第七章 中高频的梁式滤波器Word格式.docx
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另外由于残留应力会使悬臂梁发生变形,其效果完全可以对设计的初衷造成破坏。
所以目前的梁式谐振器都是采用双端固支梁。
双端固支梁式谐振器在一定程度上对上述悬臂梁所具有的缺点有所改善,尤其是在提高频率方面。
无论是悬臂梁或者是双端固支梁都是由电容形式来完成能量转换的。
但是与双谐振器相比较,谐振梁的电容的能量转换还是有所不同的,其主要原因在于电容对位移的偏微分后的值仍然和位置有关,不能完全消除位移的影响,这样就会使梁上不同位置的受力也有所不同,即位移越大,那一位置所受到的驱动力也就越大,于是在分析时就不能认为谐振梁是受均匀力作用发生变形的。
如果是这样,振动时,梁的位移模式就相当复杂,对我们分析输出电流造成很大的困难。
如何解决这个问题,以方便后续的工作继续展开非常重要。
所以本节从谐振梁的电容分析入手,用另一个观点入手解决这个问题。
1电容
梁式微谐振器的有点在于其谐振频率可以做的很高,直接原因是梁的几何尺寸可以做的很小,但相较与其动态等效质量,其弹性系数业已很大。
而且梁式谐振器的驱动和感应是直接利用电容的静电感应所致。
为了提高谐振频率,降低驱动电压,一方面要减小谐振器的尺寸,另一方面又要减小梁和固定电极之间的距离,这样电容的值就不能不考虑边缘效应。
下式是本文对梁式谐振器和固定电极间所形成电容的描述方程:
(7.1)
式中l0是谐振梁与固定电极相交叠的长度,hth是结构层的厚度,d是谐振梁和固定电极的距离,Pw是谐振梁在振动方向的宽度,
是边缘效应因子,属经验函数,其和(Pth/d)的关系见图7.2。
从第三章中可以可出,谐振器的驱动力和静电感应电流都是和电容对位移微分的函数。
所以此结果对信号的线性传输分析很重要。
梁的振动幅度和梁的振动时的模式都有必要作以研究。
设谐振梁的振动方向是y,两场方向是x,则一段长度上的电容对位移的微分可以表示成:
(7.2)
(7.3)
式中d0是静态时梁与固定电极之间的距离,δ是振动位移,是谐振梁上相较支座位置和受力的函数,
是将梁长微分后的一个单位的长度,
是这个单位长度上的电容。
为了分析的方便,一般都将上式展开成泰勒级数形式:
(7.4)
为了保证信号传输的线性度,通常振幅都小于极板间距的十分之一,所以上式可以忽略三次以上的高次项,又考虑到
,得到表达式:
(7.5)
至此,我们已经知道了电容对位移进行偏微分后,起主要作用的因素与其的关系。
为了简化表达的形式,我们令:
(7.6)
于是(7.5)式可以写成:
(7.7)
2驱动力
从第三章公式(3.10)知道电容静电力的关系式,在这里我们将其重新写出:
(3.10)‘
对于谐振梁,在振动时,因为是受静电力的作用,所以从支座到梁的中点所受并不是均匀力,因此梁上各点的振幅也不尽相同。
下面的论述中我们仍以y方向作为其振动方向。
将上式做和电容推导相同的假设后,把(7.7)式代入上式,我们可以得到:
(7.8)
将
代入上式,因为单梁谐振器只是利用其基频振动模式,所以本文消去没有振动频率的项和高倍频项后,谐振梁所受得总力是:
(7.9)
我们知道,驱动力和驱动信号电压有90o的相位滞后的项是和谐振梁的位移有关的,将直接导致谐振器有效弹性系数的变化,即它们将构成电学弹性系数,因为它们对谐振器的传输函数性有影响,所以保留上式中与驱动信号有90o相位差的振动驱动项:
(7.10)
一般而言,直流偏压要远远大过信号电压,上式经过约化后,可以得到电学弹性系数的表达式:
(7.11)
从上式我们知道电学弹性系数是梁式谐振器非线性特性的一个主要影响因子,因为它是一个弹性柔量,和外加电压有直接的关系。
电压的变化将直接导致谐振梁的有效弹性系数的变化,从而影响谐振器的谐振频率。
并且由于有高次项系数ke3的存在,加大了谐振器传输函数的非线性,通带的形状也会有所变形,尤其是对具有高Q值的谐振器或滤波器通带会构成相当大的影响,使其通带产生很大的变形。
为了设计出具有高Q值的谐振器,必须减小ke3的影响。
对于谐振梁而言,由于有电学弹性系数的存在,谐振器的有效弹性系数将有所改变。
正像前面所提到的,如此的设置将梁上任一点位移和受到与其相关的力的关系转化成梁的有效弹性系数的变化,避免了对超越方程的求解。
这样谐振梁的有效弹性系数可以写成:
(7.12)
从上式中可以看出来增加直流偏压会导致谐振梁的有效弹性系数的减小,更进一步的说谐振梁的谐振频率会因为直流偏压的增加而降低。
当然km3也对基频振动模式有所影响,它和ke3共同作用的结果是我们不希望看到的。
从上式我们可以看出,在保证相信号得以传输的条件瞎,适当地对直流偏压作以调整,可以减弱电学弹性系数ke3对通带的影响,甚至是完全消除它的影响。
3谐振频率和谐振梁振动时的位移模量
对于简单的质量块-阻尼-弹簧构成的振动系统来说,其振动可以由式(3.2)表示。
式中因为驱动力和质量块的位移无关,所以它的有效弹性系数就是弹簧的弹性系数。
但是从上面的分析知道,对谐振梁而言,由于驱动力是和质量块位移有关,所以有效弹性系数比原来减小了许多,见式(7.12)。
将其代入(3.2)式,并且忽略位移高次项的电学弹性柔量ke3和驱动力的高次项,我们可以得到谐振梁在静电力驱动下,其任意一点位置集总参量模型基频模态的振动方程:
(7.13)
从第四章的分析中可以知道,若在空气中,ceq是振幅的函数,也既是梁的位置x的函数。
但是如果将其暴露在空气中,机械谐振器的优点——高Q将一无所剩。
所以梁式谐振器通常也是设置在真空进行工作。
这样,谐振梁的阻尼项中,因空气引起的成分被忽略,这样导致谐振梁品质因子下降的诱因就是材料、应力、支座和寄生效应等和振幅无关的成分。
所以上式中的阻尼系数作为一个常数存在。
又因为谐振梁是单材料制成,且沿长度方向尺寸不变,所以认为其上任一一点的分布参数振动模式为
(7.14)
其中munit和cunit分别表示单位长度上的质量和阻尼,弹性系数在梁上也是同样大小,这里是指某一处弹性系数。
这样等号右边所表示的外力只会影响谐振梁的弹性系数,而不会再对谐振梁的谐振频率造成影响,于是可以很方便的求出谐振频率。
因为是固支梁,所以在其端点处,梁的限制条件为:
(7.15)
上式中的L是谐振梁的长度。
因为我们关心的是基频振荡模式,所以只需令
,代入上式,然后再将振型函数正则化,可以得到
凭借观察,我们知道谐振梁的一阶谐振频率是:
(7.16)
从此式可以很明显的看出电学弹性柔量对谐振频率的影响,所以可以通过调节外加电压来对谐振器的谐振频率进行调制。
对一个固有频率为100MHz的谐振梁,令其厚度为2um,宽度是1um,长度是15.3um,则其单位长度的弹性系数是158.1kgum3/s2。
如果电极长度也是15um,和谐振梁的间距是1um,取偏压5V,那么,它的单位长度的弹性系数是在15V左右,约是机械弹性系数的十分之一。
这个比例是和外加直流偏压呈正比的,也就是说,Vp越大,谐振梁的谐振频率越小。
目前谐振器都是在真空中工作,并且品质因子越来越高,这就使得驱动电压和直流偏压的值越来越小,所以直流偏压对谐振频率的影响程度也随着其值的降低而减小。
下面对梁振动模式的位移分量进行求解。
对双端固支梁而言,其固有振型可以写为下式:
(7.17)
式中
是常数,其确定方法如下,其振型函数进行正则化有如下等式成立,即:
(7.18)
解后,则有
(7.19)
于是可以得到正则振型函数为:
(7.20)
将此式代入(7.15)的右端,可以得到广义力的表达式:
于是可以得到谐振梁的时间分量的解析式:
(7.21)
最终解得
(7.23)
于是得到系统的响应
(7.24)
从上式可以看出,当分析谐振梁上某一点时,它和式(3.4)并没有多大差别,多了一个关于位置得常数。
在广义力得表达式中,可以发现当谐振梁得截面越大,梁上此点所受得力就会越小,同时梁越长,谐振梁所受的力也越大,这可以理解成受静电力的面积越大。
但是梁长了,又会降低角频率。
但是单位长度质量的减小却有助于提高谐振频率。
所以为了降低驱动电压和直流偏压的幅度,提高谐振频率,应该减薄谐振梁的厚度,增加高度,在一定优化的条件范围内,确定梁的长度。
另外为了保证梁作为能量转换器时能将信号线性的传输,所以要求梁的最大位移小于十分之一间距,因此对振幅的分析就显得比较重要。
下面将谐振时,谐振梁正中位置的振幅表达式写出:
()
从上式中可以看出,如果外加电压和品质因子固定,从结构上减小谐振梁的截面积和极间间距,增大结构层厚度可以加大振幅。
若结构固定,则加大直流偏压和驱动电压是为最直接的手段,并且振动系统的品质因子对提高谐振梁的振幅也很明显。
从第三章的分析知道,提高品质因子一方面可以凸现机械谐振器的优点,另一方面在保证一定的振幅的条件下,可以降低驱动电压,即Q发达作用。
上式有一次证明了Q放大作用对谐振梁的影响。
但同时又出现了一个不好的现象,就是功能损耗是一个相当复杂的机制,Q并不是一个可以量化的控制因子。
这样的结构就是振幅也不可控。
4感应电流
通常,梁式谐振器的输出端也是采用静电感应来得到输出电流。
在高频领域,其面临的问题就逐渐显露出来。
在本节中就其进行讨论。
输出电流的表达式已由(3.26)表示,这里对谐振梁上任一点所产生的电流表示如下:
(7.25)
式中A、B的具体值见式(7.6)。
因为在真空条件下,直流偏压可以比信号电压大3~4个数量级,所以上式可以进一步简化。
在这里假定固定电极和梁的长度相同。
然后再对谐振梁处于谐振状态下,在梁的长度上积分,就可以得到总的输出电流:
(7.26)
从此式分析,当我们要求谐振梁的谐振频率达到100MHz以上时,如果谐振梁尺寸同前,那么为了保证线性度,谐振梁的振幅最大不可超过0.14um。
将其代入(7.26)式,可以看到输出电流是在量级,太小,而其变化幅度也非常小,实在不容易从噪声干扰信号中被甄别出来。
7.2场发射效应电流
上节的讨论使我们明白频率的提高在很大的程度上是由于为了保证线性度,谐振梁的振幅被限制很小的值的范围内,于是静电感应输出电流太小,不能和换能端口同时存在的噪声信号分离开来。
这样的话,虽然机械谐振器具有高Q值的优点,也会因为端口的输出电流不能对位移有很灵敏的反应而一无是处——信号被噪声湮没。
通过解读式(7.26),可以很轻松的发现,在按傅立叶级数展开的式中,和位移量有关的系数太小,抛却输入频率和直流偏压项,我们发现主要是因为空气的介电常数太小——8.85e-12。
所以本论文认为若要提高机械谐振器的工作频率,除了进一步提高品质因子以外,应该利用对位移较为敏感的手段来进行信号输出。
场发射电流对距离的变化很敏感。
对于一个场发射二极管,设其阴极和阳极之间的距离为d,从Fowler-Nordheim公式可以看出,
(7.27)
其中α是阴极发射尖端的有效场发射面积,κ是发射尖端电场的提高因子,φ是发射尖端制作材料的功函数。
从上式中可以知道二极管的阴阳极之间的距离是在电流的指数项,所以距离的变化在电流上会以指数的形式反应出来,虽然与此同时,距离还和距离的平方呈反比,多少会在整体上降低电流对距离变化的灵敏度。
为了分析的方便,我们仍然把它展开成为泰勒级数形式:
(7.28)
则我们所关心的动态电流在间距变化时可以写成
(7.29)
在此,我们发现电流公式中同样具有位移项。
这些位移项也限制了梁的振幅,即最大振幅小于梁与发射尖端的距离的十分之一,如此才能使信号的传输保持良好的线性。
从另外的角度看,化解成泰勒级数后,再加上对振幅的限制,其形式和电容感应电流的泰勒展开式并没有什么差别。
将(7.26)和(7.29)式作以比较,就可以发现其间最大的差别在于系数的不同。
假设其振幅相同,也就是在振动相同的条件下,将已知的若干试验数据代入,可以发现振动时,感应输出电流将会比场发射电流小3个数量级以上,也就是说场发射电流要比电容感应电流对距离变化敏感的多。
这样的敏感度,使即使是很小的距离变化,也会被场发射电流以巨大的幅度变化反映出来。
另外,从已有的试验数据来看,场发射自身所造成的噪声干扰与场发射电流相比很小,在试验曲线上根本反应不出来。
综上所述,因对位移非常敏感,故场发射电流的变化幅度很大,所以噪声对信号的干扰程度相较就弱了许多,遏制了因为提高频率就必须减小振幅而导致滤波后的信号微弱,最终信号电压被噪声干扰湮没的现象发生。
7.3利用场发射效应的水平式二极管
目前利用表面加工技术
制作水平式场发射二极管和三极管受到越来越多的重视【】,这种结构的二极管和三极管的示意图见图7.3,制作方法也很简单,尤其是对距离的控制很是方便。
通常其制作流程如图7.4所示。
通过介绍可以看到只需要控制氧化的时间就可以达到控制关键间距的目的。
目前
(真空度,电流密度,电压的调节作用,通常试验中的数据所决定的电流,以及导致(7.29))式中的常系数的大小,与静电感应电流的比较)
7.4利用场发射电流的梁式谐振器
场发射被应用于高频谐振梁,谐振器系统的构造可由图7.5所示。
和传统的谐振梁式比较,只有信号的输出部分改用了场发射技术——在谐振梁和输出端之间形成场发射二极管,直观地看少了一个静态电容,不能在输出端口自然地形成一个电压信号,只能以电流源的形式存在,进一步的说,就是输出端口的机电耦合系数不一样了,不再是依赖电容对位移的微分项了。
而且为了最大程度的减小输入电压,获取大的驱动力,固定电极和谐振梁的交叠长度也要尽量逼近谐振梁的长度。
于是我们就可以得到它的等效电路图——图7.6。
从前面的分析,我们已经知道,信号在能保证线性传输的条件下,谐振梁的振动是很微小的。
通常此振幅是电容间距的十分之一甚至是二十分之一。
于是驱动力可以写成如下形式:
式中A,B参见式(7.6)。
中还存在和位移有关的项,这项和驱动的信号电压无关,只是在客观上上形成了弹性柔量。
为了分析方便,我们认为驱动力中,这部分不对机电耦合系数作影响,只会使系统的有效弹性系数成为外加直流偏压的函数。
这样我们也可以很方便的得到梁式谐振器输入端的机电耦合系数:
从上式我们同样发现,在相位上,驱动力要比驱动信号电压滞后180o。
将驱动力中和位移有关的项不作考虑还有一个很大的优点在于可以认为位移是和力无关的。
同样对于场发射电流,因为其傅立叶展开式中仍然存在位移的二次项:
为了保证线性度,对振幅作以限制,这样简化的电流变化公式可以写成:
这样输出换能端的机电耦合系数就可以写成:
利用场发射电流,谐振器作为一个二端口元件,其可以由图7.5表示。
7.5利用场发射电流和电容的梁式滤波器
在第五章中,介绍了
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