两角和差正余弦公式的证明Word下载.docx
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z*/9;
JJD3={cos/f-cos(E)2+(-sm/J—sin^z)?
=2-2(casCEtjOfi/f-品么血历。
注意到血=刼,因此叭伍+何=皿住£
»
5#_血啦sinQ。
注记:
这是教材上给出的经典证法。
它借助单位圆的框架,利用平面内两点间距离公
式表达两条相等线段,从而得到我们所要的等式。
注意,公式中的C和©
为任意角。
2.差角余弦公式
仍然在单位圆的框架下,用平面内两点间距离公式和余弦定理表达同一线段,也可以
得到我们希望的三角等式。
这就是
(方法2)如图所示,在坐标系心中作单位圆°
,并作角①和尸,使角比和卩的始边均为皿,交口。
于点C,角比终边交口°
于点A,角力终边交口°
于点。
从而
点A,B的坐标为施西心血毋股g且血Q。
由余弦定理得
沏f二必+OB1-TOjCDBcosZJOB二场’-2tM»
J5cus(a-/?
)
=2-2cos(a-fi)。
从而有COS(a^^=COSaCDS^-3IiaSUlfio
方法2中用到了余弦定理,它依赖于厶08是三角形的内角。
因此,还需要补充讨论角。
和刃的终边共线,以及厶OJJ大于話的情形。
容易验证,公式在以上情形中依然成立。
在上边的证明中,用余弦定理计算如'
的过程也可以用勾股定理来进行。
也可以用向量法来证明。
则fiA<
t*csa•5inu>
•(rfi(l<
j>
y?
*i/)4
山向秋数秋枳的定义*有
*oA=|OA|•|()51posta—/J)=cos(o—J).
由向最效皐积的坐标表示•ti
页•(jfi-((X>
So•>
111a)*(ct)sSill/)
cosams(i・own戌
ro、(和i'
(isoeos^+suiosin
(二)在三角形的框架下推导和差角正弦公式
除了在单位圆的框架下推导和差角的余弦公式,还可以在三角形中构造和角或差角来
1.和角正弦公式
(一)
(方法3)如图所示,劝为WC的&
边上的高,CE为血边上的高。
设
=—g#,则。
从而有
—frcOSSCE=hana.
BC=CEcscP=b^n^cscfl
o
因此zMJAKIBK吒rmcI“nltg■丿。
RD=ABsina二A(oosaTsinacai尸JsLaa
注意到EDBCI口I丄。
从而有:
(cos24sjaaajt/Qsuia^sin^csc^suiOz-t
siii(a+^)=&
n在casQ*cosasnfi
在方法3中,用丄忙和与底角。
,"
相关的三角函数,从两个角度来表示
&
边上高初,从而得到所希望的等式关系。
这一证明所用的图形是基于钝角三角形
的,对基于直角或锐角三角形的情形,证明过程类似。
利用方法3中的图形,我们用类似于恒等变形的方式,可以得到下面的
(方法4)如图所示,M为'
仞C的AC边上的高,CE为佃边上的高。
ZCAB^a,43/二力,则如山=血+0。
AEAD
注意到“旦匚皿D,则有他占卫,即。
ADCJEBDRE
ABRClAS迟c=在血/T1■血<
ZssQ。
注意证明利用的图形框
利用正弦定理和射影定理,将得到下面这个非常简洁的证法。
架与方法3,4所用的图形框架是相同的。
(方法5)如图所示,8为厘盹的"
边上的高。
设厶a
/屮,则有圧(口丨旳,。
由正弦定理可得
JC£
CJ
an/TsmaoM^LA-fl)
5
其中d为的外接圆直径。
由M=AC^os^-VBCcxtsff得”^^口十血=皿血“lbis<
E*l■疗或ndthos咼
Qnkz4-/A=smaujfi^-kcos^ZsuiQ
。
2.和角正弦公式
(二)
方法3,4和5利用的图形框架是将角,丿*放在三角形的两个底角上。
如果将这两
个角的和作为三角形的一个内角,将会有下面的几种证法(方法6~11)。
(方法6)如图所示,作曲丄恥于D,交必^外接圆于E,连肚和心。
ZJtAE=aWCA£
=p则aZJCSK^PZ£
ACm"
设sc的外接圆直径为d,则有,
BE=dana
BD=BEcxrsfi=d^auKflCE=dsinpCD=CEooga=dsin^cosa
注意到DC=d从而血®
*0)二siiimcosQTcnsasim0
(方法7)如图所示,初为山肚的必边上的高,皿为俪边上的高。
AJCE=a,ZBCE=fi,则厶设CE=h,则
AK=h^nrrBE=htanfiBC=hsa.fiAH=j4JT+hftaurr-Itan/f)
555
又5D=5Cani(ff+/9=^scc/?
sin(a*/9
从而(tan<
l4tan/9=sec/?
sin(a+
整理可得血(a+网二血在cos强+0圧血0。
(方法8)如图所示,作妙丄OC于D,过D作Q打丄场于f,7X7丄砲于g。
设ZAOC=a,3C詡,则3雄二U"
设血二r,从而
ED=rsin/?
6M)=rcxts/3BG=BDcasa=rsinflcGsa
GE=BF=OZ)sukz=rcosfiwia。
所以该超二BGl-GE=r^m/?
co£
4Z-l-cos/7suia)。
注意到R2现+网,则有
sn(<
Z+£
T)=sm口cfisE+cosa血fi
我们用两种不同的方法计算朋,得到了和角的正弦公式。
如果我们用两种方
法来计算(M,则可以得到和角的余弦公式。
由上图可得
OF=ODaK<
L=rcQ<
sffGGsa
==:
iEDsuia=rsm/Jsiij£
r
从而有OE=OF-EF=r(cos^ccsp-tijLadxkfi)。
注意到Qff=rcos(a+ff),从而可得心比鲁厉二亦么口^厅-血盘血尸。
方法6,7和8都是用角。
Q的三角函数从两个角度表示图形中的同一线段,从
而构造出我们所希望的等式关系。
(方法9)如图所示,设切为^^的曲边上的高。
设ZG4^=a
N64二0,止=’BC=a,从而有
AD—bcosccRD=dg呂b
1
CD=isince=tarsinp
因此
=—dcoscfjjsin/?
+—a-(sinacos/?
+cosasin/3)
又因为从而可得
Sjjsc—sinXJCff=^absin(ct+p)
sinfet+/?
)=sinercosp4-cosffsin/?
方法9利用面积关系构造三角恒等式。
下面这两个证法的思路则有所不同。
AB=dcospBC=dsiny?
CD=dsina..DA=zfcosa
RD—dp)
由托勒密定理知
ACZBD=ABJ3)^AD^C
即didsin(a十&
〉=dcos灼/sino:
十dcostxNsin0
整理即得
sJn《cr十向二sinorcos>
5+coscrsinp
ZC4£
I=«
(方法10)如图所示,设鹿为的外接圆直径d,长度为d。
从而
Z^4C=ji?
AB=dcospEC=dsiny?
CD=dsina^A=d^a
ED=dsin(ar+0)
=+閱DNC
艮卩didsin(a+ff)=dcQ^J^jdsiniZ+rfcosaG/sin
sin(cr+/7)=sifiercos>
?
+cosasinB
则有
这一证明用到了托勒密定理:
若必和建D是圆内接四边形的对角线
d[甘sinfa+旬=rfcos貝甘血住+£
8£
住山弘尸
(方法11)如图所示,CD为MSC的廊边上的高。
设厶切二a,
ZBCD=fi,则ZACS=dft。
设切“,则
AB=AD+BZ?
=ft(tan<
z十tanQJC=/tsecfi=
由正聽定理可徐
AB_M_EC
sin((X+/3)sin^sinA
AB_AC月C
即sin(a+/J)cos/?
cosa
ABAC+EC
从而sifl(a+J3)casy?
+ccs^
ftftanff+tan0)_/j(secCK±
5ec/5)
即sin(tr-i-j0}cos]3+cQsa
sin(oc+/?
)-sinacos/?
十cos兌sin0
方法10和11将某一线段作为基本量,利用与角a,尸相关的三角函数表示其它线段,再通过联系这些线段的几何定理(托勒密定理或正弦定理),构造出我们希望的等式关系。
3.差角正弦公式
仍然还是在三角形中,我们可以在三角形的内角里构造出差角来。
方法12和13便
是用这种想法来证明的。
(方法12)如图所示
ZACB=-
2
设—Q,"
,记妙―\作
整理可得
DE丄如于E,则从而有
CD=bstnDE—bsin(ez-J3)
DA=DEsecCL—bdn(OL—P)seca.
因此有
AC=CD+ZM=&
(siii0+p)seeCt)
注意到
RC=»
亡3$AC=BCtan«
=i?
os/?
tan
■
sinjS+sin(t7—j^sectz=cos/?
tana
sin(cr-jJ)-sircrcosQ-cosasin0
(方法13)如图所示,血为氐収的外接圆直径,长度为d。
设山仍
心门卩,则心门巴NS戸化从而
.ADcosa;
BD=e/sincr
BC—dsin(a—AC—dC0s(£
3(-p)
f
DE=ADtan/?
—cosdttan/?
BE=5Csec/?
=rfsin(a-/?
)sec/5
所以
RD=BE-\-DE—d—/7)sec/?
+cosCltanp)
注意到ED=£
sin皿从而
sina=sin(tr-sec/?
+cosatanP
sin(as-p)-sinffcosy?
-cossin/?
方法12和13的基本思路仍然是用两种不同方法计算同一线段,借此来构造等式关
系。
很显然,在这十二种证法中,方法1和2更具普遍性。
换言之,这两种方法中出
现的角C,刃是任意角。
而其余方法中,角皿和尸则有一定的限制,它们都是三角形
的内角(甚至都是锐角)。
因此,对于方法3~13,我们需要将我们的结果推广到角住和
BS亡[碍
P是任意角的情形。
具体而言,我们要证明:
如果公式对任意2成立,则对
任意角也成立。
容易验证,角C和“中至少有一个是轴上角(即终边在坐标轴上的角),我们的
公式是成立的。
下面证明,角也和庐都是象限角(即终边在坐标系的某一象限中的
角)时,我们的公式也成立。
不妨设m为第二象限角,尸为第三象限角,从而有
a-+—0<
ofj<
—
0二(2xl)g戸J"
】*亍叱2
sina—cosacosa=—sinct
*«
.4d.
hV
sin^=-sin^cos)S=-cos^
sin(flr40\=sin[(2?
w^+丄駕)+((加+1}更+百)]
=呂in[(2"
i+2«
+》)处+(□]+件)]
=_C0S@i+0J
=—costzTcosA十&
insm^
=cos省(-cos+sin:
(-sin处
—giiiocosp+cosasinf3
同理可证,公式对于象限角比和”的其它组合方式都成立。
因此,我们可以将方法
究性学习很有帮助。
从上文中可以看到,这一探究过程可分为四个步骤:
的等式或方程
(3)解决问题:
利用单位圆或三角形作为联系c和月三角函数与
品(比±
£
)的工具,寻找我们希望的等式关系;
(4)
可考虑将其
完善解决问题的方法:
考察方法是否有普遍性。
如果普遍性有欠缺
化归为已解决的情形,必要时还要进行分类讨论。
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- 余弦 公式 证明
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