线性代数教案.doc
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线性代数教案.doc
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第二章矩阵
§2.1矩阵及其运算
教学目的:
使学生学习矩阵相关的概念及运算
教学重点:
矩阵的概念及运算,几种特殊的矩阵
教学难点:
矩阵的的乘法运算,
一、导入
矩阵是从实际问题的计算中抽象出来的一个数学概念,是数学研究中常用的工具,它不仅在数学中的地位十分重要,而且在工程技术各领域中也有着广泛的应用。
矩阵的运算在矩阵的理论中起着重要的作用。
它虽然不是数,但用来处理实际问题时往往要进行矩阵的代数运算。
二、新授
1.定义1:
由个数排成的行列的表
称为行列矩阵(matrix),简称矩阵。
一般用大写黑体字母表示:
记为A、B、C。
为了表示行和列,也可简记为或矩阵中数称为矩阵的第行第列元素。
注意:
m=n时是方阵,此时矩阵称为n阶方阵或n阶矩阵。
n=1称为列矩阵或列向量。
m=1称为行矩阵或行向量。
定义2:
如果两个矩阵有相同的行数,相同的列数,并且对应位置上的元素均相等。
则称两个矩阵相等。
记为A=B。
把有相同行数,相同列数的两个矩阵称为同型矩阵。
例1某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵
其中为工厂向第店发送第种产品的数量。
这四种产品的单价及单价重量也可列成矩阵
其中为第中产品的单价,为第种产品单价重量。
2.特殊形式矩阵:
(1)n阶方阵:
在矩阵中,当时,称为阶方阵
(2)行矩阵:
只有一行的矩阵叫做行矩阵
列矩阵:
只有一列的矩阵
叫做列矩阵
(3)零矩阵:
元素都是零的矩阵称作零矩阵
3.相等矩阵:
对应位置上的元素相等的矩阵称作零矩阵
4.常用特殊矩阵:
(1)对角矩阵:
(2)数量矩阵:
(3)单位矩阵:
(4)三角矩阵:
称作上三角矩阵,称作下三角矩阵。
5.矩阵的运算
一、矩阵的加法:
定义3:
A+B=()+()=(+)
=
两个同型(m行)、同列(n列)的矩阵相加等于对应位置上的元素相加(行与列不变)
由于矩阵加法归结为对应位置元素相加,故矩阵加法满足如下运算律
1、交换律A+B=B+A
2、结合律(A+B)+C=A+(B+C)
3、有零元A+0=A
4、有负元A+(-A)=0
二、数与矩阵的乘法
定义4、给定矩阵A=()及数k,则称(k)为数k与矩阵A的乘积。
即kA=k=
由定义可知–A=(-1)A
A–B=A+(-B)
数与矩阵的乘法满足下列运算律(设,,为矩阵,,为数):
(a)
(b)
(c)
例1设
,求。
解:
三、矩阵的乘法
(1)定义5:
设两个矩阵,,则矩阵与矩阵的乘积记为,规定,其中
(2)矩阵的乘法满足下列运算律(假设运算都是成立的):
(a)结合律:
;(b)分配律:
;
(c)设是数,。
例2设,,
求,与。
解:
;
从例题中我们可以得出下面的结论:
(i)矩阵的乘法不满足交换律。
即一般地说,。
(ii)两个非零矩阵的乘积可能等于零。
一般说来,不能推出或。
(iii)矩阵乘法中消去律不成立。
即,且,不能推出
(3)设是一个阶方阵,
定义:
(是正整数)称为的次方幂。
由于矩阵的乘法适合结合律,所以方阵的幂满足下列运算律:
;,
其中,为正整数。
又因为矩阵乘法一般不满足交换律,所以对两个阶方阵与,一般说来,。
设是的一个多项式,为任意方阵,则称为矩阵的多项式
四、矩阵的转置
1.定义:
设
则矩阵称为的转置矩阵
2.矩阵的转置是一种运算,它满足下列运算律(假设运算都是可行的):
(1)
(2)
(3)(是数)(4)
例3设BT=B,证明(ABAT)T=ABAT
证明:
因为BT=B,所以(ABAT)T=[(AB)AT]T=(AT)T(AB)T=ABTAT=ABAT
3.定义:
设为阶方阵,如果,即有则称为对称矩阵。
如果,即有,,则说为反对称矩阵。
五、方阵的行列式
1.定义6:
由阶方阵所有元素构成的行列式(各元素的位置不变),称为阶方阵的行列式(determinantofamatrixA),记作||或。
2.阶行列式的运算满足下列运算律(设,为阶方阵,为数):
(1);
(2);(3)。
3.小结:
本节介绍了矩阵的概念和矩阵的特殊形式和特殊矩阵以及矩阵的加、减、数乘、乘法、转置、方阵行列式的运算,这些运算在矩阵理论中占有重要地位,特别是乘法运算,要熟练掌握这些运算。
§2.2逆矩阵
教学目的:
会判断矩阵的可逆性,矩阵可逆的条件
教学重点:
1.可逆性判定;2.矩阵可逆的条件
教学难点:
求逆矩阵
一、导入
求逆矩阵是矩阵的一种重要运算,它在矩阵的应用中起到重要的作用。
二、新授
逆矩阵的概念
1.定义:
设为阶方阵,若存在阶方阵,使
则称是可逆矩阵。
并称为的逆矩阵,记为,即。
如果矩阵是可逆的,则的逆矩阵是唯一的。
事实上,设,都是的可逆矩阵,则有,
于是。
2.定义:
设为阶方阵,若,则称是非奇异的(或非退化)的,否则称是奇异的(或退化的)。
3.定义:
设,令为中元素的代数余子式,则称方阵
为的伴随矩阵,或记为。
矩阵可逆的充要条件
定理:
方阵可逆的充分必要条件是为非奇异矩阵,即,并且
证明:
充分性:
设
,
由第一章中定理1.4及推论可知
又知,所以有故可逆,且。
证毕。
推论1:
若是可逆矩阵,则经过若干次初等变换后所得矩阵仍为可逆矩阵。
推论2:
若(或),则。
方阵的逆矩阵满足下面运算律:
(1)若可逆,则;
(2)若可逆,数,则;
(3)若,为同阶可逆矩阵,则;
(4)若可逆,则;(5)若可逆,则
逆矩阵的计算方法:
伴随矩阵求逆矩阵
例1求方阵的逆阵。
解:
求得,所以存在,又
得所以
例用伴随矩阵法求A的逆矩阵
解:
因为,所以A可逆。
,
,,
3.小结:
本节讲授了逆矩阵的概念、可逆条件和求逆的方法,要求会求逆矩阵。
§2.3矩阵的分块法
教学目的:
会用分块矩阵作加、减、数乘法、转置运算
教学重点:
分块矩阵的乘法运算
教学难点:
分块矩阵的乘法运算
一、导入
对于行数和列数较大的矩阵我们经常会采用一种分块的方法(即将高阶矩阵划分成若干个小块后再进行降阶运算),它是计算高阶矩阵的一种有用的技巧。
二、新授
分块矩阵的概念
设是一个矩阵,我们将用若干条横线和纵线分成许多小矩阵,每一个小矩阵称为的子块(或称为的子矩阵),以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。
分块矩阵的运算
1.分块矩阵的加法:
设矩阵A和B是两个同型矩阵,且采用同样的方式进行分块,则分块矩阵A与B相加,只需的把对应子块相加。
2.数与分块矩阵的乘法:
数与分块矩阵相乘等于用这个数乘每一个子块。
3.分块矩阵的乘法:
设A为m×s矩阵,B为s×n矩阵,将它们分块成
,
其中
4、分块矩阵的转置:
设
,则
5、分块对角矩阵的行列式具有性质:
例设矩阵
,求A+B,AB。
解:
按相同的分法把A,B分成以下子块
则有而
所以,
而,故.
3.小结:
本节主要介绍矩阵的分块运算,作为选讲内容,对其概念和运算要求一般性的掌握。
第三章矩阵的初等变换与线性方程组
§3.1矩阵的初等变换
教学目的:
掌握矩阵的初等变换和初等矩阵,会进行初等变换
教学重点:
初等变换,利用初等变换求矩阵的逆
教学难点:
利用初等变换求矩阵的逆
一、导入
矩阵的初等变换是一种奇妙的运算,它在线性代数中有着极其广泛的应用,借助它我们可以得到很多有用的的结论。
二、新授
定义1下面三种变换称为矩阵的初等行(列)变换:
(1)互换矩阵中两行(列)元素(记ri←→rj或ci←→cj);
(2)用一个非零数k乘矩阵的某一行(列)(记k×ri或k×ci);
(3)矩阵的某一行(列)元素倍地加到另一行(列)对应元素上(记ri+k×rj或ci+k×cj);(注意:
本行的元素并没有改变)
矩阵的初等行或列变换统称矩阵的初等变换。
如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B,则称A与B等价。
记做A~B或A→B。
矩阵等价的三个性质:
(1)反身性A→A;
(2)对称性若A→B,则B→A;
(3)传递性:
若A→B,B→C,则A→C。
行阶梯形矩阵:
可画出一条阶梯线,线的下方全为零,每个台阶只有一行,即每段竖线的长度为一行,竖线后面的第一个元素为非零数。
如
,,
等都是行阶梯形矩阵。
行最简形矩阵:
在行阶梯形矩阵的基础上,每个非零行左数第一个非零元是1,并且它所在列的其它元素都是零。
标准型矩阵:
它的左上角为一个单位阵,其它元素都是零。
就是.
定理1任意一个m×n矩阵A,总可以经过有限次初等行变换将其变成行阶梯形矩阵,进一步还可化成行最简形矩阵。
定理2一个非奇异矩阵A,可以经过有限次初等行变换变成单位阵。
定理3任意一个m×n矩阵A,总可以经过有限次初等变换将其变成标准型矩阵
定义2(初等矩阵)对单位矩阵E施行一次初等变换后得到的矩阵,称为初等矩阵。
有以下三种类型:
对调、倍乘、倍加,
1.对调两行或对调两列记为
。
2.以k≠0乘矩阵某行或某列记为
其中。
3.以数k乘矩阵某行(列)加到另一行(列)上去记为
初等矩阵有如下性质:
性质1初等矩阵都是可逆矩阵,且其逆阵也是同类初等矩阵,
;;
性质2初等矩阵的转置仍是同类初等矩阵,
;;
性质3对矩阵A施行一次行初等变换相当于在A的左边乘一个同类m阶初等矩阵;而施行一次列初等列变换相当于在A的右边乘一个同类n阶初等矩阵。
初等矩阵的这个性质为计算逆矩阵提供了一个方法,讨论如下。
设A是阶可逆矩阵,由上节定理2(一个非奇异矩阵A,可以经过有限次初等行变换变成单位阵)则A可经过有限次初等行变换变成单位阵,即存在一批初等矩阵P1、P2、…、Ps,使得
Ps…P2P1A=E,所以Ps…P2P1=A-1,
这样,如果把将A化成E过程中的每个初等阵Pi都记载下来,就可得到A的逆矩阵A-1=Ps…P2P1,可以想象这样做也很麻烦。
采用对比的方法:
Ps…P2P1A=E,
Ps…P2P1E=A-1,
就是说,对A做什么样的初等行变换,就对E做什么样的初等行变换,而不必记载中间的初等变换的具体结果,直至将A化成E。
再考虑到分块矩阵的乘积,有
Ps…P2P1(A|E)=(Ps…
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