数学选修23讲义第2章24 正态分布含答案Word文档格式.docx
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数学选修23讲义第2章24 正态分布含答案Word文档格式.docx
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因为正态分布变量函数表达式中参数μ是随机变量取值的平均水平的特征数,可以用样本的均值去估计,而σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数,用样本的标准差去估计.
(2)√
(3)√ 由正态分布曲线的形状可知该说法正确.
(4)×
因为离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述,连续型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线(函数)描述.
【答案】
(1)×
(2)√ (3)√ (4)×
教材整理2 正态曲线的性质及3σ原则
阅读教材P66~P67习题以上部分,完成下列问题.
1.正态曲线的性质
(1)曲线在x轴的上方,并且关于直线x=μ对称;
(2)曲线在x=μ时处于最高点,并由此处向左右两边延伸时,曲线逐渐降低,呈现“中间高,两边低”的形状;
(3)曲线的形状由参数σ确定,σ越大,曲线越“矮胖”;
σ越小,曲线越“高瘦”.
2.正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
若X~N(μ,σ2),则
P(μ-σ<
X<
μ+σ)=68.3%,
P(μ-2σ<
μ+2σ)=95.4%,
P(μ-3σ<
μ+3σ)=99.7%.
上述结果可用图表示如下:
3.3σ原则
由P(μ-3σ<
μ+3σ)=0.997知,正态变量X在区间(μ-3σ,μ+3σ)之外取值的概率为0.3%.于是若X~N(μ,σ2),则正态变量X的取值几乎都在距x=μ三倍标准差之内,即在区间(μ-3σ,μ+3σ)内,这就是正态分布的3σ原则.
1.把一条正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位,得到一条新的曲线b,下列说法中不正确的是______.(填序号)
①曲线b仍然是正态曲线;
②曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等;
③以曲线b为正态分布的总体的方差比以曲线a为正态分布的总体的方差大2;
④以曲线b为正态分布的总体的均值比以曲线a为正态分布的总体的均值大2.
【解析】 正态曲线向右平移2个单位,σ不发生变化,故③错误.
【答案】 ③
2.关于正态分布N(μ,σ2),下列说法正确的是________.(填序号)
①随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件;
②随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件;
③随机变量落在(-3σ,3σ)之外是一个小概率事件;
④随机变量落在(μ-3σ,μ+3σ)之外是一个小概率事件.
【解析】 ∵P(μ-3σ<X<μ+3σ)=0.9974,
∴P(X>μ+3σ或X<μ-3σ)=1-P(μ-3σ<X<μ+3σ)=1-0.9974=0.0026,
∴随机变量落在(μ-3σ,μ+3σ)之外是一个小概率事件.
【答案】 ④
3.在某项测量中,测量结果X服从正态分布N(1,σ2)(σ>
0).若X在(0,1)内取值的概率为0.4,则X在(0,2)内取值的概率为________.
【解析】 ∵X服从正态分布(1,σ2),
∴X在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同,均为0.4.
∴X在(0,2)内取值的概率为0.4+0.4=0.8.
【答案】 0.8
正态分布的概念及正态曲线的性质
【例1】 如图所示是一个正态曲线,试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式,求出总体随机变量的期望和方差.
【精彩点拨】 给出了一个正态曲线,就给出了该曲线的对称轴和最大值,从而就能求出总体随机变量的期望、标准差及解析式.
【解】 从给出的正态曲线可知,该正态曲线关于直线x=20对称,最大值是
,所以μ=20.
由
=
,得σ=
.
于是概率密度函数的解析式是
·
e-
,x∈(-∞,+∞),
总体随机变量的期望是μ=20,方差是σ2=(
)2=2.
利用正态曲线的性质可以求参数μ,σ,具体方法如下:
(1)正态曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称,由此性质结合图象求μ.
(2)正态曲线在x=μ处达到峰值
,由此性质结合图象可求σ.
1.
(1)设两个正态分布N(μ1,σ
)(σ1>
0)和N(μ2,σ
)(σ2>
0)的密度函数图象如图所示,则有( )
A.μ1<
μ2,σ1<
σ2B.μ1<
μ2,σ1>
σ2
C.μ1>
σ2D.μ1>
【解析】 根据正态分布的性质:
对称轴方程x=μ,σ表示正态曲线的形状.由题图可得,选A.
【答案】 A
(2)
如图所示是正态分布N(μ,σ
),N(μ,σ
)(σ1,σ2,σ3>
0)相应的曲线,那么σ1,σ2,σ3的大小关系是( )
A.σ1>
σ2>
σ3B.σ3>
σ1
C.σ1>
σ3>
σ2D.σ2>
σ1>
σ3
【解析】 由σ的意义可知,图象越瘦高,数据越集中,σ2越小,故有σ1>
σ3.
服从正态分布变量的概率问题
【例2】
(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<
4)=0.8,则P(0<
ξ<
2)=( )
A.0.6B.0.4
C.0.3D.0.2
(2)在某项测量中,测量结果服从正态分布N(1,4),求正态总体X在(-1,1)内取值的概率.
【精彩点拨】
(1)根据正态曲线的性质对称性进行求解;
(2)题可先求出X在(-1,3)内取值的概率,然后由正态曲线关于x=1对称知,X在(-1,1)内取值的概率就等于在(-1,3)内取值的概率的一半.
【解】
(1)∵随机变量X服从正态分布N(2,σ2),
∴μ=2,对称轴是x=2.∵P(ξ<
4)=0.8,
∴P(ξ≥4)=P(ξ<
0)=0.2,
∴P(0<
4)=0.6,∴P(0<
2)=0.3.故选C.
【答案】 C
(2)由题意得μ=1,σ=2,
所以P(-1<X<3)=P(1-2<X<1+2)=0.6826.
又因为正态曲线关于x=1对称,
所以P(-1<X<1)=P(1<X<3)=
P(-1<X<3)=0.3413.
利用正态分布求概率的两个方法
1.对称法:
由于正态曲线是关于直线x=μ对称的,且概率的和为1,故关于直线x=μ对称的区间上概率相等.如:
(1)P(X<
a)=1-P(X≥a);
(2)P(X<
μ-a)=P(X>
μ+a).
2.“3σ”法:
利用X落在区间(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)内的概率分别是0.6826,0.9544,0.9974求解.
2.设随机变量X~N(2,9),若P(X>
c+1)=P(X<
c-1).
(1)求c的值;
(2)求P(-4<
x<
8).
【解】
(1)由X~N(2,9)可知,密度函数关于直线x=2对称(如图所示),
又P(X>
c-1),故有2-(c-1)=(c+1)-2,
所以c=2.
(2)P(-4<
8)=P(2-2×
3<
2+2×
3)=0.9544.
正态分布的实际应用
[探究问题]
1.若某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε~N(4,0.25),那么该圆柱形零件外直径的均值,标准差分别是什么?
【提示】 零件外直径的均值为μ=4,标准差σ=0.5.
2.某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε~N(4,0.25),若零件的外直径在(3.5,4.5]内的为一等品.试问1000件这种的零件中约有多少件一等品?
【提示】 P(3.5<
ε≤4.5)=P(μ-σ<
ε<
μ+σ)=0.6826,所以1000件产品中大约有1000×
0.6826≈683(件)一等品.
3.某厂生产的圆柱形零件的外直径ε~N(4,0.25).质检人员从该厂生产的1000件这种零件中随机抽查一件,测得它的外直径为5.7cm.试问该厂生产的这批零件是否合格?
【提示】 由于圆柱形零件的外直径ε~N(4,0.25),
由正态分布的特征可知,正态分布N(4,0.25)在区间(4-3×
0.5,4+3×
0.5),
即(2.5,5.5)之外取值的概率只有0.003,而5.7∈(2.5,5.5).
这说明在一次试验中,出现了几乎不可能发生的小概率事件,根据统计中假设检验的基本思想,认为该厂这批零件是不合格的.
【例3】 设在一次数学考试中,某班学生的分数X~N(110,202),且知试卷满分150分,这个班的学生共54人,求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数.
【精彩点拨】 将P(X≥90)转化为P(X-μ≥-σ),然后利用对称性及概率和为1,得到2P(X-μ≤-σ)+0.6826=1,进而求出P(X≥90)的值,同理可解得P(X≥130)的值.
【解】 μ=110,σ=20,P(X≥90)=P(X-110≥-20)=P(X-μ≥-σ),
∵P(X-μ≤-σ)+P(-σ≤X-μ≤σ)+P(X-μ≥σ)
=2P(X-μ≤-σ)+0.6826=1,
∴P(X-μ≤-σ)=0.1587,
∴P(X≥90)=1-P(X-μ≤-σ)=1-0.1587=0.8413.
∴54×
0.8413≈45(人),即及格人数约为45人.
∵P(X≥130)=P(X-110≥20)=P(X-μ≥σ),
∴P(X-μ≤-σ)+P(-σ≤X-μ≤σ)+P(X-μ≥σ)
=0.6826+2P(X-μ≥σ)=1,
∴P(X-μ≥σ)=0.1587,即P(X≥130)=0.1587.
0.1587≈9(人),即130分以上的人数约为9人.
1.本题利用转化的思想方法,把普通的区间转化为3σ区间,由特殊区间的概率值求出.
2.解答正态分布的实际应用题,其关键是如何转化,同时应熟练掌握正态分布在(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)三个区间内的概率.在此过程中用到归纳思想和数形结合思想.
3.某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站,由于交通拥挤,所需时间X(单位:
分)近似服从正态分布X~N(50,102),求他在(30,60]分内赶到火车站的概率.
【解】 ∵X~N(50,102),∴μ=50,σ=10.
∴P(30<
X≤60)=P(30<
X≤50)+P(50<
X≤60)
X≤μ+2σ)+
X≤μ+σ)
×
0.9544+
0.6826=0.8185.
即他在(30,60]分内赶到火车站的概率是0.8185.
1.正态分布密度函数为f(x)=
,x∈(-∞,+∞),则总体的均值和标准差分别是( )
A.0和8 B.0和4
C.0和2D.0和
【解析】 由条件可知μ=0,σ=2.
2.如图是当ξ取三个不同值ξ1,ξ2,ξ3的三种正态曲线N(0,σ2)的图象,那么σ1,σ2,σ3的大小关系是( )
1>
0B.0<
σ1<
σ2<
1<
0D.0<
σ2=1<
【解析】 当μ=0,σ=1时,正态曲线f(x)=
.在x=0时,取最大值
,故σ2=1.由正态曲线的性质,当μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越小,曲线越“瘦高”;
σ越大,曲线越“矮胖”,于是有0<
【答案】 D
3.若随机变量X~N(μ,σ2),则P(X≤μ)=________.
【解析】 由于随机变量X~N(μ,σ2),其正态密度曲线关于直线X=μ对称,故P(X≤μ)=
【答案】
4.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(X<
4)=0.84,则P(X≤0)=________.
【解析】 由X~N(2,σ2),可知其正态曲线如图所示,对称轴为x=2,则P(X≤0)=P(X≥4)=1-P(X<
4)=1-0.84=0.16.
【答案】 0.16
5.随机变量ξ服从正态分布N(0,1),如果P(ξ≤1)=0.8413,求P(-1<
ξ≤0).
【解】 如图所示,因为P(ξ≤1)=0.8413,所以P(ξ>
1)=1-0.8413=0.1587,所以P(ξ≤-1)=0.1587,所以P(-1<
ξ≤0)=0.5-0.1587=0.3413.
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