变限积分函数在数分中的应用docxWord下载.docx

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如果函数/（兀）在闭区间⑺力］上连续，则变上限积分函数在⑺"

］上具有导数，并口其导数为f（x）.

证明过程如下：

对［⑦切上任意一个确定的兀，当心=0且x+\x^［a,h］时，按定义和积

分第一中值定理，有：

=f（x+o<

^<

1•

由于/在点无连续，所以有:

<

1）（x）=lim—=limj\x+0\x）=f\x）山t0ArAr->

由无在闭区间［a,b］上的任意性，可以证明出①是/在⑺,切上的一个原函数.

2.2.3导数推广

如果函数/（X）在闭区间［d,b］上是连续的，点勺为3,切内任一点，则变限积分函数满足:

（1）a可以取值一g,b可以取值+8；

（2）该定理是变限积分函数最重要的性质，掌握该定理需要尤其注意以下两点：

第一，下限为常数，上限为参变量兀（不是含有兀的其他表达式）；

第二，被积函数/（x）中只含有积分变量而不含参变量兀・

2.2.4原函数存在定理

若函数/（%）在闭区间［a,h］上是连续的，则变上（下）限积分函数/（x）就是在闭区间［a,b］上的一个原函数.

3变限积分函数的应用（具体例题）

可以通过研究变限积分函数的性质来探讨有关变限函数的极限、导数、单调性、有界性、奇偶性、凹凸性、最值、寥点定理等问题.

3.1变限积分函数的计算

变限积分函数的计算方式类似于定积分的计算•可以利用微积分的基本公式来计算，但是如果被积函数为分段函数时，需要特别的注意积分限的取值范围所对应的函数表达式，在具体计算时应该根据自变量的变化范围分别进行计算.

例I设平血my上有一个正方形D={（x,y）\O<

x<

W<

y<

］}及直线：

/（/>

0）,若S（/）表示正方形D的位于直线左下方部分的面积，试求（S⑴dt（x>

0）・

解由题设条件可以得到：

z2,0<

z<

l,

J；

s（m=心加+f；

（-y+2一i）d—加+x—+;

当x>

2时.

综上，得:

6Z°

-X-h

S（/）=l-1x3+x2-x-^-},\<

2,

23

x-l,x>

2.

3.2变限积分函数的导数

求解关于变上4下》限积分求导的问题时可以利用公式

为；

:

/曲553-皿）皿）

來求变上4下》限积分的导数•如果被积函数中含有变量兀.首先应该设法把被积函数中仅含参变位兀的因式提到积分号外面去，如果被积函数的中间变量是含兀的函数，而且该函数又不能被提岀积分号外■这时常先作变量代换把兀换到积分的上Q下》限去•如果被积函数是隐函数，或者参数方程所表示的函数中含有变上（下）限积分时也同样处理•

求变限积分函数的导数时，主要依据以下结论:

设

“（X）

F心LfE，

加（X）

则有：

F'

（兀）=/[^（x）]^'

（x）-/[（/（x）V（%）,

其中0（劝，鸭⑴在某个区间/上是可导附且

a<

0（兀）,妙（兀）<

Z?

（xg/）•

2

x=cosr

2ff1,求％害在

y=rcosr-—cosududxdx^

2五

解因为

dy_-2t2sint2d2y_1

dx-2rsin/2'

dx1一2/sin尸

故得

由此可见，为正确求出变限积分的导数，首先必须区分清楚两个变量X.r的不同作用，对于积分而言是积分变量.，而兀是与积分无关的参变量•对于函数FO）來说一，它与枳分变量r无关，而只是变量x的函数•在带有变上（下）限积分的积分方程中求未知函数可通过等式两边进行求导化其为常微分方程来求解「有关变上（下）限积分的问题是许多考试中的重点，需要熟练掌握.

3.3变限积分函数的极限

变上限积分函数的极限问题在许多题目中都会有所涉及，解决这类题H的关键是要有着正确的思路，运用巧妙的解法.

例7求解正常数。

与b使得lim—-—,dt=1成立.

gohx_sinxJo血+

分析：

这类带有变上限积分函数的极限问题，一般是运用洛必达（LHospital）法则设法来确定出要定的常数•但是也应该注意洛必达法则（LHospital）与其他方法（特别是等价无穷小代换）的结合.

解由fHospital）法则可知:

lim—i—=恤込匚=1

2（）bx-sinxJoQa+12心°

b-cosx

由于上式右端分子的极限为零，则

lim（/?

-cosx）=0,

xtO

从而h=l,于是有原式等于

rJa+x21]•兀。

2

lim—=-7=lim-——=—==]

b-cosxJa兀to£

2Qa

则a=4•

例4设/⑴连续，①⑴打（劝力，且职（4为常数），求解①‘⑴的值

并讨论①（X）在点兀=0处的连续性.

解由题设知

/（0）=0,0（0）=0,

①（尢）=

由导数的定义

b（o）=ii"

r

Z）2

由于

从而可以得到①'

（x）在x=0处连续.

3.4含变限积分函数的函数方程

例$设/（%）是连续函数，且f^dt=x-\,求/（7）的值.

解法一対原等式两边关于兀进行求导，可得

3兀2/（兀3一1）=1,

此时再令x=2,可得

/（7）=丄.

12

解法二本题也可以先求出/«

再在上式中令x3-l=r,可以求得

3（1+円（/）=1,

故可得

/（x）=•

3（1+x）3

例&

设函数/（兀）在区间［0,+oo）上连绥■且满足方程

/（/）=/〃+\\/（护,求解/（/）的值.

x2+y2^4t2

题中所给方程的两端都是关于『的函数，但不能直接通过求导将它们转化为微分方程问题，而筒要先把式子中的二重积分转化为变上限定积分•因此要使得被积函数成为一元函数，所以在这里要利用极坐标系下的二重积分计算法来求解.

解由于

n/（护+.”砂

x2+y2<

4/2

『2穴pitrr2rr

Jo则。

/

（2）加=2口W

所以有

/（0=严+2龙［fC^rdr‘

对等式的两端进行求导可以得到：

/（r）=8^2+8砒（f）,

由题设条件可以得到/（0）=1,

求解上述方程，可以得到:

f⑴=（4m2+l）w4"

・

3.5其它含变限积分函数的问题

在现有的高等数学研究中，对积分上（下）限的函数的连续性、可微性方面的问题大都作了比较详细的讨论「但对其单调、有界等方面的性质以及对于变上（下）限积分确定的复合函数的若干特性没有进行展开讨论•以下讨论变上（下）限积分所确定的复合函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性等性质，利用本文所得结论及推论，可使某些题目的求解变得更加简便.

定理H冇界性》设函数只兀）在闭区间［a,b］上有界‘且A<

v（x）<

B.f（x）在闭区间

［A,⑵上连续‘则复合函数F（x）=J；

*/⑴力在匕,川上有界・

证设兀是［么川中任意一点.

F（x）\=<

|M）|4|vW|+|^|L

其中

gw（A,v（x））<

=[A,B].

因为/（x）在闭区间［a,b\±

连续’所W.f（x）在⑺,创上有界，也即，存在>

0.使

M2>

0,使得v（x）<

M2・取M=M,[M2+\A\\^

则1/（兀）|<

|.f©

卜（v（x）|4-|A|]<

M,[M2+|A|]=M

推论I设函数/（x）在闭区间[g,切上连级则积分上限函数①（兀）=[.£

（/）力在闭区间

[a,h]k有界.

定理为单调性》设函数此0在闭区间[a9b].上连续、单调递增Q或单调递减》、A<

v（x）<

且函数/（劝在[A,B]上连续，则复合函数F（x）=£

（A）/（f）r/r在闭区间[a,b]上单调递增域单调递减》的充分必要条件是/（%）在闭区间[a.b]上非负.

证明在此只证明单调递增的情形，单调递减的情形可相应推导・

充分性*设xpx2e[a9b],且x{<

x2,则

F（兀2）-F（xJ=『⑴}f{t）dt=/©

卜（兀2）-咻JL

其中^g（v（x2）,v（x,））（z[A,B]因为，/（兀）在[⑦切上非负，并且，X兀）在闭区间[a,h]l.是单调递增的「所以/©

卜（兀2）7（召）上0,即F（xJWF（兀2）•从而，F（x）在[a,b]上单调递增・

必要性M壬意取定te[A.B],又设qw[A,B]且心匚不妨设•因为比0单调递增.则存在兀，兀],使得兀<

兀]_t=v（x）,ti=v（x（）.且vC%!

）<

v（.r2）•又由于F（x1）-F（x）=/（^）[v（x1）-v（x）]其中v（x）<

^<

v（x1）,以及F（兀）在[⑦切上单调递增「ifu.RF（x,）-F（x）>

0'

所以/（^）>

0・又因为v（x）<

v（x1）,呛0连续「所以当

X]TX时.有V（X|）Tv（x）,从而§

—>

V（x）.由/（X）的连续性可以得到:

lim/（^）=f［v（x）］=f（t）・X］TX

由极限的性质知/（r）>

0,也即函数/（x）在［A,B］上是非负的.

1

例T试判断函数F（x）=\-e~^的单调性・

F（兀）=护£

一'

力r

而

V（x）=-\=

VX

在（0,+co）内单调递减r在（0,+8）内非负且连续一所以’由定理2知函数

F（x）=（厶e~ldt

在（0,+oo）内是单调递减的・

注I若将上述条件/（Q在［A,B］±

rtl非负改为非正，其余条件不改变，则上述结论复

合函数FM=［｛x）f（t）dt在［⑦刃上单调递增就相应的变为单调递减.

JA

推论2变上限积分的函数0）（x）=［X在［a,b］上单调递增4或单调递减》的充分必

要条件是：

/（x）在［a,b］上非负Q或非正》.

定理期周期性》设在开区间（_oo,+oo）内」⑴为周期为卩的函数.HA<

B,/（X）

/•v（x）

在闭区间［A，B］上连续■则复合函数F（x）=也是周期为T的函数•

JA

证明由于V（x）的周期为TX是开区间（-00^+00）内任意一点.

（•v（x+r）3（x）

F（x+T）=［=£

f（t）dt=FM

即F（x）也是周期为T的函数.

例■试证明函数「2加为周期函数.

rsinx

证明因为v（x）=sinx为周期函数f（t）=It连续「由定理J可以得到函数£

2加为

周期函数・

rv（a?

）

注2若v（x）连续.而/（%）为连续周期函数吋.复合函数F（x）=ff（t）dt不一JA

定是周期函数•例如8当/（X）为周期为T的连续、周期函数时■函数0>

（x）=P/（r）Jr在一般情形下是周期为T的周期函数与线性函数的和■①（兀）二「/（/）力是周期函数的充分必要条件为：

^f（t）dt=O.

定理44奇偶性》D设函数v（x）为闭区间［-a,a］±

的偶函数，且<

B函数

「v（V）

/（兀）在闭区间［A,B］上可和则复合函数F（x）=I为［一心］上的偶函数.

2>

设函数v（x）为闭区间［-a,a］上的奇函数_.li-A<

A.函数/（x）是闭区间

/•卩（t）

［-人別上的连续奇函数4或偶函数〉则复合函数F（x）=是闭区间［-a,a］上

的偶函数C或奇函数》.

证明设兀为闭区间\-a.a］内任意一点・

D因为仄兀）为偶函数■所以，有：

即F。

）为闭区间［一°

加上的偶函数.

2》因为v（x）为奇函数■所以.有v（-x）=-v（x）

当/（兀）为连续奇函数时.F（Q是［一°

卫］上的偶函数.

令t=-u^则可以得到：

rv（-x）r-v（x）

F（-x）=£

f{t）dt=£

f（t）dt

rv（x）rv（x）

=-£

f（-u）du=J。

f（u）du=F（x）

当/（兀）为连续偶函数时.F（x）为闭区间［-a,a］上的奇函数.

令t=-u.则可以得到：

F（-x）=［［gelt

rv（x）fv（x）

=-Jo/（一Ed"

=-JofMdu=一F（x）

推论3

设/（x）为闭区间［-a,Q］上的连续奇函数4或偶函数〉则函数①（兀）=［/⑴刃

为闭区间［-⑦Q］上的偶函数4或奇函数》.

例勺求解函数.广（兀）=『（2-2一'

力的最大值和最小值

解由题设条件可得于（兀）为偶函数，故只需要求di/（x）在［0,+oo）内的最大值和最小值.山fXx）=2x（2-x2）e-x2=0,可以得知「/（兀）在［0,2）内有唯一的驻点兀=忑,当0<

x/2时，/'

（兀）>

0,当兀〉"

时，/（x）<

0；

所以x=^2是极大值点，也即是最大值点•因此/（力的最大值为于（血）=［（2-少一加=1+八，又因为/（0）=0，并且

•+8

lim/（x）=—fr=l,因此/（兀）的最小值为/（0）=0.

XT+8Jo

例・设函数/（兀）在区间［0,+8）上连续，函数图像单调不减且/（0）>

0，试证明函数

F（x）hJ。

'

"

）力在［0,+oo）上连续且满足函数图像单调不减（其中斤>

0）・

0,x=0

证明这是以9型为定式的极限，不必先计算分子、分母的积分再去求极限，可直接利用洛

必达法则（I：

Hospital）和变限积分函数求导公式来求极限.

当兀>

0时，F（x）连续，乂山洛必达法则（LHospital）,可以得到

limJo=limZ/（x）=0=F（0）,

x-»

0+x

故F⑴在［0,+oo）上连级又当x>

t>

0时,有

故尸（兀）在［0,+oo）上单调不减.