普通高等学校招生全国统一考试模拟试题.docx
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普通高等学校招生全国统一考试模拟试题
2019年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题
理数(五)
第Ⅰ卷
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知
是非零实数,则“
”是“
”的()
A.充要不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
2.三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为()
A.
B.
C.
D.
3.命题“
”的否定是()
A.
B.
C.
D.
4.已知
为钝角,且
,则
()
A.
B.
C.
D.
5.已知函数
,若当
时,
恒成立,则实数
的取值范围是()
A.
B.
C.
D.
6.双曲线
的左焦点
离心率
,过点
斜率为
的直线交双曲线的渐近线于
两点,
中点为
若
等于半焦距,则
等于()
A.
B.
C.
或
D.
7.已知
中,
点
满足
,则
最小值等于()
A.
B.
C.
D.
8.设
是集合
的n个非空子集(
).定义
其中
这样得到的
个数之和为
简记为
.下列三种说法:
①
与
的奇偶性相同;②
是
的倍数;③
的最小值为
,
9.已知直线
与正切函数
相邻两支曲线的交点的横坐标分别为
,
,且有
,假设函数
的两个不同的零点分别为
,
,若在区间
内存在两个不同的实数
,
,与
,
调整顺序后,构成等差数列,则
的值为()
A.
B.
C.
或
或不存在D.
或
10.已知抛物线
的焦点为
双曲线
的右焦点为
,过点
的直线与抛物线在第一象限的交点为
,且抛物线在点
处的切线与直线
垂直,则
的最大值为()
A.
B.
C.
D.2
11.已知函数
的导函数
(其中
为自然对数的底数),且
,
为方程
的两根,则函数
,
的值域为()
A.
B.
C.
D.
12.底面为菱形且侧棱垂直于底面的四棱柱
中,
,
分别是
,
的中点,过点
,
,
,
的平面截直四棱柱
,得到平面四边形
,
为
的中点,且
,当截面的面积取最大值时,
的值为()
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13∽21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22∽23题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分.
13.已知函数
为
的导函数,则
的展开式中
项的系数是.
14.已知向量
,
,向量
,
的夹角为
,设
,若
,则
的值为.
15.已知函数
,
,
,
,则关于
的不等式
的解集为.
16.已知数列
的通项公式为
,数列
为公比小于1的等比数列,且满足
,
,设
,在数列
中,若
,则实数
的取值范围为
.
三、解答题:
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知函数
在半个周期内的图象的如图所示,
为图象的最高点,
,
是图象与直线
的交点,且
.
(1)求
的值及函数的值域;
(2)若
,且
,求
的值.
18.如图所示的四棱锥
中,底面
为矩形,
,
的中点为
,异面直线
与
所成的角为
,
平面
.
(1)证明:
平面
;
(2)求二面角
的余弦值的大小.
19.207年8月8日晚我国四川九赛沟县发生了7.0级地震,为了解与掌握一些基本的地震安全防护知识,某小学在9月份开学初对全校学生进行了为期一周的知识讲座,事后并进行了测试(满分100分),根据测试成绩评定为“合格”(60分以上包含60分)、“不合格”两个等级,同时对相应等级进行量化:
“合格”定为10分,“不合格”定为5分.现随机抽取部分学生的答卷,统计结果及对应的频率分布直方图如图所示:
等级
不合格
合格
得分
频数
6
24
(1)求
的值;
(2)用分层抽样的方法,从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈,现再从这10人中任选4人,记所选4人的量化总分为
,求
的分布列及数学期望
;
(3)设函数
(其中
表示
的方差)是评估安全教育方案成效的一种模拟函数.当
时,认定教育方案是有效的;否则认定教育方案应需调整,试以此函数为参考依据.在
(2)的条件下,判断该校是否应调整安全教育方案?
20.如图所示,在平面直角坐标系
中,椭圆
的中心在原点,点
在椭圆
上,且离心率为
.
(1)求椭圆
的标准方程;
(2)动直线
交椭圆
于
,
两点,
是椭圆
上一点,直线
的斜率为
,且
,
是线段
上一点,圆
的半径为
,且
,求
21.已知函数
,
,其中
为常数.
(1)当
,且
时,求函数
的单调区间及极值;
(2)已知
,
,若函数
有2个零点,
有6个零点,试确定
的值.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系
中,曲线
的参数方程为
(
为参数)以坐标原点
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线
的普通方程和极坐标方程;
(2)直线
的极坐标方程为
,若
与
的公共点为
,且
是曲线
的中心,求
的面积.
23.选修4-5:
不等式选讲
已知函数
,
.
(1)求不等式
的解集;
(2)求函数
的单调区间与最值.
理数(五)
一、选择题
1-5:
ADDBA6-10:
BCBCB11、12:
CC
二、填空题
13.-54014.
15.
16.
三、解答题
17.解:
函数化简得
.
因为
,所以
,所以
,所以
,所以
是等腰直角三角形.
又因为点
到直线
的距离为4,所以
,所以函数
的周期为16.
所以
,函数
的值域是
.
(2)由
(1),知
因为
,所以
因为
,所以
,
所以
,所以
.
18.解:
(1)由已知
为矩形,且
,所以
为
的中点.
又因为
为
的中点,所以在
中,
,又因为
平面
,
平面
,
因此
平面
.
(2)由
(1)可知
,所以异面直线
与
所成的角即为
(或
的补角).
所以
或
.
设
,在
中,
,
,又由
平面
可知
,且
为中点,因此
,此时
,所以
,所以
为等边三角形,所以
,即
,因为
,
,
两两垂直,分别以
,
,
所在直线为
轴,
轴,
轴建立空间直角坐标系,如图所示,
则
,
,
,
,所以
,
.
由
,
,
,可得
平面
,可取平面
的一个法向量为
.
设平面
的一个法向量为
,由
令
,所以
.
因此
,又二面角
为锐角,故二面角
的余弦值为
.
19.解:
(1)由频率分布直方图可知,得分在
的频率为
,故抽取的学生答卷数为
,又由频率分布直方图可知,得分在
的频率为0.2,所以
.
又
,得
,所以
.
.
(2)“合格”与“不合格”的人数比例为
,因此抽取的10人中“合格”有6人,“不合格”有4人,所以
有40,35,30,25,20共5种可能的取值.4
,
,
,
,
.
的分布列为
40
35
30
25
20
所以
.
(3)由
(2)可得
,
所以
.
故可以认为该校的安全教育方案是无效的,需要调整安全教育方案.
20.解:
(1)因为
在椭圆
上,所以
.
又
,联立方程组
故椭圆
的标准方程为
(2)设
,
,、联立方程
.
由
,得
,且
,
,
所以
.
由题意可知圆
的半径
.
由题设知
,因此直线
的方程为
.
联立方程
因此
.
所以
.
因为
,所以
,从而有
,即得
.
因此
的取值范围为
.
21.解:
(1)因为
,所以
,令
或
(舍).
当
时,
,函数
单调递减;
时,
,函数
单调递增.
因此
的极小值为
,无极大值.
(2)若函数
存在2个零点,则方程
有2个不同的实根,设
,
则
.令
,得
;
令
,得
,或
,所以
在区间
,
内单调递减,在区间
内单调递增,且当
时,令
,可得
,所以
,
;
,
,因此函数
的草图如图所示,
所以
的极小值为
.
由
的图象可知
.
因为
,所以令
,得
或
,即
或
,
而
有6个零点,故方程
与
都有三个不同的解,所以
,且
,所以
.
又因为
,
,所以
.
22.解:
(1)由曲线
的参数方程消去参数
,得其普通方程为
.
将
,
代入上式并化简,得其极坐标方程为
.
(2)将
代入得
.
得
.
设
,
,则
,
,
所以
.
又由
(1),知
,且由
(2)知直线
的直角坐标方程为
,所以
到
的距离是
,所以
的面积
.
23.解:
(1)由于
,即为
,当
时,对上式两边平方,
得
,即得
,当
时,原不等式的解集为空集,因此
的解集为
,
(2)由题可知
作图如下,
由
.
由图易知函数
的递减区间为
,递增区间为
,并且最小值为
,无最大
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