小学数学奥数方法讲义40讲Word格式文档下载.docx

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只有中心的那个方框中的数小于周围的四个数，看来在中心的方框中应填入最小的数1。

再看它周围的方框和不等号，只有左下角的那个方框中的数大于相邻的两个方框中的数，其它方框中的数都是一个比一个大，而且方框中的数是按顺时针方向排列越来越小。

所以，在左下角的那个方框中应填9，在它右邻的方框中应填2，在2右面的方框中填3，在3上面的方框中填4，以后依次填5、6、7、8。

图1-7是填完数字的图形。

例4从一个长方形上剪去一个角后，它还剩下几个角？

此题不少学生不加思考就回答：

“一个长方形有四个角，剪去一个角剩下三个角。

”

我们认真观察一下，从一个长方形的纸上剪去一个角，都怎么剪？

都是什么情况？

（1）从一个角的顶点向对角的顶点剪去一个角，剩下三个角（图1-8）。

（2）从一个角的顶点向对边上任意一点剪去一个角，剩下四个角（图1-9）。

（3）从一个边上任意一点向邻边上任意一点剪去一个角，

剩下五个角（图1-10）。

例5甲、乙两个人面对面地坐着，两个人中间放着一个三位数。

这个三位数的每个数字都相同，并且两人中一个人看到的这个数比另一个人看到的这个数大一半，这个数是多少？

首先要确定这个三位数一定是用阿拉伯数字表示的，不然就没法考虑了。

甲看到的数与乙看到的数不同，这就是说，这个三位数正看、倒看都表示数。

在阿拉伯数字中，只有0、1、6、8、9这五个数字正看、倒看都表示数。

这个三位数在正看、倒看时，表示的数值不同，显然这个三位数不能是000，也不能是111和888，只可能是666或999。

如果这个数是666，当其中一个人看到的是666时，另一个人看到的一定是999，999-666=333，333正好是666的一半。

所以这个数是666，也可以是999。

*例61966、1976、1986、1996、2006这五个数的总和是多少？

这道题可以有多种解法，把五个数直接相加，虽然可以求出正确答案，但因数字大，计算起来容易出错。

如果仔细观察这五个数可发现，第一个数是1966，第二个数比它大10，第三个数比它大20，第四个数比它大30，第五个数比它大40。

因此，这道题可以用下面的方法计算：

1966+1976+1986+1996+2006

=1966×

5+10×

（1+2+3+4）

=9830+100

=9930

这五个数还有另一个特点：

中间的数是1986，第一个数1966比中间的数1986小20，最后一个数2006比中间的数1986大20，1966和2006这两个数的平均数是1986。

1976和1996的平均数也是1986。

这样，中间的数1986是这五个数的平均数。

所以，这道题还可以用下面的方法计算：

=1986×

5

例7你能从400÷

25=（400×

4）÷

（25×

4）=400×

4÷

100=16中得到启发，很快算出

（1）600÷

25

（2）900÷

25（3）1400÷

25（4）1800÷

25（5）7250÷

25的得数吗？

（适于四年级程度）

我们仔细观察一下算式：

400÷

100=16

不难看出，原来的被除数和除数都乘以4，目的是将除数变成1后面带有0的整百数。

这样做的根据是“被除数和除数都乘以一个相同的数（零除外），商不变”。

进行这种变化的好处就是当除数变成了1后面带有0的整百数以后，就可以很快求出商。

按照这个规律，可迅速算出下列除法的商。

（1）600÷

25 

（2）900÷

25

=（600×

4） 

=（900×

4）

=600×

100 

=900×

100

=24 

=36

（3）1400÷

（4）1800÷

=（1400×

=（1800×

=1400×

=1800×

=56 

=72

（5）7250÷

=（7250×

=29000÷

=290

*例8把1～1000的数字如图1-11那样排列，再如图中那样用一个长方形框框出六个数，这六个数的和是87。

如果用同样的方法（横着三个数，竖着两个数）框出的六个数的和是837，这六个数都是多少？

（适于五年级程度）

（1）观察框内的六个数可知：

第二个数比第一个数大1，第三个数比第一个数大2，第四个数比第一个数大7，第五个数比第一个数大8，第六个数比第一个数大9。

假定不知道这几个数，而知道上面观察的结果，以及框内六个数的和是87，要求出这几个数，就要先求出六个数中的第一个数：

（87-1-2-7-8-9）÷

6

＝60÷

=10

求出第一个数是10，往下的各数也就不难求了。

因为用同样的方法框出的六个数之和是837，这六个数之中后面的五个数也一定分别比第一个数大1、2、7、8、9，所以，这六个数中的第一个数是：

（837-1-2-7-8-9）÷

＝810÷

=135

第二个数是：

135+1=136

第三个数是：

135+2=137

第四个数是：

135+7=142

第五个数是：

135+8=143

第六个数是：

135+9=144

答略。

（2）观察框内的六个数可知：

①上、下两数之差都是7；

②方框中间坚行的11和18，分别是上横行与下横行三个数的中间数。

11=（10+11+12）÷

3

18=（17+18+19）÷

所以上横行与下横行两个中间数的和是：

87÷

3＝29

由此可得，和是837的六个数中，横向排列的上、下两行两个中间数的和是：

837÷

3＝279

因为上、下两个数之差是7，所以假定上面的数是x，则下面的数是x+7。

x+（x+7）=279

2x+7=279

2x=279-7

=272

x=272÷

2

=136

x+7=136+7

=143

因为上一横行中间的数是136，所以，第一个数是：

136-1=135

因为下一横行中间的数是143，所以，

143-1=142

142+2=144

*例9有一个长方体木块，锯去一个顶点后还有几个顶点？

（1）锯去一个顶点（图1-12），因为正方体原来有8个顶点，锯去一个顶点后，增加了三个顶点，所以，

8-1+3=10

即锯去一个顶点后还有10个顶点。

（2）如果锯开的截面通过长方体的一个顶点，则剩下的顶点是8-1+2=9（个）（图1-13）。

（3）如果锯开的截面通过长方体的两个顶点，则剩下的顶点是8-1+1=8（个）（图1-14）。

（4）如果锯开的截面通过长方体的三个顶点，则剩下的顶点是8-1=7（个）（图1-15）。

例10将高都是1米，底面半径分别是1.5米、1米和0.5米的三个圆柱组成一个物体（图1-16），求这个物体的表面积S。

（适于六年级程度）

我们知道，底面半径为γ，高为h的圆柱体的表面积是2πγ2+2πγh。

本题的物体由三个圆柱组成。

如果分别求出三个圆柱的表面积，再把三个圆柱的表面积加在一起，然后减去重叠部分的面积，才能得到这个物体的表面积，这种计算方法很麻烦。

这是以一般的观察方法去解题。

如果我们改变观察的方法，从这个物体的正上方向下俯视这个物体，会看到这个物体上面的面积就像图1-17那样。

这三个圆的面积，就是底面半径是1.5米的那个圆柱的底面积。

所以，这个物体的表面积，就等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积。

（2π×

1.52+2π×

1.5×

1）+（2π×

1×

0.5×

1）

=（4.5π+3π）+2π+π

=7.5π+3π

=10.5π

=10.5×

3.14

=32.97（平方米）

*例11如图1-18所示，某铸件的横截面是扇形，半径是15厘米，圆心角是72°

，铸件长20厘米。

求它的表面积和体积。

遇到这样的题目，不但要注意计算的技巧，还要注意观察的全面性，不可漏掉某一侧面。

图1-18表面积中的一个长方形和一个扇形就容易被漏掉，因而在解题时要仔细。

求表面积的方法1：

＝3.14×

45×

2+600+120×

=3.14×

90+3.14×

120+600

（90+120）+600

=659.4+600

=1259.4（平方厘米）

求表面积的方法2：

210+600

铸件的体积：

225×

4

900

=2826（立方厘米）

第二讲尝试法

解应用题时，按照自己认为可能的想法，通过尝试，探索规律，从而获得解题方法，叫做尝试法。

尝试法也叫“尝试探索法”。

一般来说，在尝试时可以提出假设、猜想，无论是假设或猜想，都要目的明确，尽可能恰当、合理，都要知道在假设、猜想和尝试过程中得到的结果是什么，从而减少尝试的次数，提高解题的效率。

例1把数字3、4、6、7填在图2-1的空格里，使图中横行、坚列三个数相加都等于14。

（适于一年级程度）

七八岁的儿童，观察、总结、发现规律的能力薄弱，做这种填空练习，一般都感到困难。

可先启发他们认识解此题的关键在于试填中间的一格。

中间一格的数确定后，下面一格的数便可由竖列三个数之和等于14来确定，剩下的两个数自然应填入左右两格了。

中间一格应填什么数呢？

先看一个日常生活中的例子。

如果我们要从一种月刊全年的合订本中找到第六期的第23页，我们一定要从合订本大约一半的地方打开。

要是翻到第五期，就要再往后翻；

要是翻到第七期、第八期，就要往前翻。

找到第六期后，再往接近第23页的地方翻，……

这样反复试探几次，步步逼近，最后就能找到这一页。

这就是在用“尝试法”解决问题。

本题的试数范围是3、4、6、7四个数，可由小至大，或由大至小依次填在中间的格中，按“横行、竖列三个数相加都得14”的要求来逐个尝试。

如果中间的格中填3，则竖列下面的一格应填多少呢？

因为14-5-3=6，所以竖列下面的一格中应填6（图2-2）。

下面就要把剩下的4、7，分别填入横行左右的两个格中（图2-3）。

把横行格中的4、3、7三个数加起来，得14，合乎题目要求。

如果中间一格填4、或填6、7都不合乎题目的要求。

所以本题的答案是图2-3或图2-4。

例2把1、2、3……11各数填在图2-5的方格里，使每一横行、每一竖行的数相加都等于18。

（教科书第四册第57页的思考题，适于二年级程度）

图2-5中有11个格，正好每一格填写一个数。

图2-6中写有A、B、C的三个格中的三个数，既要参加横向的运算，又要参加纵向的运算，就是说这三个数都要被用两次。

因此，确定A、B、C这三个数是解此题的关键。

因为1～11之中中间的三个数是5、6、7，所以，我们以A、B、C分别为5、

6、7开始尝试（图2-7）。

以6为中心尝试，看6上、下两个格中应填什么数。

因为18-6=12，所以6上、下两格中数字的和应是12。

考虑6已是1～11之中中间的数，那么6上、下两格中的数应是1～11之中两头的数。

再考虑6上面的数还要与5相加，6下面的数还要与7相加，5比7小，题中要求是三个数相加都等于18，所以在6上面的格中填11，在6下面的格中填1（图2-8）。

6+11+1=18

看图2-8。

6上面的数是11，11左邻的数是5，18-11-5=2，所以5左邻的数是2（图2-9）。

再看图2-8。

6下面的数是1，1右邻的数是7，18-1-7=10，所以7右邻的数是10（图2-9）。

现在1～11之中只剩下3、4、8、9这四个数，图2-9中也只剩下四个空格。

在5的上、下，在7的上、下都应填什么数呢？

因为18-5=13，所以5上、下两格中数字的和应是13，3、4、8、9这四个数中，只有4+9=13，所以在5的上、下两格中应填9与4（图2-10）。

看图2-10。

因为6左邻的数是4，18-4-6=8，所以6右邻的数是8。

因为18-7-8=3，并且1-11的数中，只剩下3没有填上，所以在7下面的格中应填上3。

图2-10是填完数字的图形。

*例3在9只规格相同的手镯中混有1只较重的假手镯。

在一架没有砝码的天平上，最多只能称两次，你能把假手镯找出来吗？

先把9只手镯分成A、B、C三组，每组3只。

①把A、B两组放在天平左右两边的秤盘上，如果平衡，则假的1只在C组里；

若不平衡，则哪组较重，假的就在哪组里。

②再把有假手镯的那组中的两只分别放在天平的左右秤盘上。

如果平衡，余下的1只是假的；

若不平衡，较重的那只是假的。

*例4在下面的15个8之间的任何位置上，添上+、-、×

、÷

符号，使得下面的算式成立。

（适于三年级程度）888888888888888=1986

先找一个接近1986的数，如：

8888÷

8+888=1999。

1999比1986大13。

往下要用剩下的7个8经过怎样的运算得出一个等于13的算式呢？

88÷

8=11，11与13接近，只差2。

往下就要看用剩下的4个8经过怎样的运算等于2。

8÷

8+8÷

8=2。

把上面的思路组合在一起，得到下面的算式：

8+888-88÷

8-8÷

8=1986

例5三个连续自然数的积是120，求这三个数。

假设这三个数是2、3、4，则：

2×

3×

4=24

24＜120，这三个数不是2、3、4；

假设这三个数是3、4、5，则：

4×

5＝60

60＜120，这三个数不是3、4、5；

假设这三个数是4、5、6，则：

5×

6=120

4、5、6的积正好是120，这三个数是4、5、6。

例6在下面式子里的适当位置上加上括号，使它们的得数分别是47、75、23、35。

（1）7×

9+12÷

3-2＝47

（2）7×

3-2=75

（3）7×

3-2=23

（4）7×

3-2=35

本题按原式的计算顺序是先做第二级运算，再做第一级运算，即先做乘除法而后做加减法，结果是：

7×

3-2

=63+4-2

=65

“加上括号”的目的在于改变原来的计算顺序。

由于此题加中括号还是加小括号均未限制，因此解本题的关键在于加写括号的位置。

可以从加写一个小括号想起，然后再考虑加写中括号。

如：

7=49，再减2就是47。

这里的第一个数7是原算式中的7，要减去的2是原算式等号前的数，所以下面应考虑能否把9+12÷

3通过加括号后改成得7的算式。

经过加括号，（9+12）÷

3=7，因此：

[（9+12）÷

3]-2=47

因为一个数乘以两个数的商，可以用这个数乘以被除数再除以除数，所以本题也可以写成：

（9+12）÷

3-2=47

11=77，再减2就得75。

这里的7是原算式中的第一个数，要减去的2是等号前面的数。

下面要看9+12÷

3能不能改写成得11的算式。

经尝试9+12÷

3不能改写成得11的算式，所以不能沿用上一道题的解法。

9+12得75，这里的7、9、12就是原式中的前三个数，所以只要把3-2用小括号括起来，使7×

9+12之和除以1，问题就可解决。

由此得到：

（7×

9+12）÷

（3-2）=75

因为（3-2）的差是1，所以根据“两个数的和除以一个数，可以先把两个加数分别除以这个数，然后把两个商相加”这一运算规则，上面的算式又可以写成：

在上面的这个算式中，本应在7×

9的后面写上“÷

（3-2）”，因为任何数除以1等于这个数本身，为了适应题目的要求，不在7×

9的后写出“÷

（3-2）”。

（3）25-2=23，这个算式中，只有2是原算式等号前的数，只要把7×

3改写成得25的算式，问题就可解决。

又因为7×

9+12=75，75÷

3=25，所以只要把7×

9+12用小括号括起来，就得到题中所求了。

5=35，7是原算式中的第一个数，原算式中的9+12÷

3-2能否改写成得5的算式呢？

因为7-2=5，要是9+12÷

3能改写成得7的算式就好了。

经改写为（9+12）÷

3=7，因此问题得到解决。

题中要求的算式是：

3-2]=35

*例7王明和李平一起剪羊毛，王明剪的天数比李平少。

王明每天剪20只羊的羊毛，李平每天剪12只羊的羊毛。

他俩共剪了112只羊的羊毛，两人平均每天剪14只羊的羊毛。

李平剪了几天羊毛？

王明、李平合在一起，按平均每天剪14只羊的羊毛计算，一共剪的天数是：

112÷

14=8（天）

因为王明每天剪20只，李平每天剪12只，一共剪了112只，两人合起来共剪了8天，并且李平剪的天数多，所以假定李平剪了5天。

则：

12×

5+20×

（8-5）=120（只）

120＞112，李平不是剪了5天，而是剪的天数多于5天。

假定李平剪了6天，则：

6+20×

（8-6）=112（只）

所以按李平剪6天计算，正满足题中条件。

答：

李平剪了6天。

*例8一名学生读一本书，用一天读80页的速度，需要5天读完，用一天读90页的速度，需要4天读完。

现在要使每天读的页数跟能读完这本书的天数相等，每天应该读多少页？

解这道题的关键是要求出一本书的总页数。

因为每天读的页数乘以读的天数等于一本书的总页数，又因为每天读的页数与读完此书的天数相等，所以知道了总页数就可以解题了。

根据“用一天读80页的速度，需要5天读完”，是否能够认为总页数就是80×

5=400（页）呢？

不能。

因为5天不一定每天都读80页，所以只能理解为：

每天读80页，读了4天还有余下的，留到第五天才读完。

这也就是说，这本书超过了80×

4=320（页），最多不会超过：

90×

4=360（页）

根据以上分析，可知这本书的页数在321～360页之间。

知道总页数在这个范围之内，往下就不难想到什么数自身相乘，积在321～360之间。

因为17×

17=289，18×

18=324，19×

19=361，324在321～360之间，所以只有每天读18页才符合题意，18天看完，全书324页。

每天应该读18页。

*例9一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积。

这个数有许多约数是两位数。

这些两位数的约数中，最大的是几？

两位数按从大到小的顺序排列为：

99、98、97、96……11、10

以上两位数分解后，它的质因数只能是2、3、5、7，并且在它的质因数分解中2的个数不超过5，3的个数不超过3，5的个数不超过2，7的个数不超过1。

经尝试，99不符合要求，因为它有质因数11；

98的分解式中有两个7，也不符合要求；

质数97当然更不会符合要求。

而，

96=2×

所以在这些两位数的约数中，最大的是96。

*例10从一个油罐里要称出6千克油来，但现在只有两个桶，一个能容4千克，另一个能容9千克。

求怎样才能称出这6千克油？

这道题单靠计算不行，我们尝试一些做法，看能不能把问题解决。

已知大桶可装9千克油，要称出6千克油，先把能容9千克油的桶倒满，再设法倒出9千克油中的3千克，为达到这一目的，我们应使小桶中正好有1千克油。

怎样才能使小桶里装1千克油呢？

（1）把能容9千克油的大桶倒满油。

（2）把大桶里的油往小桶里倒，倒满小桶，则大桶里剩5千克油，小桶里有4千克油。

（3）把小桶中的4千克油倒回油罐。

（4）把大桶中剩下的油再往小桶里倒，倒满小桶，则大桶