自反的,所以R2不是等价关系。
例14设集合A={1,2,3,4},A上的二元关系R的关系矩阵为
MR=
则关系R的表达式是()
(A){<
1,1>
1,4>
2,1>
2,3>
}(B){<
1,2>
}
(C){<
3,2>
}(D){<
4,1>
}
15设集合A={a,b,c},给出A上的二元关系R,S,使得R,S均具有传递性,但RS不具有传递性。
命题逻辑
1、命题与联结词(否定、析取、合取、蕴涵、等价),复合命题
2、命题公式与解释,真值表,公式分类(恒真、恒假、可满足),公式的等价
3、析取范式、合取范式,极小(大)项,主析取范式、主合取范式
4、公式类别的判别方法(真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法)
5、公式的蕴涵与逻辑结果
6、形式演绎
命题与联结词、公式与解释、析取范式与合取范式、公式恒真性的判定、形式演绎
1、理解命题的概念;
了解命题联结词的概念;
理解用联结词产生复合命题的方法。
2、理解公式与解释的概念;
掌握求给定公式真值表的方法,用基本等价式化简其他公式,公式在解释下的真值。
3、了解析取(合取)范式的概念;
理解极大(小)项的概念和主析取(合取)范式的概念;
掌握用基本等价式或真值表将公式化为主析取(合取)范式的方法。
4、掌握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范式的唯一性判别公式类型和公式等价的方法。
5、理解公式蕴涵与逻辑结果的概念,掌握基本蕴涵式。
6、掌握形式演绎的证明方法。
1、公式恒真性的判定
判定公式的恒真性,包括判定公式是恒真的或是恒假的。
具体方法有两种,一是真值表法,对于任给一个公式,主要列出该公式的真值表,观察真值表的最后一列是否全为1(或全为0),就可以判定该公式是否恒真(或恒假),若不全为0,则为可满足的。
二是推导法,即利用基本等价式推导出结果为1,或者利用恒真(恒假)判定定理:
公式G是恒真的(恒假的)当且仅当等价于它的合取范式(析取范式)中,每个子句(短语)均至少包含一个原子及其否定。
这里要求的析取范式中所含有的每个短语不是极小项,一定要与求主析取范式相区别,对于合取范式也同样。
2、范式
求范式,包括求析取范式、合取范式、主析取范式和主合取范式。
关键有两点:
一是准确理解掌握定义;
另一是巧妙使用基本等价式中的分配律、同一律和互补律,结果的前一步适当使用等幂律,使相同的短语(或子句)只保留一个。
另外,由已经得到的主析取(合取)范式,根据
原理,可以求得主合取(析取)范式。
3、形式演绎法
掌握形式演绎进行逻辑推理时,一是要理解并掌握14个基本蕴涵式,二是会使用三个规则:
规则P、规则T和规则CP,需要进行一定的练习。
例1下列语句中哪个是真命题。
A.我正在说谎。
B.请勿喧哗。
C.如果4+4=8,那么5+6=12。
D.如果4+4=9,那么5+6=12。
例2求
的主析取范式与主合取范式。
解
(1)求主析取范式,
方法1:
利用真值表求解
G
000
001
010
011
100
101
110
111
因此
方法2:
推导法
(2)求主合取范式
方法1:
利用上面的真值表
为0的有两行,它们对应的极大项分别为
因此,
利用已求出的主析取范式求主合取范式
已用去6个极小项,尚有2个极小项,即
与
例3试证明公式
为恒真公式(重言式)。
证法一:
(真值表法)
证法二:
G=((PQ)(QR))(PR)
=(PQ)(QR)PR
=(((PQ)(PR)(QQ)(QR))P)R
=((PQP)(PRP)(QRP))R
=(1(QRP))R
=QRPR
=1
故G为恒真公式。
例4利用形式演绎法证明{P(QR),SP,Q}蕴涵SR。
证明:
(1)SPP
(2)SP(附加条件)
(3)PT
(1),
(2)
(4)P(QR)P
(5)QRT(3),(4)
(6)QP
(7)RT(5),(6)
(8)SRCP
(2),(7)
例5用形式演绎法证明:
{PQ,RS,PR}蕴涵QS。
(1)PRP
(2)RPT
(1)
(3)PQP
(4)RQT
(2)(3)
(5)QRT(4)
(6)RSP
(7)QST(5)(6)
(8)QST(7)
例6利用基本等价式证明下面命题公式为恒真公式。
((PQ)(QR))(PR)
((PQ)(QR))(PR)
(PQ)(QR)PR
((PQ)P)((QR)R)
(1(QP))((QR)1)
QPQR
(QQ)PR
1PR
1
例7设P:
天下雨,Q:
天刮风,H:
我去书店。
则将命题“如果天不下雨,而且也不刮风,我就去书店”符号化为。
谓词逻辑
[复习知识点]
1、谓词、量词、个体词、个体域、变元(约束变元与自由变元)
2、谓词公式与解释,谓词公式的类型(恒真、恒假、可满足)
3、谓词公式的等价和蕴涵
4、前束范式
谓词与量词、公式与解释、前束范式
1、理解谓词、量词、个体词、个体域、变元的概念;
理解用谓词、量词、逻辑联结词描述一个简单命题;
了解命题符号化。
2、理解公式与解释的概念;
掌握在有限个体域下消去公式量词,求公式在给定解释下真值的方法;
了解谓词公式的类型。
3、理解用解释的方法证明等价式和蕴涵式。
1、谓词与量词
反复理解谓词与量词引入的意义,概念的含义及在谓词与量词作用下变量的自由性、约束性与改名规则。
2、公式与解释
能将一阶逻辑公式表达式中的量词消除,写成与之等价的公式,然后将解释I中的数值代入公式,求出真值。
[典型例题]
例1设I是如下一个解释:
F
(2)F(3)P
(2)P(3)Q(2,2)Q(2,3)Q(3,2)Q(3,3)
32011101
求
的真值。
例2试将一阶逻辑公式化成前束范式。
解
例3
中,约束变元是。
A.xB.yC.zD.x和z
例4利用谓词的约束变元改名规则和自由变元代入规则,可将如下公式:
(
x)(P(x)→R(x,z))∧Q(x,z)改写成。
A.(
x)(P(y)→R(x,y))∧Q(z,s)
B.(
z)(P(z)→R(z,s))∧Q(x,s)
C.(
x)(P(s)→R(x,s))∧Q(x,y)
D.(
s)(P(s)→R(s,z))∧Q(x,y)
例5在谓词演算中,P(a)是
的有效结论,其理论根据是。
A.全称指定规则(US)B.全称推广规则(UG)
C.存在指定规则(ES)D.存在推广规则(EG)
例6表达式xyL(x,y)中谓词的定义域是{a,b,c},将其中的量词消除,写成与之等价的命题公式为
(L(a,a)L(a,b)L(a,c))(L(b,a)L(b,b)L(b,c))(L(c,a)L(c,b)L(c,c))
例7设解释I为:
(1)定义域D={-2,3,6};
(2)F(x):
x3;
G(x):
x5。
在解释I下求公式x(F(x)G(x))的真值。
x(F(x)G(x))
(F(-2)G(-2))(F(3)G(3))(F(6)G(6))
(10)(10)(01)
1
例8设F(x):
x是鸟,G(x):
x会飞翔。
则命题“鸟都会飞”符号化为()
例9试求谓词公式
中,x,x,y的辖域,试问R(x,y)和A(x,y)中x,y是自由变元,还是约束变元?
例10在谓词公式(x)(P(x,y)
y)Q(x,y))
(z)R(x,z)中,(x)中量词的作用域是。
例11若用公式(
x)(P(x)
S(x))表示命题有些人不聪明,则其否定命题可以被表示为。
例12考虑以下赋值。
论域D={1,2};
指定谓词P
(1)=T,P
(2)=F,Q
(1)=F,Q
(2)=T,则(x)P(x)
x)Q(x)的真值为。
例13谓词公式(
)(
)
的前束范式为。
例14谓词公式(
中约束变元为,自由变元为。
例15设个体域D={a,b},那么谓词公式
消去量词后的等值式为.
图论
1、图、完全图、子图
2、关联矩阵、邻接矩阵、可达性矩阵
3、权图、路
4、树、K叉树、二叉树
5、权图中的最小树,克鲁斯卡尔算法(Kruskal)
6、有向图、有向树
通路的计算、最小生成树、最优K叉树
1、理解图的有关概念:
图、完全图、子图。
2、掌握图的矩阵表示(关联矩阵、邻接矩阵)。
3、理解权图、路的概念。
4、理解树、二叉树的有关概念;
,用Kruskal算法求权图中最小树的方法。
5、理解有向图与有向树的概念。
1.本章的概念较多,学习时需要认真比较各概念的含义,如:
图、子图、有向图、权图;
树、二叉树、有向树;
路、简单路、回路等,这些都是图的基本概念,今后将在数据结构、数据库、计算机网络等课程中用到。
2、权图中的最小生成树
使用克鲁斯卡尔(Kruskal)算法。
例1在具有n个顶点的完全图Kn中删去多少条边才能得到树?
n个顶点的完全图Kn中共有n(n-1)/2条边,
n个顶点的树应有n-1条边,
于是,删去的边有:
n(n-1)/2-(n-1)=(n-1)(n-2)/2
例2设G是由5个顶点组成的完全图,则从G中删去(C)条边可以得到树。
A.4B.5C.6D.10
例3已知图G的相邻矩阵为
,则G有(C)。
A.5点,8边B.6点,7边C.5点,7边D.6点,8边
例4设有5个城市v1,v2,v3,v4,v5,任意两城市之间铁路造价如下:
(以百万元为单位)
w(v1,v2)=4,w(v1,v3)=7,w(v1,v4)=16,w(v1,v5)=10,w(v2,v3)=13,w(v2,v4)=8,w(v2,v5)=17,w(v3,v4)=3,w(v3,v5,)=10,w(v4,v5)=12
试求出连接5个城市的且造价最低的铁路网。
首先将本题用权图来描述,于是求解此题便成为求权图中的最优支撑树问题,
按克鲁斯卡尔算法,下图为求解最优支撑树的过程:
(a)(b)
(c)(d)(e)
连接5个城市的造价最低的铁路网总造价为24(百万元)。
例5n阶无向完全图Kn中的边数为(A)
(A)
(B)
(C)n(D)n(n+1)
例6无向图G是欧拉图,当且仅当(C)
A.G中所有结点的度数全为偶数B.G中所有结点的度数全为奇数
C.G连通且所有结点的度数全为偶数D.G连通且所有结点的度数全为奇数
例7已知图G中有1个1度结点,2个2度结点,3个3度结点,4个4度结点,则G的边数是15条
注:
边数*2=度数之和
例8设给定图G(如第8题图所示),则图G的
ab
fc
ed
第8题图
点割集是
例9设有向图D,如第9题图所示,e5
求从v1到v4长度为3的通路有几条?
v1v4
并详细列出。
e1e2e4e6
v2e3v3
例10求图G(如图第10题图所示)
的一棵最小生成树。
例11:
p321-(3)
例12:
p334例3,p337-(5)
例13:
p311-
(2)(3)(6)
例14:
p300-
(1)
例15:
P336前缀码
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