精品离散数学第四版 课后答案Word格式文档下载.docx

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（15）p：

蓝色和黄色可以调配成绿色。

这是真命题。

分析命题的真值是唯一确定的，有些命题的真值我们立即可知，有些则不

能马上知道，但它们的真值不会变化，是客观存在的。

1．3令p:

2+2=4,q:

3+3=6,则以下命题分别符号化为

（1）p→q

（2）p→¬

q

（3）¬

p→q

（4）¬

p→¬

（5）p↔q

（6）p↔¬

（7）¬

（8）¬

p↔¬

以上命题中，

（1），（3），（4），（5），（8）为真命题，其余均为假命题。

分析本题要求读者记住p→q及p↔q的真值情况。

p→q为假当且仅当

p为真,q为假,而p↔q为真当且仅当p与q真值相同.由于p与q都是真命题，

在4个蕴含式中，只有

（2）p→r，其中，p同

（1），r：

明天为3号。

在这里，当p为真时，r一定为假，p→r为假，当p为假时，无论r为真

还是为假，p→r为真。

2

1．5

（1）p∧q，其中，p：

2是偶数，q：

2是素数。

此命题为真命题。

（2）p∧q，其中，p：

小王聪明，q：

小王用功

（3）p∧q，其中，p：

天气冷，q：

老王来了

（4）p∧q，其中，p：

他吃饭，q：

他看电视

（5）p∧q，其中，p：

天下大雨，q：

他乘公共汽车上班

（6）p→q，其中，p，q的含义同（5）

（7）p→q，其中，p，q的含义同（5）

q，其中，p：

经一事，q：

长一智

分析1°

在前4个复合命题中，都使用了合取联结词，都符号化为合取式，

这正说明合取联结词在使用时是很灵活的。

在符号化时，应该注意，不要将联结

词部分放入简单命题中。

例如，在

（2）中，不能这样写简单命题：

p：

小王不但

聪明，q：

小王而且用功。

在（4）中不能这样写：

他一边吃饭，q：

他一边

看电视。

2°

后4个复合命题中，都使用了蕴含联结词，符号化为蕴含式，在这里，

关键问题是要分清蕴含式的前件和后件。

p→q所表达的基本逻辑关系为，p是q的充公条件，或者说q是p的必要

条件，这种逻辑关系在叙述上也是很灵活的。

例如，“因为p，所以q”，“只要p，

就q”“p仅当q”“只有q才p”“除非q，否则¬

p”“没有q，就没有p”等都表

达了q是p的必要条件，因而都符号化为p→q或¬

q的蕴含式。

在（5）中，q是p的必要条件，因而符号化为p→q，而在（6）（7）中，

p成了q的必要条件，因而符号化为q→p。

在（8）中，虽然没有出现联结词，但因两个命题的因果关系可知，应该符

号化为蕴含式。

1．6

（1），

（2）的真值为0，（3），（4）的真值为1。

（1）中公式含3个命题变项，因而它应该有23=8个赋值：

000，

3

001，…，111题中指派p,q为0,r为1，于是就是考查001是该公式p∧（q∧r）的成真赋值，还是成假赋值，易知001是它的成假赋值。

在公式

（2），（3），（4）中均含4个命题就项，因而共有24=16个赋值：

0000，0001，…，1111。

现在考查0011是它的成假赋值。

1.7

（1），

（2），（4），（9）均为重言式，（3），（7）为矛盾式，（5），（6），（8），（10）为非重言式的可满足式。

一般说来，可用真值表法、等值演算法、主析取范式（主合取范式）法等判断公式的类型。

（1）对

（1）采用两种方法判断它是重言式。

真值表法

表1.2给出了

（1）中公式的真值表，由于真值表的最后一列全为1，所以，

（1）为重言式。

p∨q∨rp→（p∨q∨r）

pqr

00001

00111

01011

01111

10011

10111

11011

11111

等值演算法

p→（p∨q∨r）

⇔¬

p∨（p∨p∨r）（蕴含等值式）

⇔（¬

p∨p）∨p∨r（结合律）

⇔1∨q∨r（排中律）

⇔1（零律）

4

由最后一步可知，

（1）为重言式。

（2）用等值演算法判

（2）为重言式。

（p→¬

p）→¬

p

p∨¬

）→¬

p（蕴含等值式）

p（等幂律）

⇔p∨¬

⇔1（排中律）

（3）用等值演算法判（3）为矛盾式

¬

（p→q）∧q

（p¬

∨q）∧q（蕴含等值式）

q∧q（德·

摩根律）

⇔p∨（¬

q∧q）（结合律）

⇔p∧0（矛盾律）

⇔0（零律）

由最后一步可知，（3）为矛盾式。

（5）用两种方法判（5）为非重言式的可满足式。

pq¬

p¬

p→qq→¬

p（¬

p→q）→（q→¬

p）001011

011111

100111

110100

由表1.3可知（5）为非重言式的可满足式。

主析取范式法

（¬

p）

⇔（p∨q）→（¬

q∨¬

5

（p∨q）∨（¬

q）∨¬

p∧1）∨（1∧¬

q）

p∧（¬

q∨q）∨（（¬

p∨p）∧¬

p∧¬

q）∨（¬

p∨q）∨（¬

q）∨（p∨¬

⇔m0∨m1∨m2.

在（3）的主析取范式中不含全部（4个）极小项，所以（3）为非重言式的可满足式，请读者在以上演算每一步的后面，填上所用基本的等值式。

其余各式的类型，请读者自己验证。

分析1真值表法判断公式的类别是万能。

公式A为重言式当且仅当A的o

真值表的最后一旬全为1；

A为矛盾式当且仅当A的真值表的最后一列全为0；

A为非重言式的可满足式当且仅当A的真值表最后一列至少有一个1，又至少有一个0。

真值表法不易出错，但当命题变项较多时，真值表的行数较多。

2o用等值演算法判断重言式与矛盾式比较方例，A为重言式当且仅当A与1等值；

A为矛盾式当且仅当A与0等值，当A为非重言式的可满足式时，经过等值演算可将A化简，然后用观察法找到一个成真赋值，再找到一个成假赋值，就可判断A为非重言式的可满足式了。

例如，对（6）用等值演算判断它的类型。

（p∧¬

p）↔q

⇔0↔q（矛盾律）

⇔（p→q）∧（q→0）（等价等值式）

0∨q）∧（¬

q∨0）（蕴含等值式）

⇔（1∨q）∧¬

q（同一律）

⇔1∧¬

q（零律）

6

到最后一步已将公式化得很简单。

由此可知，无论p取0或1值，只要q取0值，原公式取值为1，即00或10都为原公式的成真赋值，而01，11为成假赋值，于是公式为非重言式的可满足式。

用主析取范式判断公式的类型也是万能的。

A为重言式当且仅当A的主析取范式含2n（n为A中所含命题变项的个数）个极小项；

A为矛盾式当且仅当A的主析取范式中不含任何极小项，记它的主析取范式为0；

A为非重言式的可满足式当且仅当A的主析取范式中含极小项，但不是完全的。

当命题变项较多时，用主析取范式法判公式的类型，运算量是很大的。

用主合取范式判断公式的类型也是万能的。

A为重言式当且仅当A的主合取范式中不含任何极大项，此时记A的主合取范式为1；

A为矛盾式当且仅当A的主合取范式含2n个极大项（n为A中含的命题变项的个数）；

A为非重言式的可满足式当且仅当A的主析取范式中含含极大项，但不是全部的。

1.8

（1）从左边开始演算

（p∧q）∨（p∧¬

⇔p∧（q∨¬

q）（分配律）

⇔p∧1（排中律）

⇔p.（同一律）

（2）从右边开始演算

p→（q∧r）

p∨（q∧r）（蕴含等值式）

p∨q）∧（¬

p∨r）（分配律）

⇔（p→q）∧（p→r）.（蕴含等值式）

（3）从左边开始演算

（p↔q）

7

⇔（（p→q）∧（q→p））

⇔¬

（（¬

p∨q））

p∧q）∨（¬

p∧）∨（q∧¬

q）∨（p∧q））⇔¬

q）∨（p∧q））

⇔（p∨q）∧¬

（p∧q）.

请读者填上每步所用的基本等值式。

本题也可以从右边开始演算

（p∨q）∧¬

（p∧q）

¬

（（p∨q）∧¬

（¬

（p∨q）∨¬

（p∧q））

p∧q）∧（¬

q∨p）∧（¬

q∨q））⇔¬

（1∧p∨q）∧（¬

q∨p）∧1

（（p→q）∧（q→p））

（p↔q）.

读者填上每步所用的基本的等值式。

1.9

（1）

（（p∧q）→p）

（p∧q）∨p（蕴含等值式）⇔¬

（p∧q）∨p）（德·

摩根律）⇔p∧q∧¬

p（结合律、交换律）⇔（p∧¬

p）∧q（矛盾式）⇔0.（零律）

8

由最后一步可知该公式为矛盾式。

（2）（（p→q）∧（q→p））→（p↔q）

（p∧q）∨p）（蕴含等值式）

由于较高层次等价号两边的公式相同，因而此公式无成假赋值，所以，它为重言式。

（3）（¬

p）（蕴含等值式）

p∧q）∨¬

p（德·

p（吸收律）

q.（交换律）

由最后一步容易观察到，11为该公式成假赋值，因而它不是重言式，又00，01，10为成真赋值，因而它不是矛盾式，它是非重言式的可满足式。

1.10题中给出的F，G，H，R都是2元真值函数。

给出的5个联结词集都是全功能集，可以用观察法或等值演算法寻找与真值函数等值的公式。

首先寻找在各联结词集中与F等值的公式。

（1）设A=¬

（p→q），易知A是{¬

→}中公式且与F等值，即F⇔A.

（2）设B=p∧¬

q，易知B是{¬

∧}中公式且与F等值，即F⇔B.

（3）设C=¬

p∨q），易知C是{¬

∧}中公式，且F⇔C.

（4）设D=（p↑（q↑q））↑（p↑（q↑q）），易知D为{↑}中公式，且F⇔D.

（5）设E=（p↓p）↓q，易知E为{↓}中公式，且F⇔E.

只要找到一个联结词集中与F等值的公式，经过等值演算就可以找出其他联结词集中与F等值的公式。

例如，已知A=¬

（p→q）是{¬

→}公式，且F⇔A。

进行以下演算，就可以找到F等值的其他联结词集中的公式。

对A进行等值演算，消去联结词→，用¬

，∧取代，得

9

A=¬

（p→q）

p∨q）

⇔p∧¬

q记为B.

则B为{¬

∧}中公式，且F⇔B。

再对A进行等值演算，消去→，用¬

p∨q）记为C.

则C为{¬

∧}中公式，且F⇔C。

再对B进行演算，消去¬

，→，用↑取代，在演算中，注意，对于任意的公式A，有

A⇔¬

（A∧A）⇔A↑A.

B=p∧¬

⇔p∧（q↑q）

（p∧（q↑q））

（p↑（q↑q））

⇔（p↑（q↑q））↑（p↑（q↑q）记为D.

则D为{↑}中公式，且F⇔D.再对C进行演算，消去¬

∨,用↓取代，在演算中注意，对于任意的公式A

（A∨A）⇔A↓A.

C=¬

p↓q

⇔（p↓p）↓q记为E.

则E为{↓}中公式，且F⇔E.

开始找一个与某真值函数等值的公式的方法，除观察法外，就是根据

10

该真值函数的真值表，求它的主析取范式，而后进行等值演算即可。

例如，由G的真值表可知G的主析取范式为m1∨m3，于是

G⇔m1∨m3

p∧q）∨（p∧q）

p∨p）∧q

⇔q.

由于公式q不带联结词，所以，它应该为任何联结词集中的合式公式。

3°

在各联结词集中找到的与某真值函数等值的公式并不唯一。

例如，取

q→q.（{¬

→}中公式）

B=q∧q.（{¬

∧}中公式）

C=q∨q.（{¬

∨}中公式）

D=（q↑q）↑（q↑q）.（{↑}中公式）

E=（q↓q）↓（q↓q）.（{↓}中公式）

则G⇔A⇔B⇔C⇔D⇔E,对于同一个真值函数G，找到与它等值的形式各异的公式。

对于H和R，请读者自己去完成。

1.11

（1）对C是否为矛盾式进行讨论。

当C不是矛盾式时，A∨C⇔B∨C，则一定有A⇔B，这是因为，此时，A∨C⇔A,B∨C⇔B，所以，有

A⇔A∨C⇔B∨⇔B

必有A⇔B

而当C不是矛盾式时，A∨C⇔B∨C，不一定有A⇔B，举反例如下：

设A,B,C均为含命题变项p,q的公式，A，B，C及A∨C,B∨C的真值表如表1.4所示，从表1.4可看出，A∨C⇔B∨C，但A⇔B。

表1.4

11

pqABCAVCBVC

0000000

0100000

1011111

1101111

（2）对C是否为重言式进行讨论:

若C为重言式,则A∧C⇔A,C⇔B,于是

A⇔A∧C⇔B∧C⇔B.

因而有

A⇔B

当C不是重言式时,请读者举反例说明,A∧C⇔B∧C时,不一定有A⇔B.

（3）若¬

B,则A⇔B.证明如下:

A⇔¬

A（双重否定律）

B（¬

B）

⇔B（双重否定律）

所以

1.12

（1）设

（1）中公式为A.

A⇔（p∨（q∧r））→（p∧q∧r）

（p∨（q∧r））∨（p∧q∧r）

q∧¬

r）∨（p∧q∧r）

A⇔（¬

q∧（¬

r∧r））∨（¬

p∧q∧r）∧¬

∨（¬

p∧q∧¬

A⇔m0∨m1∨m7

12

于是,公式A的主析取范式为

m0∨m1∨m2∨m7易知,A的主合取范式为

M3∨M4∨M5∨M6A的成真赋值为

000,001,010,111A的成假赋值为

011,100,101,110

（2）设

（2）中公式为B

B⇔（¬

p→q）→（¬

q∧p）

⇔（¬

p∨q）→（¬

⇔（p∨q）→（¬

q∧p

q∧p（吸收律）

⇔（（¬

p∨q）∧¬

）∨p∧（¬

q）∨p∧（p∧¬

q）∨（p∧q）⇔m0∨m2∨m3

所以,B的主析取范式为m0∨m2∨m3.B的主合取范式为M1

B的成真赋值为00,10,11.

B的成假赋值为01.

（3）设（3）中公式为C.

C⇔¬

（p→q）∧q∧r

⇔（p∧¬

q）∧q∧r]

13⇔p∧（¬

q∧q）∧r

⇔p∧0∧r

⇔0.

所以,C的主析取范式为0.

C的主合取范式为M0∧M1∧M2∧M3

C的成假赋值为00,01,10,11

C无成真赋值,C为矛盾式.

设公式A中含n（n≥1）个命题变项,且A的主析取范式中含l（0≤l≤2n）个极小项,则A的主合邓范式中含2n−l个极大项,而且极大项的角标分别为0到2n−1这2n个十进制数中未在A的主析取范式的极小项角标中出现过的十进制数.

在

（1）中,n=3,A的主析取范式中含4个极小项,所以,A的主合取范式中必含23−4=4个极大项,它们的角标为0到7中未在主析取范式的极小项角标中出现过的3,4,5,6.这样,只要知道A的主析取范式,它的主合邓范式自然也就知道了,在

（2）,（3）中情况类似.

A的主析取范式中极小项角标的二进制表示即为A的成真赋值.在

（1）中,由于主析取范式中的极小项角标分别为0,1,2,7,它们的二进制表示分别为000,001,010,111,所以,A的成真赋值为以上各值.类似地,A的主合取范式中所含极大项角标的二进制表示,即为A的成假赋值.

1.13

（1）首先求p→（q→r）的主析取范式.

p→（q→r）

p∨（¬

q∨r）

q∨r）.

由于演算过程较长,可以分别先求出由¬

p,¬

q,r派生的极小项.注意,本公式中含3个命题变项,所以,极小项长度为3.

14

p⇔¬

q∨q）∧（¬

r∨r）

q∧r）∨（¬

q∧r）

r）∨（¬

⇔m0∨m1∨m2∨m3

p⇔（¬

r）∨（p∧¬

⇔m0∨m1∨m4∨m5

r⇔（¬

p∨p）∧（¬

q∨q）∧r

q∧r）∨（p∧q∧r）

⇔m1∨m31∨m5∨m7

p→（q→r）⇔m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m7

类似地,可求出q→（p→r）主的析取范式也为上式,由于公式的主析取范式的唯一性,可知,

（p→（q→r））⇔（q→（p→r））.

（2）①

p↑q

q∨q））∨（（¬

p∧q））∨（（¬

p）∨（p∧¬

p∧q）∨（p∨¬

15

②p↓q

⇔m0.

由于p↑q与p↓q的主析取范式不同.因而它们不等值,即p↑q⇔p↓q.

1.14设p:

A输入;

设q:

B输入;

设r:

C输入;

由题的条件,容易写出FA,FB,FC的真值表,见表1.5所示.由真值表分别写出它们的主析范邓范式,而后,将它们都化成与之等值的{↓}中的公式即可.

表1.5

pqrFFF

ABC

000000

001001

010010

011010

100100

101100

110100

111100

FA⇔（p∧¬

q∧r））∨（p∧q∧¬

⇔（p∧¬

q）∧（¬

r∨r）∨（p∧q）∧（¬

q）∨（p∧q）

⇔p

16

（p↓q）

⇔（p↓q）↓（p↓p）

FB⇔（¬

p∧q∧r）

p∧q）

（p∧¬

⇔p↓¬

⇔p↓（q↓q）.

FC⇔（¬

p∧r）

（p∨q）∧r

⇔（p↓q）∧r

（（p↓q）∧r

（p↓q）∨¬

r

（p↓q）↓¬

⇔（（p↓q）↓（p↓q））↓（r↓r）\

分析在将公式化成{↑}或{↓}中公式时,应分以下几步:

（1）先将公式化成全功能集{¬

∧,∨}中的公式.

（2）使用

（A∧A）⇔A↑A,

17

或

（A∨A）⇔A↓A.使用双重否定律

A∧B⇔¬

（A∧B）⇔¬

（A↑B）

⇔（A↑B）↑（A↑B）或

A∨B⇔¬

（A∨B）⇔¬

（A↓B）

⇔（A↓B）↓（A↓B）使用德·

摩根律

A∨¬

A↓¬

B⇔（A↓A）↓（B↓B）或

A∧¬

A↑¬

B⇔（A↑A）↑（B↑B）1．15设p：

矿样为铁；

q：

矿样为铜；

r：

矿样为锡.

设

F1⇔（甲全对）∧（乙对一半）∧（丙全错），

q）∧（（¬

r）∨（p∧r））∧（¬

p∧r）⇔（¬

r∧¬

∨（¬

q∧p∧r∧¬

⇔0∨0⇔0.

F2⇔（甲全对）∧（乙全错）∧（丙对一半）

q）∧（p∧¬

r）∧（（p∧r）∨（¬

r）

18

q∧p∧¬

r∧p∧r）

⇔0∨0⇔0

F3⇔（甲对一半）∧（乙全对）∧（丙全错）

⇔（（¬

p∧q）∨（p∧¬

q））∧（¬

p∧r）∨（¬

p∧r∧¬

p∧r

∨（p∧¬

p∧q∧r）∨0

p∧q∧r.

F4⇔（甲对一半）∧（乙全错）∧（丙全对）⇔（（¬

q））∧（p∧¬

r）∧（p∧¬

p∧q¬

∧¬

r∧p∧¬

⇔0∨（p∧¬

⇔p∧¬

r.

F5⇔（甲会错）∧（乙对一半）∧