13第十三讲曲线积分与路径无关问题Word文档下载推荐.docx
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BA,L?
L?
ABdsy)(x,y)ds,ff(x,即对弧长的曲线积分与积=【说明】若,则21LL21。
但与积分弧段的方向无关分弧段有关(代入法)2.第一型曲线积分的计算?
)?
t(x?
f(x,y)t(?
LL,
设上有定义且连续,的参数方程为,在曲线弧?
t(y?
22'
'
dt(t(t?
)f?
(t),)(t)ds)x,yf()(?
=?
ds),yf(x1?
y)f(x,L表示曲线弧的弧长。
时特别,当,
b,a)xa?
x?
b)g(y?
g(x)(L的方程为,当曲线弧上有连续的导数,则在d?
2'
dx)(?
1?
gxfxx,g()ds)(x,yf;
=aL:
计算第一型曲线积分例112?
xy?
L:
)155?
(dl)y(x?
;
从(1,1)到(0,0)一段。
(1),其中12L222332?
a?
:
Lxyadl?
y)(x圆周。
(2),其中L二、第二型曲线积分第二型曲线积分的模型(代入法)1.)y(x,yP(x,),Qyy)?
P(x,)i?
Q(x,)j,F(xy一质,为连续函数设有一平面力场,其中WBAL点在此力场的力作用下,由点,求力场的力所作的功沿光滑曲线。
运动到点?
dyy)Q?
(x,W?
P(x,y)dx,LL?
LL为与【评注】设方向相反的有向曲线弧,则为有向曲线弧,?
dyy,)xQdxyxP(?
),(?
),(PxydxQxydy?
)?
(LL?
即第二型曲线积分方向无关
3
第二型曲线积分的计算2.
)t(x?
txoyL,
,当参数变到的参数方程为单调地由时设平面上的有向曲线?
)t(y?
)(t)(dt)P?
Q(t),),(t)t(t(tdy)P(x,y)dx?
Q(x,y=?
BLLA并不这里的是曲线是曲线所对应的参数值,的起点的终点所对应的参数值,?
。
要求ax?
),xf(y?
bx?
LLL对应于应于的起点,若曲线的终点,则的方程为?
b?
)(f(x)P(x,fx)x?
Qfxdx,dy,y)?
y)dxQ(xP(x=;
aLcy?
d?
yx?
g(y),LLL的起点,应于若曲线对应于的方程为的终点,则?
yQ),g(y),y(gy(y)dyP?
gdyQy)(x,P(x,y)dx?
=。
cLd?
bca?
,。
同样,以上并不要求C公式可推广到空间曲线上对坐标的曲线积分的情形,?
)t((t),x?
z(t),y?
L,则的参数方程为若空间曲线?
dzz)x(,y,,y,z)dy?
RzP(x,y,)dx?
Q(xC?
dt(),(t(t)?
R)t(t),((t),(t)t)(t?
Q),)(t),(t),((t)tP=?
CC这里下限为曲线为曲线的终点所对应的参数值。
的起点所对应的参数值,上限?
ydy?
xydx2:
计算,其中例L2x?
y)11,?
1)B(A(1,L的一段弧。
(1)上从点为抛物线到点BAL.
(2)到点为从的直线段2x?
yxy,)但可运用公式(3不是的单值函数,因此不能运用公式由【解法1】
(1)
(2)知,2yx?
y1?
1,于是变到这里,从4?
11422'
dydy?
(y)?
yy4y?
yydyxydx?
===50?
1LxyAOOBAOL在两部分时,在每一部分上的单值函数。
【解法2】当把曲线都是分成与xy?
xyxxOB0011,由变到;
在上,上,由变到。
于是
4
ydyxydx?
xydx=+OBLOA?
10'
xd(xx)(?
x)dx)xx?
x(?
xx)?
(?
=+013311410?
dxx?
)dx?
)((?
22==22501y0dx?
11?
AB1从,于是的方程为,到,
(2)直线1?
ydyydyxydx?
0==1?
L.曲线积分不一定相等对坐标的曲线积分沿不同的路径,从这个例子可以看出,
格林公式及其应用3.
),y)yQ(xP(x,L在及围成,函数格林公式:
设平面单连通区域D由分段光滑的曲线D上具有一阶连续偏导数,则PQ?
QdyPdx()dxdy?
yx?
LD?
LD的正向边界曲线。
是其中?
ydx?
2xdydxdyx,Q?
y,可得在公式
(1)中取,?
LDDAD:
的两倍,因此计算有界闭区域的上式左端为闭区域面积的公式为的面积1?
xdy?
A。
2?
L33tasin?
cost,yx?
a.3:
计算星形线所围图形的面积例
(2)得【解】由公式1?
A2?
L1?
22233?
dt)]sintacost(?
3tt?
3asincost?
asint?
[acos=202a33?
2222?
tdttcossina.
==280xsin?
ay线从O到中,求一条曲线C,使沿该曲的曲线族和A4:
例在过点O(0,0)(π,0)3?
dy)y(?
2x?
dx?
(1y)A的线积分的值最小。
C“补面法”用格林公是求解。
【解】本题可用代入法直接求解,这里采用
5
0?
0,x:
C:
AO直线段。
令,即033?
dyy)2x?
(2x?
y)dy?
(((1?
y1cCC?
03?
dyy)2xy?
((1?
-C04?
x0asin3232?
a4?
(23y?
)(2?
3ydy)dxdy?
(1?
3?
00D8?
a用一元函数极值的方法得。
时达到最小值34.平面曲线积分与路径无关的条件xoy)yx,,y)Q(P(xDD在平面上的一个开区域,是以及曲线积分与路径无关问题:
设BABDDA的任意两条,以及内具有一阶阶连续偏导数.如果对到点内任意两点内从点与?
LLQdyPdx?
QdyPdxPdx?
Qdy?
D内与路=曲线在、,,恒有则称曲线积分21LLL21径无关。
定理:
以下条件等价D内曲线积分与路径无关;
(1)在区域D内沿任一闭曲线的积分为零;
(2)),yxy)Q((Px,DD内具有一阶连续偏以及是一个单连通域,函数(3)设开区域在QP?
D导数且内恒成立;
在x?
yQdy?
Pdx为全微分.(4)2yy222?
dy(x?
e(1?
xey))dx?
)0(0,OL是从点:
计算经圆周,其中例5L224y?
2)?
(x)04,A(上半部到点的弧段。
.先判断是否与积分路径无关直接计算曲线积分比较难,【解】
22y2y2y?
(x,y)xyP(x,)?
xeeQ,
这里,Q?
y2xe?
2)y(x,(x,y)QP.
且与在全平面上有一阶连续偏导数,有=y?
OA.作为积分路径为便于计算,取直线段于是因此这个曲线积分与路径无关.2y2y222y2y22?
dy?
()dx?
xye)xe1dy(xe1(?
dx)?
xe?
y)(?
=OAL4?
12?
dxx1(?
)=0
6
5.奇点的处理方法QP?
L,设在坐标平面上除了点P外都有,则对任意分段光滑闭曲线定理:
dy)x,yy)dx?
QI?
(P(x,是一个定值。
Lydx?
IL:
其中为例6:
计算22yx?
L;
该闭曲线包围的区域不含有原点1)任一简单闭曲线,(;
该闭曲线包围的区域含原点2)任一简单闭曲线,(xy?
),yQ()P(x,y?
x,
这里,【解】2222y?
xx22Px?
Qy?
)yx,y)Q(P(x,?
在不含原点的任意一个区域内具有一阶且与,222x?
x)yx?
(.
连续偏导数,所以1)这个曲线积分与路径无关(ydxxdy?
I.
22yx?
LQP?
L,
(2)设在坐标平面上除了原点点外都有,则对任意分段光滑闭曲线xy?
222?
dyy))dx?
Q(xI?
P(x,yr?
L,它的参数方程为是一个定值,把换成圆周L?
cosx?
r?
2(0?
,?
siny?
(cos)?
sinxdyr?
2?
dI?
.则222rxy?
0L?
)(y上,曲线积分具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L例7:
设函数?
xydy?
2y)dx(?
.
的值恒为同一常数42y?
2xL?
xydy2dx?
)(y?
,有;
内的任意分段光滑简单闭曲线)(I证明:
对右半平面x>
0C42yx?
2C?
)(y.
)求函数的表达式(II与围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线相联)的关键是如何将封闭曲线C证明(I【分析】?
)y(的表达式,显然应用系,这可利用曲线积分的可加性将C进行分解讨论;
而(II)中求积分与路径无关即可.
7
Y
I)
【解】(
l3ll?
C?
l如图,将C分解为:
,另作一条曲线围绕原点且与321?
y)dxy)dx?
2xydy(y)dx?
2xydy((?
42422x2x?
yyll?
Cll?
3321?
xy)2(y?
QP?
QP,x?
(II)设,在单连通区域4242y?
yxx?
22?
xydy2)dx?
(y?
由(Ⅰ)知,曲线积分在该区域内与路径无关,故当42yx?
2LP?
.y?
x5224yy?
4(2xx?
y2)?
4x2?
Q2y,?
l1l2C
XoC相接,则xydy?
20?
.42y?
0内具有一阶连续偏导数,0?
x时,总有
①224242)?
x(2xx?
y)y(2?
342243?
y(y(y?
4)(y)yx2y)?
P))(2(yx?
y4).?
②242422)y(2x?
y(2x?
y)比较①、②两式的右端,得?
③,y?
2(y)?
?
543?
24y(y )y(y)y?
④5532?
?
ycy2y?
4cy(y))y(,将由③得代入④得2?
.y(y)?
0c?
,从而所以.【评注】本题难度较大,关键是如何将待求解的问题转化为可利用已知条件的情形6.二元函数的全微分求法)x,yu?
x,y)dxQ(x,y)dy(?
x)(ux,ydu(,y)P(是表达式,则称函数若函数定义:
使dy)xQ(,yxP(,y)dx?
的一个原函数。
)x,y,(xy)Q(PDD内具有一阶连续函数是一个单连通域,以及在判别法:
设开区域Q?
dy)yxQdxyxP(,)?
(,DD在,偏导数则在存在原函数的充分必要条件是等式内xy?
8
内恒成立。
dyy)Q(xP(x,y)dx?
u(x,y)?
求法:
0yx00yx?
dyy)Q(x(x,y)dx?
)u(x,y?
P0xy00),0)?
(0(x,y.
一般取00xoydyy)2x?
2y)dx?
((x,并求出一个原函数。
是存在原函数例8:
验证在整个在平面内y?
2xQ(x,y)P(x,y)?
2y,
【解】这里Q?
xoyxoy内面在此在整个平在平面且内恒成立,因在整个y?
dyy)(2x?
dx(x?
2y)?
存在原函数),y(x?
dy)x?
yy))u(x,y?
(2?
(x2)0(0,1xy22?
dy)?
2y)dx(2?
0(xy?
)(x?
y2.==2000dy?
)(2x?
y)x(?
2ydx?
对于常微分方程由上面可知这个微分方程的通解122C2?
yx(?
)C).为(为任意常数2
9
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- 13 第十 三讲 曲线 积分 路径 无关 问题