初三奥数竞赛专项训练题及答案Word格式.docx

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3、已知实数z、y、z满足x+y=5及z=xy+y-9，贝Ux+2y+3z=

4、已知xi、X2、、X40都是正整数，且X1+X2++X4o=58,若Xi2+X22++X402的最大值

为A,最小值为B,则A+B的值等于

5、计算（34+4）（74+4）（114+4）（154+4）……（394+4）_

、算（544）（944）（1344）（1744）（4144^

6、已知多项式ax3+bx2-47x-15可被3x+1和2x-3整除，贝Ua+b=

三、解答题：

1111

1、已知实数a、b、c、d互不相等，且a•-二b•-二c•一二d•—=x，试求x的值。

bcda

2、如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax2bxc的值都是平方数（即整数的平方）。

证明：

①2a、ab、c都是整数。

②a、b、c都是整数，并且c是平方数。

反过来，如果②成立，是否对于一切x的整数值，x的二次三项式ax2bxc的值都是平

方数？

3、若a=19952199521996219962，求证：

a是一完全平方数，并写出a的值

4、设a、b、c、d是四个整数，且使得m=（ab•cd）?

一1（a2•b2-c2-d2）2是一个非零整数,4

求证：

|m|—定是个合数。

5、若a2的十位数可取13、5、7、9。

求a的个位数

参考答案

一、选择题

1、解：

根据题意，这批衬衣的零售价为每件m（1+a%元，因调整后的零售价为原零售价的b%所以调价后每件衬衣的零售价为m（1+a%b%元。

应选C

2、解：

由已知，a,b,c为两正一负或两负一正。

①当a,b,c为两正一负时：

+

|b|

旦1所以旦A」.卫0=0；

|abc||a||b||c||abc|

②当

a,b,

c为两负一正时:

|a||b|

_1,牡=1所以2B菖二。

|abc||a||b||c||abc|

由①②知——cabc所有可能的值为0。

|a||b||c||abc|

应选A

C

3、解：

过A点作AD丄CD于D,在Rt△BDA中，贝U于/B=60°

，所以D吐C,

2

AD=-^C。

在Rt△ADC中，DC=AC—aD,所以有（a-C）2=b2--C2,

224

整理

得

2a

22

c=b

+ac,

从

而

有

ca

2c

cba2

ab

22ac

abbc=1

abcb（ab）（cb）acabbcb

应选C

4、解：

因为（a+b）2=6ab,（a-b）2=2ab,由于a<

b<

0,得ab二-6ab,a「b二-2ab,

ab

故_

a-b

1

5、解：

.a2b2c2_ab「bc「ca[（a_b）2（b_c）2（c_a）2],

又a-b--1,b-c--1,c-a=2

■原式=1[（T）2（T）222]=3

应选D

6、解：

因xyz=（a-1）2（b-1）2（c-1）2二-30则x、y、z中至少有一个大于0

二、填空题1、解：

设该商品的成本为a,则有a（1+p%）（1-d%）=a，解得d=」°

也

100十p

1厂1

a0,^且a0o

aa

2、解因为一1<

a<

0,所以丄：

：

-1：

a,即

a

=|a-丄||a丄卜a-丄一（a丄）--2

aaaaa

（a_丄）2+J（a+-）2

a.a

3、解：

由已知条件知（x+1）+y=6,（x+1）•y=z2+9,所以x+1,y是t2—6t+z2+9=0的两个实根，方程有实数解，则△=（—6）2—4（z2+9）=—4z2>

0,从而知z=0,解方程得x+仁3,y=3。

所以x+2y+3z=8

4、解：

494。

因为把58写成40个正整数的和的写法只有有限种，故

%2X22...-X4。

2的最小值和最大值是存在的。

不妨设捲乞X2岂…岂X40,若X1

>

1,则x-i+x2=（x1-1）+（x2+1）,且（x-i—1）+（x2+1）=x/+x/+2（x2-x1）

+2>

为2+X22,所以，当X1>

1时，可以把为逐步调整到1,这时

X12-X22-...-X402将增大；

同样地，可以把X2,X3，…X39逐步调整到1,这

时X12-X22-...-X402将增大。

于是，当X1,X2，…X39均为1,X40二19时，

+x22+...+x402取得最大值，即A=£

土1争一土12+192=400。

若存在两个39个

2222数Xi,Xj,使得Xj—Xi>

2（Ki<

j<

40）,则（Xi+1）+（Xj-1）二Xi+Xj

—2（Xj—Xi—1）vXi+Xj,这说明在X1,X3,…X39,X40中，如果有两

个数的差大于1,则把较小的数加1,较大的数减1,这时，^2x22-…•x402

将减小。

所以，当x12-x22-...-x402取到最小时，X.J,x2，…x40中任意两个

数的差都不大于1。

于是当x1=x2=•••=x22=1,x23=x24=•••=x40=2时,

x22-...-x402取得最小值，即B=1212...122222...2^94,

22个18个

故A+B=494

x44=（x22）2—（2x）2=（x22x2）（x2—2x2）

=[（x1）1][（x-1）1]

222222

（21）（4-1）（61）（38-1）（401）211

.原式=

（4+1）（6+1）（8+1）（40+1）（42+1）42+1353

a=24

[b=2

二a+b=24+2=26

三、解答题

1、解：

由已知有a•-二x①b-=x②c—=x③d-=x④

由①解出b=⑤代入②得c=¥

旦⑥

x-ax—ax-1

将⑥代入③得右口1=x

x—axTd

即dx3-（ad1）x2-（2d-a）xad1=0⑦

由④得ad•1=ax，代入⑦得（d-a）（x3-2x）=0

由已知d-a0,x3-2x=0

若x=0,则由⑥可得a=c，矛盾。

故有x2=2,x-.2

2、解：

①令x=0,得c=平方数c2;

令x二1,得abm2,a-b•c=n2,

其中mn都是整数，所以，2^=m2n2-2c,2b=m2-n2都是整数

②如果2b是奇数2k+1（k是整数），令x=4得16a4bc^h2，其中h是整数，由于2a是整数，所以16a被4整除，有16a4^16a4k2除以4余2,而h2-12=（h+l）（h-1）,在h,l的奇偶性不同时，（h+l）（h-1）是奇数；

在h,

l的奇偶性相同时，（hl）（h_l）能被4整除，因此，16a4b=h2-l2，从而

2b是偶数，b是整数，a=m2—c—b也是整数，在②成立时，ax2bxc不

一定对x的整数值都是平方数，例如：

a=2，b=2，c=4，x=1时，ax2bxc二8不是平方数。

设x=1995，则1996=x+1，所以

a=1995219952199621996=x2x2（x1）2（x1）2

二（x1）2-2x（x1）x22x（x1）x2（x1）2

222

=（x1-x）2x（x1）[x（x1）]=12x（x1）[x（x1）]

二[1x（x1）]2=（119951996）2=39820212

要证明|m|是合数，只要能证出|m|=p•q，p•q均为大于1的正整数即可。

、212222

m=（abcd）（ab-c-d）

4

1222212222

-[abcd—（ab-c-d）][abcd（ab-c-d）

1[2ab2cdab-c-d][2ab2cd-a-bcd]

1[（ab）-（c-d）][（cd）-（a-b）]

1（abc_d）（ab_cd）（cda_b）（cd_ab）

因为m是非零整数，则一（abc「d）（ab-cd）（cda「b）（cd-ab）是

非零整数。

由于四个数a+b+c-d，a+b-c+d，a-b+c+d，-a+b+c+d的奇偶性相同，乘积应被4整除，所以四个数均为偶数。

所以可设a+b+c-d=2m，

a+b-c+d=2m，a-b+c+d=2m，-a+b+c+d=2m，其中m，m，m，m均为非零整数。

所以m=—（2mi）（2m2）（2m3）（2m4）=4m1m2m3m4，

所以|m|=4|mmmm|工0，

所以|m|是一个合数。

5、解：

设a=10bc，其中c取自0，1,2,3,4,……，9,将c2写成两位数

的形式为00,01,04,09,16,25,36,49,64,81,其中只有c=4、6时

其十位数为奇数，又a2=（10bc）^2（5b2bc）10c2，可见，a2的十位

数是一个偶数加上c2的十位数，当a2的十位数为奇数1,2,5,7,9时，a的个位数只能取4、6。