离散数学习题答案Word下载.docx
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)r(
pq)r(
pq)r(
pqr
)r(pq
)r(
m1m3m5m6m,7此即主析取范式。
主析取范式中没出现的极小项为
m0,m2,m4,所以主合取范式中含有三个极大项
M0,M2,
M4,故原式的主合取范式
M0M2
M4。
9、用真值表法求下面公式的主析取范式:
(1)(pq)(
公式的真值表如下:
q)
r)
pqrppqpr
由真值表可以看出成真赋值的情况有7种,此7种成真赋值所对应的极小项的析取即为主析
取范式,故主析取范式
m1m2
m3m4
m5m6m7
习题三及答案:
(P52-54)
11、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。
前提:
结论:
s
证明:
pq,
qr,rs,p
①p前提引入
②pq前提引入
③q①②析取三段论
④qr前提引入
⑤r③④析取三段论
⑥rs前提引入
⑦s⑤⑥假言推理
15、在自然推理系统P中用附加前提法证明下面推理:
(2)前提:
(pq)(rs),(
st)u
pu
用附加前提证明法。
①p附加前提引入
②p
①附加
③(p
(r
s)
前提引入
④r
⑤s
⑥s
s
t
②③假言推理
④化简
⑤附加
⑦(s
t)
u
⑧u⑥⑦假言推理故推理正确。
16、在自然推理系统P中用归谬法证明下面推理:
(1))前提:
pq,rq,rs
p
用归谬法
①p结论的否定引入
③q①②假言推理
④rq前提引入
⑦r⑥化简
⑧rr⑤⑦合取
由于rr0,所以推理正确。
17、在自然推理系统P中构造下面推理的证明:
只要A曾到过受害者房间并且11点以前没离开,A就是谋杀嫌犯。
A曾到过受害者房间。
如果A在11点以前离开,看门人会看见他。
看门人没有看见他。
所以,A是谋杀嫌犯。
A到过受害者房间,q:
A在11点以前离开,r:
A是谋杀嫌犯,s:
看门人看见过A。
则前提:
(pq)
r
r,p,qs,s
①qs前提引入
②s前提引入
③q①②拒取式
④p前提引入
⑤pq③④合取引入
⑥(pq)r前提引入
⑦r⑤⑥假言推理
习题四及答案:
(P65-67)
5、在一阶逻辑中将下列命题符号化:
(2))有的火车比有的汽车快。
设F(x):
x是火车,G(y):
y是汽车,H():
x比y快;
则命题符号化的结果是:
xy(F(x)
G(y)
H(x,
y))
(3))不存在比所有火车都快得汽车。
x是汽车,G(y):
y是火车,H():
x(F(x)
y(G(y)
H(x,y)))或
H(x,
y)))
9、给定解释I如下:
(a)个体域为实数集合R。
(b)特定元素a0。
(c)函数
f(x,y)
xy,x,
yR。
(d)谓词
F(x,y):
xy,G(x,y):
xy,x,yR。
给出以下公式在I下的解释,并指出它们的真值:
(2)
xy(F(f
(x,y),a)
G(x,
解释是:
xy(xy0
xy)
,含义是:
对于任意的实数x,y,若0则x<
y。
该公式在I解释下的真值为假。
14、证明下面公式既不是永真式也不是矛盾式:
(1)
H(x,y)))
取解释I如下:
个体域为全总个体域,
F(x):
x是兔子,
G(y):
y是乌龟,
H(x,y):
x比y跑得快,则该公式在解释I下真值是1;
取解释
I'
如下:
x比y跑得慢,其它同上,则该公式在解释
下真值是0;
故公式
(1)既不是永真式也不是矛盾式。
此题答案不唯一,只要证明公式既不是永真式也不是矛盾式的每个解释合理即可。
习题五及答案:
(P80-81)
15、在自然推理系统N中,构造下面推理的证明:
(3)前提:
x(F(x)
G(x)),
xG(x)
证明:
xF(x)
①xG(x)前提引入
②xG(x)①置换
③G(c)②规则
④x(F(x)
G(x))
⑤F(c)
G(c)
④规则
⑥F(c)③⑤析取三段论
⑦xF(x)⑥规则
22、在自然推理系统N中,构造下面推理的证明:
(2)凡大学生都是勤奋的。
王晓山不勤奋。
所以王晓山不是大学生。
设F(x):
x为大学生,G(x):
x是勤奋的,c:
王晓山
G(x)),
F(c)
①x(F(x)
G(x))
②F(c)
①规则
③G(c)前提引入
④F(c)②③拒取式
25、在自然推理系统N中,构造下面推理的证明:
每个科学工作者都是刻苦钻研的,每个刻苦钻研而又聪明的人在他的事业中都将获得成功。
王大海是科学工作者,并且是聪明的。
所以,王大海在他的事业中将获得成功。
(个体域为人
类集合)
x是科学工作者,G(x):
x是刻苦钻研的,H(x):
x是聪明的,I(x):
x在他的事业中获得成功,c:
王大海
x(G(x)
H(x)
I(x)),
H(c)
I(c)
①F(c)
②F(c)①化简
③H(c)①化简
⑥G(c)②⑤假言推理
⑦G(c)
③⑥合取引入
⑧x(G(x)
H(x)
I(x))
⑨G(c)
⑧规则
⑩I(c)⑦⑨假言推理
习题六及答案
习题七及答案:
(P132-135)
*22、给定A
1,2,3,4
,A上的关系R
1,3,1,4,2,3,2,4,3,4,试
(1))画出R的关系图;
(2))说明R的性质。
(1)12
●●
34
称的;
(2)R的关系图中每个顶点都没有自环,所以R是反自反的,不是自反的;
R的关系图中任意两个顶点如果有边的都是单向边,故R是反对称的,不是对
R的关系图中没有发生顶点x到顶点y有边、顶点y到顶点z有边,但顶点x
到顶点z没有边的情况,故R是传递的。
26设A
1,2,3,4,5,6
,R为A上的关系,R的关系图如图7.13所示:
(1))求R2,R3的集合表达式;
(2))求r(R),s(R),t(R)的集合表达式。
(1)由R的关系图可得R
1,5,2,5,3,1,3,3,4,5
所以R2RR
3,1,3,3,3,5
,R3
R2R
3,1,3,3,3,5,
可得Rn3,1,3,3,3,5,当n>
=2;
(2)r(R)=RIA1,5,2,5,3,1,3,3,4,5,1,1,2,2,4,4,5,5,6,6,
s(R)RR1
1,5,5,1,2,5,5,2,3,1,1,3,3,3,4,5,5,4
t(R)RR2
R3...RR2
1,5,2,5,3,1,3,3,3,5,4,5
46、分别画出下列各偏序集A,R的哈斯图,并找出A的极大元、极小元、最大元和最小元。
(1))Ra,d,
a,c
a,b,
a,e,
b,e,
c,e,
d,eIA
哈斯图如下:
e
bcd
af
A的极大元为e、f,极小元为a、f;
A的最大元和最小元都不存在。
48、设
A,R和
B,S
为偏序集,在集合AB上定义关系T如下:
a1,b1
a2,b2
AB,
Ta2,b2
a1Ra2
b1Sb2
证明T为AB上的偏序关系。
(1)自反性:
任取a1,b1AB,则:
R为偏序关系,具有自反性,S为偏序关系,具有自反性,
a1Ra1b1Sb1
又a1,b1
Ta2,b2
b1Sb2,
Ta1,b1
,故T具有自反性
(2))反对称性:
任取a1,b1
AB,若
a1,b1
Ta2,b2
且a2,b2
,则有:
a1Ra2a2Ra1
b1Sb2b2Sb1
(1)
(2)
a1Ra2b1Sb2
a2Ra1,又R为偏序关系,具有反对称性,所以a1a2
b2Sb1,又S为偏序关系,具有反对称性,所以b1b2
a2,b2
,故T具有反对称性
(3))传递性:
,a3,b3
Ta2,b2且
a2,b2
Ta3,b3
a1,b1a2,b2
Ta3,b3
a1Ra2a2Ra3
b1Sb2b2Sb3
a2Ra3,又R为偏序关系,具有传递性,所以
a1Ra3
b1Sb2
b2Sb3,又S为偏序关系,具有传递性,所以
b1Sb3
,故T具有传递性。
综合
(1)
(2)(3)知T具有自反性、反对称性和传递性,故T为AB上的偏序关系。
习题九及答案:
(P179-180)
8、
S=QQ,Q为有理数集,为
S上的二元运算,
a,b,x,yS有
a,bx,yax,ay+b
运算在
S上是否可交换、可结合?
是否为幂等的?
运算是否有单位元、零元?
如果有,请指出,并求出
S中所有可逆元素的逆元。
x,ya,bxa,xb+y
ax,bx+ya,b
运算不具有交换律
x,y
x,ya,bc,d
ax,bx+yc,dacx,adx+bx+y
而x,yx,y
a,bc,d
*ac,ad+b
xac,xad+xb+yacx,adx+bx+y
运算有结合律
任取a,bs,则有:
a,ba,ba2,adb
运算无幂等律
a,b
令a,b*
a,b对
a,bs均成立
则有:
ax,ay+ba,b对a,bs均成立
axaax10对aybbay0
x10x1
a,b成立
必定有
y0y0
运算的右单位元为运算的单位元为
1,0
,可验证
也为运算的左单位元,
x,yx,y
,若存在
使得对
a,bs上述等式均成立,
则存在零元,否则不存在零元。
由a,b*x,yx,y
ax,ay+b
axxayby
a1x0
a1y+b0
由于a1y+b0不可能对a,bs均成立,
故a,b*
不可能对
a,bs均成立,故不存在零元;
设元素
的逆元为
,则令
a,b*
e1,0
ax1
x
a(当a0)
ayb0yba
当a0时,a,b
的逆元不存在;
的逆元是
1,b
aa
11、
设S1,2,...,10,问下面的运算能否与
S构成代数系统
S,?
如果能构成代数系统则说明运算是否满足交换律、结合律,并求运算的单位元和零元。
(3)xy=大于等于x和y的最小整数;
(3)由*运算的定义可知:
xy=max(x,y),
x,yS,有xyS,故运算在
S上满足封闭性,所以运算与非空集合
S能构成代数系统;
任取x,yS,有xy=max(x,y)=max(y,x)=yx,所以运算满足交换律;
任取x,y,zS,有(xy)z=max(max(x,y),z)=max(x,y,z)=max(x,max(y,z))=x(yz),所以运算满足结合律;
任取xS,有x1=max(x,1)=x=max(1,x)=1x,所以运算的单位元是1;
任取xS,有x10=max(x,10)=10=max(10,x)=10x,所以运算的零元是10;
16、
设V1
1,2,3,,1,其中xy表示取
x和y之中较大的数。
V2
5,6,,6,
其中xy表示取
x和y之中较小的数。
求出
V1和V2的所有的子代数。
指出哪些是平凡的子代数,哪些是真子代数。
(1)V1的所有的子代数是:
1,2,3,,1,1,,1,1,2,,1,1,3,,1;
V1的平凡的子代数是:
1,2,3,,1,1,,1;
V1的真子代数是:
1,,1,1,2,,1,1,3,,1;
(2)V2的所有的子代数是:
5,6,,6
,6,,6;
V2的平凡的子代数是:
V2的真子代数是:
6,,6。
习题十一及答案:
(P218-219)
1、图11.11给出了6个偏序集的哈斯图。
判断其中哪些是格。
如果不是格,说明理由
(a)、(c)、(f)是格;
因为任意两个元素构成的集合都有最小上界和最大下界;
(b)不是格,因为{}的最大下界不存在;
(d)不是格,因为{}的最小上界不存在;
(e)不是格,因为{}的最大下界不存在。
2、下列各集合低于整除关系都构成偏序集,判断哪些偏序集是格。
(1){1,2,3,4,5};
(2){1,2,3,6,12};
画出哈斯图即可判断出:
(1)不是格,
(2)是格。
4、设L是格,求以下公式的对偶式:
(2)a(bc)(ab)(ac)
对偶式为:
a(bc)(ab)(ac),参见P208页定义11.2。
9、针对图11.11中的每个格,如果格中的元素存在补元,则求出这些补元。
(a)图:
互为补元,其中a为全下界,d为全上界,b和c都没有补元;
(c)图:
互为补元,其中a为全下界,f为全上界,c和d的补元都是b和e,b和e的补元都是c和d;
(f)图:
互为补元,其中a为全下界,f为全上界,b和e互为补元,c和d都没有补元。
10、说明图11.11中每个格是否为分配格、有补格和布尔格,并说明理由。
是一条链,所以是分配格,b和c都没有补元,所以不是有补格,所以不是布尔格;
互为补元,c和d的补元都是b和e,b和e的补元都是c和d,所以任何元素皆有补元,是有
补格;
c(bd)
cac,
(cb)(cd)
fdd
c(bd)(cb)(cd),所以
对运算不满足分配律,所以不是分配格,所以不是布尔格;
经过分析知图(f)对应的格只有2个五元子格:
L1={},L2={}。
画出L1和L2的哈斯图可知L1和L2均不同构于钻石格和五角格,根据分配格的充分必要条件(见P213页的定理11.5)得图(f)对应的格是分配格;
c和d都没有补元,所以不是有补格,所以不是布尔格。
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