武汉外冲数论专题文档格式.docx
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性质2如果数a能被数b整除,b又能被数c整除,那么a也能被c整除.即
如果b∣a,c∣b,那么c∣a。
用同样的方法,我们还可以得出:
性质3如果数a能被数b与数c的积整除,那么a也能被b或c整除.即如果
bc∣a,那么b∣a,c∣a。
性质4如果数a能被数b整除,也能被数c整除,且数b和数c互质,那么a
一定能被b与c的乘积整除。
即如果b∣a,c∣a,且(b,c)=1,那么
bc∣a。
例如:
如果3∣12,4∣12,且(3,4)=1,那么(3×
4)∣12.
性质5如果数a能被数b整除,那么am也能被bm整除.如果b|a,那么bm|am(m为非0整数);
性质6如果数a能被数b整除,且数c能被数d整除,那么ac也能被bd整除.如果b|a,且d|c,那么bd|ac;
余数问题
一、带余除法的定义及性质
一般地,如果a是整数,b是整数(b≠0),若有a÷
b=q……r,也就是a=b×
q+r,
0≤r<b;
我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里:
(1)当
时:
我们称a可以被b整除,q称为a除以b的商或完全商
(2)当
我们称a不可以被b整除,q称为a除以b的商或不完全商
二、三大余数定理:
1.余数的加法定理
a与b的和除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之和,或这个和除以c的余数。
23,16除以5的余数分别是3和1,所以23+16=39除以5的余数等
于4,即两个余数的和3+1.
当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
23,19除以5的余数分别是3和4,所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数,即2.
2.余数的乘法定理
a与b的乘积除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数的积,或者这个积除以c所得的余数。
23,16除以5的余数分别是3和1,所以23×
16除以5的余数等于3×
1=3。
当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
23,19除以5的余数分别是3和4,所以23×
19除以5的余数等于3×
4除以5的余数,即2.
3.同余定理
若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数,那么称a、b对于模m同余,用式子表示为:
a≡b(modm),左边的式子叫做同余式。
同余式读作:
a同余于b,模m。
由同余的性质,我们可以得到一个非常重要的推论:
若两个数a,b除以同一个数m得到的余数相同,则a,b的差一定能被m整除
用式子表示为:
如果有a≡b(modm),那么一定有a-b=mk,k是整数,即m|(a-b)
三、弃九法原理
四、中国剩余定理
二、例题
1.常见数的整除判定特征
例1两个四位数
和
相乘,要使它们的乘积能被72整除,求
.
巩固1若四位数
能被15整除,则
代表的数字是多少?
例2
六位数
能被99整除,
是多少?
巩固2
已知九位数
既是9的倍数,又是11的倍数,那么,这个九位数是多少?
2.试除法
例3
在865后面补上三个数字,组成一个六位数,使它能分别被3、4、5整除,且使这个数值尽可能的小。
巩固3
在523后面写出三个数字,使所得的六位数被7、8、9整除.那么这三个数字的和是多少?
3、1001系列整除
例4
已知四十一位数55…5□99…9(其中5和9各有20个)能被7整除,那么中间方格内的数字是多少?
巩固4
应当在如下的问号“?
”的位置上填上哪一个数码,才能使得所得的整数
可被11整除?
4、数的整除性质应用
例5
张老师带领同学们去种树,学生的人数恰好等分成三组.已知老师和学生共种树312棵,老师与学生每人种的树一样多,并且不超过10棵.问:
一共有多少学生?
每人种了几棵树?
巩固5
某班同学在班主任老师带领下去种树,学生恰好平均分成三组,如果老师与学生每人种树一样多,共种了1073棵,那么平均每人种了棵树?
5、带余除法的定义和性质
例6
有两个自然数相除,商是
,余数是
,已知被除数、除数、商与余数之和为
,则被除数是多少?
巩固6
两数相除,商4余8,被除数、除数、商数、余数四数之和等于415,则被除数是_______.
例7.
1234567891011121314……19981999除以9的余数是多少?
巩固7
1234567891011121314……20132014除以9的余数是多少?
6、三大余数定理的应用
例8
有一个大于1的整数,除
所得的余数相同,求这个数。
巩固8
有一个整数,除39,51,147所得的余数都是3,求这个数.
例9
有一个整数,用它去除70,110,160所得到的3个余数之和是50,那么这个整数是______.
巩固9
用自然数n去除63,91,129得到的三个余数之和为25,那么n=________.
例10
与
的和除以7的余数是________
巩固10
求
除以5时的余数。
例11
六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱,一起到新华书店购买《成语大词典》.一看定价才发现有5个人带的钱不够,但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本,丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本.这种《成语大词典》的定价是________元.
巩固11
商店里有六箱货物,分别重15,16,18,19,20,31千克,两个顾客买走了其中的五箱.已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍,那么商店剩下的一箱货物重量是________千克.
例12
著名的裴波那契数列是这样的:
1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少?
巩固12
有一串数:
1,1,2,3,5,8,……,从第三个数起,每个数都是前两个数之和,在这串数的前2009个数中,有几个是5的倍数?
7、中国剩余定理
例13
一批书大约300本到400本,包装成每包12本剩下11本;
每包18本,缺1本;
每包15本就有7包每包各多2本。
这批书有多少本?
巩固13
一堆棋子,接近150个,五五数之余1,六六数之余2,八八数之余2,这堆棋子有多少个?
例14
有一个数,除以3余2,除以4余1,问这个数除以12余几?
巩固14
一个大于10的自然数,除以5余3,除以7余1,除以9余8,那么满足条件的自然数最小为多少?
例15
有三个连续的自然数,其中最小的能被3整除,中间的能被,5整除,最大的能被7整除。
写出这样的三个最小的连续自然数。
巩固15
在100至200之间,有三个连续的自然数,其中最小的能被3整除,中间的能被5整除,最大的能被7整除,写出这样的三个连续自然数。
三、习题
1、已知九位数
能被36整除,那么,这个九位数是多少?
2、已知九位数
既是9的倍数,又是11的倍数;
那么,这个九位数是多少?
3、某个七位数1993□□□能够同时被2,3,4,5,6,7,8,9整除,那么它的最后三位数字依次是多少?
4、三位数的百位、十位和个位的数字分别是5,a和b,将它连续重复写2008次成为:
.如果此数能被91整除,那么这个三位数
5、用一个自然数去除另一个自然数,商为40,余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933,求这2个自然数各是多少?
6、学校新买来118个乒乓球,67个乒乓球拍和33个乒乓球网,如果将这三种物品平分给每个班级,那么这三种物品剩下的数量相同.请问学校共有多少个班?
7、有一个整数,用它去除70,110,160所得3个余数之和是50.求这个数。
8、
除以7的余数是多少?
9、六张卡片上分别标上1193、1258、1842、1866、1912、2494六个数,甲取3张,乙取2张,丙取1张,结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另—个人的2倍,则丙手中卡片上的数是________.
10、1234567891011121314……20172018除以9的余数是多少?
11、有一些苹果,五个五个地数余下2个,六个六个的数余下2个,七个七个的数少2个,这些苹果最少有多少个?
12、一个大于10的数,除以3余1,除以5余2,除以11余7,问满足条件的最小自然数是多少?
13、有一串数1,2,4,7,11,16,22,29……这串数的组成规律是第2个数比第一个数多1,第3个数比第2个数多2,以此类推,这串数左起第1992个数除以5的余数是多少?
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