人教课标版B版高中数学必修1第二章教学建议Word文档格式.docx

人教课标版B版高中数学必修1第二章教学建议Word文档格式.docx

《人教课标版B版高中数学必修1第二章教学建议Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教课标版B版高中数学必修1第二章教学建议Word文档格式.docx（8页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

由于数学受公理化方法的支配，一个数学概念的定义要符合逻辑要求，在上述定义中使用了“变量”、“变化规律”等没有确切定义的自然语言，不符合概念下定义的要求。

另外，函数刻画的实质是“对应法则”，在上述定义中也没有得到充分的反应。

随着数学研究范围的扩大和进一步的抽象，数学家需要给函数下更加精确的定义。

（2）映射的观点

映射的概念来源于几何与拓扑学的研究。

现在函数、映射、变换已是等价的概念。

近代数学的研究把函数、映射、变换等相类似的概念统一起来，进一步抽象出了函数的定义：

已知两个集合A和B，如果按照某一确定的对应关系，对于集合A中每一个确定的元素x，总有集合B中唯一一个确定的元素y与之对应，那么这个对应关系叫做映射或函数。

在上述定义中，使用了集合语言，并且把函数不再看作是因变量，而把函数看作为一种关系，另外函数的定义域也不只局限于数集，它可以是任意集合。

这样定义函数更深刻地反映了函数的本质“对应关系”，又使函数的应用范围扩大了，使函数概念适合用于各种不同的研究对象。

但这个定义仍是有缺点的，在这个定义中，虽然重点放在“对应法则”上，但法则是什么还是没说清楚。

例如

与

，如果它们的定义域相同，那么它们是不是相同的函数，利用上述定义就很难做出判断。

（3）“序对”的观点

我们假设有序对是大家所熟知的概念。

有序对

用集合语言可精确地定义为：

应用有序对概念，我们把函数定义如下：

如果f是有序对

的集合，并且当

，

都属于f时，有b=c，则集合f叫做一个函数。

第一个坐标a的取值范围叫做f的定义域，对于定义域内的每一个a都有唯一的b与之对应，使

叫做f在a处的值，用f（a）表示，即b=f（a）。

根据上述定义，函数概念完全明确化了，函数就是有序对的集合。

它无非是用一张表、一张图或表达式描述的集合。

借此，可按x的值查出（或算出）对应的唯一的y值。

用集合相等的定义可精确地定义函数相等的概念。

2.与函数有关的一些概念

（1）函数定义域的延拓或限止

在函数的定义中，函数的定义域是不可缺少的。

例如，函数

R，尽管它们在区间[0，2]上是相同的，但它们是不同的函数。

碰到这种情况，我们把函数f称为函数g的限定，或称g为f的延拓。

当然，同一函数f可以由各种不同的函数经过限定产生出来。

我们知道，f（x）=kx（k≠0，x∈R）是正比例函数，而g（x）=kx（k≠0，x∈[0，1]）严格说来就不是正比例函数。

由上述函数限定的概念，可知g是f的限定。

对函数g还常说，g在区间[0，1]上是正比例函数，或函数g是正比例型函数。

类似的，还有指数型、对数型、正弦型函数等。

它们都是相应函数的限定或延拓。

（2）初等函数的组合

设

则

叫做f与g的和或差。

新函数

的定义域是由f（x）和g（x）都有意义的x的全体构成的集合，即如果f（x）的定义域为A，g（x）的定义域为B，则

的定义域就是

另外，

和

分别叫做f与g的乘积和商。

同理，

的定义域是

容易证明，函数的加法、乘法满足结合律、交换律。

即

复合函数的定义为

叫做f与g的复合函数（读作f圈g）。

的定义域为{x|x∈B，且g（x）

A}，其中A为f（x）的定义域，B为g（x）的定义域。

复合函数满足结合律，但不满足交换律。

在中学教科书中，虽没有引出函数运算，但函数的运算处处可见。

学生一般从数的运算以及函数的定义本身去理解函数的运算。

教师应正确掌握函数运算的概念。

（3）研究函数的初等方法

我们知道研究函数的得力工具是微积分，微积分也是在研究函数性质的基础上发展起来的。

现在中学阶段到高二才学习微积分，高一主要是用初等方法研究函数的性质。

研究函数性质的初等工具有不等式、代数运算、图表和图象等。

用初等方法研究的函数性质，主要有增、减性，奇、偶性（对称性），周期性和极值。

新课标中的高中数学，除研究这些性质外，还对函数的变化率做了适当的考察。

函数的变化率可通过对图表、图象与“差商”来分析研究。

如函数

，除研究它的增、减性，对称性，最值之外，还可研究该函数在区间[0，1]和[1，+∞）的变化情况。

学生从图表、图象或计算差商很容易得到函数在[0，1]上缓慢增加，在[1，+∞]上迅速增加直观结论。

在研究指数函数、幂函数、对数函数时，要再进一步加深对研究函数方法的认识。

二、相关内容的分析（总课时：

16课时）

2．1函数（6课时，比教参建议减少2课时）

比较合理的知识体系，应在学习函数前学习不等式，但新课标知识模块没有这样安排。

因此我们还是建议不要提前学习不等式。

练习只限于使用初中学过的不等式知识，证明函数的增减性质，可使用作差配方或计算商的方法。

这使知识层次返回到更基础的层面，有可能对学生学习带来更多的好处。

这一节主要是理解概念，不要做多的练习。

省点课时让给二次函数，在二次函数的教学中再加强对研究函数方法的理解。

2．1．1函数的的概念（2课时）

（1）在复习初中函数概念的基础上，通过对实例的分析进一步揭示函数概念的实质是，表示两个数集的元素之间，按照某种法则确定的一种对应关系。

然后用集合语言给出函数的一个新的定义。

最后再把函数概念推广为映射。

这种编写方式与先学习映射再用映射的观点定义函数正好相反。

教师应体会课标所倡导的由特殊到一般，由具体到抽象的学习过程。

（2）应理解函数记号y=f（x），x?

A的意义。

对应法则与我们选择表示自变量的符号没有关系。

教材通过例3中以说明，f（x）=x2与f（t）=t2，f（x-1）=（x-1）2等都表示的是同一函数关系。

当我们把（x-1）2=x2-2x+1中的变元x看作为自变量时，它就变为一个新的函数关系：

g（x）=（x-1）2=x2-2x+1。

在式子f（x-1）=x2中，函数f的自变量用x-1表示，而等式右边为变元x的表达式而不是函数f的自变量的表达式。

再看用换元法解例3

（2）题的过程：

令t=x-1，当自变量用一个变元t表示时，等式右边变为（t+1）2，即f（t）=（t+1）2=t2+2t+1，右边正好是函数f的自变量的表达式。

当f（x-1）=x2，函数f的自变量是x-1，而非x。

教师要对函数记号、换元、复合函数以及它们图象之间的关系有一个清晰的理解。

2．1．2函数的表示方法（2课时）

1．首先给出函数的三种表示法的概念。

对图象法，教材用集合语言对函数的图象概念进行较精确完整地描述。

这一点，教学中要用正确的概念，逐步地让学生掌握“数形结合”这一种重要的思想方法。

2．这一节通过实例加深了学生对“解析法”的认识。

通过例题，给出了取整函数和用递归运算定义函数的方法。

书中的两个例子都是教学的难点，一定要细致地讲解，使学生掌握。

3．通过例题，在教学中加强了分段函数的教学。

教材中，对分段函数只是作形式化的描述，只需通过例子了解，不要抽象地讨论“什么是分段函数”这些问题，例如，函数y=|x|是不是分段段函数等。

4．这一小节函数的图象教学时,要对函数作初步分析：

定义域、值域、如何取点等。

本小节中的练习B中的函数作图题有些超前。

建议1中（3）、（4），3和4，在学完函数的性质后再做。

等学完函数的性质后，再详细研究如何通过函数式的分析作函数的图象。

这一节的教学要求比初中的有了很大的提高。

教学重点应停留在了解和理解概念上，不要做过多的练习，一定不要让学生做难题。

2．1．3函数的单调性（1课时）

本小节编写的重要理念是，渗透微积分（变化率）的思想方法。

引入函数改变量的概念及符号（

）。

分两个层次定义函数的单调性，并用两种方法证明函数的增减性。

后一种定义，采用探索与研究的方法，让学生自行探索，并能得出如结论：

设函数y=f（x）定义域为A，且有区间

，对区间M内任意两个不相等的值x1和x2，如果都有

＞0，则函数y=f（x）在区间M上是增函数；

如果都有

＜0，则函数y=f（x）在区间M上是减函数。

对学有余力的学生，可以让其再次完成例1和例2及相关练习。

2．1．4函数的奇偶性（2课时）

1．通过具体奇偶函数的对比，给出奇偶函数的定义，这样可使学生更深刻地体会奇偶函数各自的特征。

在给出解析定义的同时，给出奇偶函数的图象特征，以加深学生对奇偶函数的理解。

2．通过定义学生很容易判断一个函数是否是奇函数还是偶函数。

对学有余力的学生，还可对函数的奇偶性作更深入的研究。

填写下表：

±

偶

奇

×

÷

任意一个函数y=f（x）都可构造为一个奇函数和一个偶函数的和：

3．通过实例，总结由函数的解析式画函数图形的一般（初等）方法。

通过实际画图培养学生数形结合的思想方法。

数形结合是学生必备的基本素质之一。

自这一大节后，每一节课都不要忘记培养学生数形结合的素质，尽量做到形数不离。

2．1．5用计算机作函数的图象

这一节为选学。

对家有计算机的同学，建议自学。

通过画出函数图象，很容易发现已知函数的性质，帮助学生进行理性的思考。

教师最好掌握Scilab作函数图形的方法。

教师如果掌握了Scilab作图程序，还可以开发一些作图软件，供教学法用。

2．2一次函数和二次函数（5课时，比教参建议增加2课时）

设置这一节的目的是，以一次和二次函数为载体，学习研究函数的方法，并实现由初中数学到高中数学的平稳过渡。

这里涉及到的数学方法和技能较多，教学不能赶进度。

要根据学生的实际情况安排教学。

大家一定要重视这一节的教学，学生基础较差的学校，可以多安排一、二课时，多做些基础练习，掌握一些基本的代数技能和研究函数的方法。

2．2．1一次函数的性质与图象（1课时）

在所有的函数中，一次函数是最简单、最基础的函数。

建议学生基础较差的学校，教学可返回到小学、初中，复习成比例的量和正比例函数的性质：

给出正比例函数的定义：

y=kx。

给出一次函数的定义：

y=kx+b，量y-b与x成正比例。

要让学生理解线性函数最重要的特征是，

成正比例。

=k，自变量的改变量与相应函数值的改变量的比值等于常数。

2．2．2二次函数的性质与图象（2课时）

教材在引入二次函数的一般形式后，主要是通过对具体二次函数的分析，得出二次函数的性质和图象。

研究二次函数的主要方法是配方法。

只要对二次函数式进行配方，就可知道这个二次函数的最值、对称轴和增减性。

在例1中，证明x=-4为图象的对称轴的方法，教学上要引起特别注意。

这时，学生还没有用坐标法证明对称性的基础，要认真地向学生说明，为什么证明了f（-4-h）=f（-4+h），就说明了图象关于直线x=-4对称。

一定要让学生理解证明的方法。

函数的单调性，教材是从图象上直观得出，没有证明，最好引导学习好的学生，对例1进行证明，也可以对二次函数的一般式进行证明。

在本节的探索与研究中，引导学生通过实例研究二次函数y=ax2与y=ax2+bx+c之间的关系。

通过探索努力提高学生的数学素质：

对代数式的分析能力、数形结合的能力。

探索可在课堂上进行。

2．2．3待定系数法（1课时）

待定系数法的理论基础是多项式代数。

建议老师复习大学学习过的多项式代数，以提高对待定系数法的理解。

求解问题的一种通用代数方法是，设未知数列方程或方程组求解，还可设未知函数求解，即一种函数可用某种解析式表达，其中参数待定，然后就可用已知条件列方程或方程组求解。

这是用数学方法解数学问题和实际问题的基本程序，每个学生都要熟练地掌握。

这里的例子，主要涉及到一次函数和二次函数，要求学生随着学习的深入，会用待定系数法确定更多的函数关系。

2．3函数的应用（Ⅰ）（1课时）

这里设置了五个例题：

例1是用一次函数述匀速直线运动；

例2是在一点附近，用一次函数近似地表示二次函数的值；

例3和例4是用二次函数求解最值问题；

例5是建立函数模型的例子，介绍了建立数学模型的基本方法。

发展学生的数学应用意识是新课标的重要理念之一。

其中特别提倡开展“数学建模”活动。

对在高中数学课中开展建模活动，我们缺乏足够的认识，编写时也感到困难。

希望老师对这一问题进行研究。

对例5，要引起大家的注意，主要是让学生了解数学建模的基本程序。

一次和二次函数在几何学以及在经济学、物理学等学科中有着广泛地应用。

学完一次和二次函数后，最好引导学生将相关内容与物理学中的匀速直线运动和抛物运动相联系，解决如何把这两种运动数学化的问题，并用数学方法解决此类问题。

2．4函数与方程（1课时）

先通过实例，介绍函数与方程的联系，在此基础上给出函数零点的概念。

再通过实例，说明解方程在研究函数性质与图象中的应用。

最后介绍求函数零点的一种方法：

二分法。

给出函数零点的定义，主要是建立函数与方程之间的联系。

教材在介绍二分法时，遵循的是先一般后特殊的原则。

实际教学时，也可先通过具体例子介绍二分法，再小结二分法的步骤。

小结：

重点是函数的概念和函数的一些重要性质。